Réduction des matrices 1

Universit´e d’Orl´eans 2010-2011
M1 enseignement semaine 11
Isabelle Van den Boom.
R´eduction des matrices 1
Exercice 1 Diagonaliser la matrice A=
1 0 2
0 1 0
2 0 1
. Calculer Anpour n∈N∗.
Exercice 2 On consid`ere l’endomorphisme de R3dont la matrice dans la base canonique
est
A=
1 1 0
1−1m
0 1 1
o`u mest un r´eel donn´e.
1. Pour quelles valeurs de mla matrice Aest-elle trigonalisable ?
2. Pour quelles valeurs de mla matrice Aest-elle diagonalisable.
3. Lorsqu’elle est trigonalisable mais n’est pas diagonalisable, donner une forme r´eduite
triangulaire possible pour cet endomorphisme.
Exercice 3 Soit Eun espace vectoriel de dimension finie et uun endomorphisme de E
tel que u2=u.
1. Montrer que uest diagonalisable.
2. Que repr´esente g´eom´etriquement l’endomorphisme u?
Exercice 4 Soit fun endomorphisme nilpotent d’indice p > 1 d’un espace vectoriel de
dimension finie nsur un corps K.
1. Quelles sont les valeurs propres de f?
2. Montrer que fn’est pas diagonalisable.
Exercice 5 Soient n∈N?et E=Mn(R). Pour A∈E, on introduit u:E→Ed´efini
par
u(M) = AM
.
1. Soit Xun vecteur propre de Aassoci´e `a une valeur propre λ. On consid`ere la matrice
M∈Edont les colonnes sont ´egales `a X. Calculer AM.
2. Montrer que Aet uont les mˆemes valeurs propres
3. Pr´eciser les sous-espaces propres de uen fonction de ceux de A.
Exercice 6 Soit A= (ai,j )∈ Mn(C) v´erifiant pour tout i, j ∈ {1, . . . , n}ai,j ∈R+et
pour tout i∈ {1, . . . , n},
n
P
j=1
ai,j = 1.
Montrer que 1 est valeur propre de A. Justifier que si λ∈Cest valeur propre de Aalors
|λ|61.
Exercice 7 Soient fet gdeux endomorphismes d’un Cespace vectoriel Ede dimension
finie n.
1

1. Montrer que si g◦fa une valeur propre nulle alors f◦ga aussi une valeur propre
nulle.
2. Montrer que fadmet une valeur propre non nulle si et seulement si il existe α∈C
tel que idE−αf ne soit pas inversible.
3. Supposons que idE−(f◦g) soit inversible. Montrer que
[idE−(g◦f)] ◦idE+g◦idE−f◦g)−1◦f=idE.
En d´eduire que idE−(g◦f) est inversible.
4. Montrer que, quels que soient les endomorphismes fet g,f◦get g◦font les mˆemes
valeurs propres.
Exercice 8 Soient α∈Ret A=cos α−sin α
sin αcos α∈ M2(K) et B=cos αsin α sin α−cos α∈
M2(K) a) On suppose K=C. La matrice Aest-elle diagonalisable ? b) On suppose K=R.
La matrice Aest-elle diagonalisable ? c) Mˆemes questions avec B.
Exercice 9 Soit A=cos θ2 sin θ
1
2sin θcos θ.
1. D´eterminer deux r´eels α, β tel que A2=αA +βI2.
2. Calculer Anpour n>1.
Exercice 10 Soit A=5 3
1 3 ∈ M2(R).
1. Diagonaliser la matrice Aen pr´ecisant la matrice de passage P.
2. Soit M∈ M2(R) une matrice telle que M2+M=A. Montrer que P−1MP est
solution de l’´equation X2+X=D.
3. Montrer que toute solution de l’´equation X2+X=Ddans M2(R) est une matrice
diagonale. En d´eduire les solutions de l’´equation M2+M=A.
Exercice 11 Soit n>2. Montrer que la matrice J=
0 1 0 0
.
.
. 0 ...0
0...1
1 0 · · · 0
est diagonali-
sable dans Mn(C). Calculer J2, J3, ...
Application : calculer : 
a0a1· · · an−1
an−1
.......
.
.
.
.
.......a1
a1· · · an−1a0
.
2