TD2 Diagonalisation des endomorphismes

TD2 : Algèbre linéaire
I. Rappels mais pas seulement…
Leur faire démontrer le th du noyau/image + voir exos dep info
1. Exercice
Commençons par un petit rappel :
Soient E et F deux ensembles et une application ݂: ‫ܨ ⟶ ܧ‬.
• f est injective si tout élément de F admet au plus un antécédent par f, c’est-à-dire que
pour tout ‫ܨ ∈ ݕ‬, l’équation ݂ሺ‫ݔ‬ሻ = ‫ ݕ‬admet au plus une solution x dans E.
• f est surjective si tout élément de F admet au moins un antécédent par f, c’est-à-dire
que pour tout ‫ܨ ∈ ݕ‬, l’équation ݂ሺ‫ݔ‬ሻ = ‫ ݕ‬admet au moins une solution x dans E.
• f est bijective si elle est injective et surjective, c’est-à-dire que tout élément de F
admet un unique antécédent par f.
Soit ݂: ‫ ܨ ⟶ ܧ‬une application linéaire .
Montrer que ݂ est injectif si et seulement si kerሺ݂ሻ = 0ா .
2. Exercice
Soit ݂
a.
b.
c.
‫ݔ‬
‫ݔ‬+‫ݕ‬
∶ ℝ → ℝ l’application linéaire définie par ݂ ቌቆ‫ݕ‬ቇቍ = ൬
൰.
‫ ݔ‬− 2‫ ݕ‬+ ‫ݖ‬
‫ݖ‬
Donner la matrice de f dans les bases canoniques de ℝଷ et de ℝଶ .
f est-elle bijective ?
Déterminer la dimension et une base du noyau de ݂.
ଷ
ଶ
On rappelle que si f est un endomorphisme en dimension finie alors :
݂ est injectif ⇔ f surjectif ⇔ ݂ bijectif.
‫ ݔ‬+ ‫ ݕ‬+ 3‫ݖ‬
‫ݔ‬
Même questions avec ݂ ∶ ℝ → ℝ définie par ݂ ቌቆ‫ݕ‬ቇቍ = ൭2‫ ݔ‬+ ‫ ݕ‬+ 4‫ݖ‬൱.
‫ݖ‬
‫ݔ‬−‫ݕ‬−‫ݖ‬
ଷ
ଷ
3. Exercice
Les applications linéaires dont voici les matrices sont-elles injectives, surjectives ou
bijectives ? Si elle n'est pas injective, déterminer une base du noyau.
1 −2 1
1 −2 7
1 1 1
‫ = ܣ‬൭1 −1 2൱
‫=ܤ‬ቀ
ቁ
‫ = ܥ‬൭1 −1 1 ൱
0 1 2
2 −2 4
2 −2 10
1
IUT d’Orsay département Mesures Physiques S’4 : 2010-2011
II. Diagonalisation des endomorphismes
1. Exercice
On considère un endomorphisme f de ℝଷ dont la matrice dans la base canonique ℬ de ℝଷ
1
0 3
est ‫ = ܣ‬൭−2 5 2൱.
1 −1 1
a. A est-elle inversible ? Si oui, déterminer ‫ିܣ‬ଵ .
1
1
0
b. On considère les vecteur ‫ݑ‬ଵ = ൭1൱ , ‫ݑ‬ଶ = ൭1൱ et ‫ݑ‬ଷ = ൭ 2 ൱.
0
1
−1
Montrer que ℬ ᇱ = ሺ‫ݑ‬ଵ , ‫ݑ‬ଶ , ‫ݑ‬ଷ ሻ est une base de ℝଷ .
c. Déterminer la matrice de f dans la base ℬ ᇱ .
2. Exercice
Pour chacune des matrices A, répondre aux questions suivantes :
a. A est-elle inversible ? Si oui, calculer ‫ିܣ‬ଵ .
b. Déterminer les valeurs propres de A.
c. Déterminer la dimension et une base de chacun des sous-espaces propres de A.
d. A est-elle diagonalisable ? Si elle l’est répondre aux dernières questions, sinon
passer à la matrice suivante.
e. Donner la matrice de changement de base P permettant de diagonaliser A ainsi que
son inverse ܲ ିଵ.
f. Calculer ‫ܣ‬௡ pour ݊ ∈ ℕ.
2 1 1
1 0 0
1 0 0
1 1 1
1 0 1
2 1
ቀ
ቁ ൭1 2 1൱ ൭−1 1 −1൱ ൭0 0 1൱ ൭0 1 1൱ ൭0 1 1൱
4 −1
1 1 2
1 0 2
0 1 0
0 0 1
0 1 1
3. Exercice
‫ܧ → ܧ‬
.
ܲ ↦ ሺܺ ଶ − 1ሻܲᇱᇱ + ሺ2ܺ + 1ሻܲ′
a. Déterminer la matrice de u dans la base canonique de ℝ௡ [ܺ].
b. Montrer que u est diagonalisable.
Soit ‫ = ܧ‬ℝ௡ [ܺ] et ‫ݑ‬: ൜
4. Exercice
‫ܧ → ܧ‬
.
ܲ ↦ ሺܺ − ܽሻܲ′
Déterminer les valeurs propres de u ainsi que ses vecteurs propres.
Soit ‫ = ܧ‬ℝ௡ [ܺ] et ‫ݑ‬: ൜
2
IUT d’Orsay département Mesures Physiques S’4 : 2010-2011