TD2 Diagonalisation des endomorphismes

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IUT d’Orsay département Mesures Physiques S’4 : 2010-2011
TD2 : Algèbre linéaire
I
I. . R Ra ap pp pe el ls s m ma ai is s p pa as s s se eu ul le em me en nt t… …
Leur faire démontrer le th du noyau/image + voir exos dep info
1. Exercice
Commençons par un petit rappel :
Soient E et F deux ensembles et une application ݂:ܧ⟶ܨ.
• f est injective si tout élément de F admet au plus un antécédent par f, c’est-à-dire que
pour tout ݕ∈ܨ, l’équation ݂ሺݔሻ=ݕ admet au plus une solution x dans E.
• f est surjective si tout élément de F admet au moins un antécédent par f, c’est-à-dire
que pour tout ݕ∈ܨ, l’équation ݂ሺݔሻ=ݕ admet au moins une solution x dans E.
• f est bijective si elle est injective et surjective, c’est-à-dire que tout élément de F
admet un unique antécédent par f.
Soit ݂:ܧ⟶ܨ une application linéaire .
Montrer que ݂ est injectif si et seulement si kerሺ݂ሻ=0
ா
.
2. Exercice
Soit ݂∶ ℝ
ଷ
→ℝ
ଶ
l’application linéaire définie par ݂ቌቆݔ
ݕ
ݖቇቍ=൬ ݔ+ݕ
ݔ−2ݕ+ݖ൰.
a. Donner la matrice de f dans les bases canoniques de ℝ
ଷ
et de ℝ
ଶ
.
b. f est-elle bijective ?
c. Déterminer la dimension et une base du noyau de ݂.
On rappelle que si f est un endomorphisme en dimension finie alors :
݂ est injectif ⇔ f surjectif ⇔ ݂ bijectif.
Même questions avec ݂∶ ℝ
ଷ
→ℝ
ଷ
définie par ݂ቌቆݔ
ݕ
ݖቇቍ=൭ݔ+ݕ+3ݖ
2ݔ+ݕ+4ݖ
ݔ−ݕ−ݖ ൱.
3. Exercice
Les applications linéaires dont voici les matrices sont-elles injectives, surjectives ou
bijectives ? Si elle n'est pas injective, déterminer une base du noyau.
ܣ=൭1 −2 1
1 −1 2
2 −2 4൱ ܤ=ቀ111
012ቁ ܥ=൭1 −2 7
1 −1 1
2 −2 10൱

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IUT d’Orsay département Mesures Physiques S’4 : 2010-2011
I
II I. . D Di ia ag go on na al li is sa at ti io on n d de es s e en nd do om mo or rp ph hi is sm me es s
1. Exercice
On considère un endomorphisme f de ℝ
ଷ
dont la matrice dans la base canonique ℬ de ℝ
ଷ
est ܣ=൭1 0 3
−2 5 2
1 −1 1൱.
a. A est-elle inversible ? Si oui, déterminer ܣ
ିଵ
.
b. On considère les vecteur ݑ
ଵ
=൭1
1
0൱,ݑ
ଶ
=൭1
1
1൱ et ݑ
ଷ
=൭0
2
−1൱.
Montrer que ℬ
ᇱ
=ሺݑ
ଵ
,ݑ
ଶ
,ݑ
ଷ
ሻ est une base de ℝ
ଷ
.
c. Déterminer la matrice de f dans la base ℬ
ᇱ
.
2. Exercice
Pour chacune des matrices A, répondre aux questions suivantes :
a. A est-elle inversible ? Si oui, calculer ܣ
ିଵ
.
b. Déterminer les valeurs propres de A.
c. Déterminer la dimension et une base de chacun des sous-espaces propres de A.
d. A est-elle diagonalisable ? Si elle l’est répondre aux dernières questions, sinon
passer à la matrice suivante.
e. Donner la matrice de changement de base P permettant de diagonaliser A ainsi que
son inverse ܲ
ିଵ
.
f. Calculer ܣ
௡
pour ݊∈ℕ.
ቀ2 1
4 −1ቁ ൭2 1 1
1 2 1
1 1 2൱ ൭1 0 0
−1 1 −1
1 0 2൱ ൭100
001
010൱ ൭111
011
001൱ ൭101
011
011൱
3. Exercice
Soit ܧ=ℝ
௡
[ܺ] et ݑ:൜ ܧ → ܧ
ܲ↦ሺܺ
ଶ
−1ሻܲ
ᇱᇱ
+ሺ2ܺ+1ሻܲ′.
a. Déterminer la matrice de u dans la base canonique de ℝ
௡
[ܺ].
b. Montrer que u est diagonalisable.
4. Exercice
Soit ܧ=ℝ
௡
[ܺ] et ݑ:൜ ܧ → ܧ
ܲ↦ሺܺ−ܽሻܲ′.
Déterminer les valeurs propres de u ainsi que ses vecteurs propres.