Chapitre 3 : Puissances d`exposants positifs

Chapitre 3 : Puissances d'exposants positifs
1. Puissance d’exposant strictement supérieur à 1
1.1 Cent mille milliards de poèmes
Cent mille milliards de poèmes est une œuvre de poésie de Raymond Queneau, publiée en 1961.
Selon les mots mêmes de l’auteur dans la préface :
« Ce petit ouvrage permet à tout un chacun de composer à volonté cent mille milliards de sonnets,
tous réguliers bien entendu. »
10×10×10×10×10×10×10×10×10×10×10×10×10×10=100 000 000 000 000
Raymond Queneau a raison.
1.2 Dénition
Dénition : Quel que soit le nombre a et quel que soit l’entier n supérieur à 2, on
pose :
an=a×a×a...×a
n facteursa
Lecture : On lit « a puissance n » ou « a exposant n ».
Exemples :
100 000 000 000 000 = 1014

2. Propriétés
2.1 Produit de deux puissances d’un même nombre
On a :
57×58=5×5×5×5×5×5×5×5×5
⏟
57
×5×5×5×5×5×5×5
⏟
57
=515
Plus généralement, on admet la propriété suivante :
Propriété 1: Pour tous nombres a et b et pour tous nombres entiers m et n
supérieurs ou égaux à 2 , on a :
an× am = a
n+m
2.2 Quotient de deux puissances d’un même nombre :
On a :
712
74=7×7×7×7×7×7×7×7×7×7×7×7×7
7×7×7×7=78
Plus généralement, on admet la propriété suivante :
Propriété 2 : Pour tout nombre a non nul et pour tous nombres entiers naturels m et
n supérieurs ou égaux à 2 avec m > n, on a :
am
an=am−n

2.3 Produit de deux puissances de même exposant :
On a :
53×23=5×5×5×5×2×2×2=(5×2)×(5×2)×(5×2)=(5×2)3=103
Plus généralement, on admet la propriété suivante :
Propriété 3 : Soient a et b deux nombres et n un nombre entier supérieur ou égal à 2,
on a :
(ab)
n = a n × b n
2.4 « Puissance de puissance »
On a :
( 43 )
2=43×43=46
Plus généralement, on admet la propriété suivante :
Propriété 4 : Pour tout nombre a et pour tous nombres entiers naturels m et n
supérieurs ou égaux à 2, on a :
am
n=amn