sujet

2M371 – Algèbre linéaire 2
Mathématiques
Université Pierre et Marie Curie
Année 2016/2017
Devoir maison no 1
À rendre sur feuille le lundi 6 février 2017
Notations.– Dans la suite, k désignera un corps commutatif. Pour p, q deux entiers non nuls, Mp,q (k) désignera
l’ensemble des matrices à coefficients dans k constituées de p lignes et q colonnes ; si q = p, nous écrirons
Mp (k) au lieu de Mp,p (k). Pour V , W deux k-espaces vectoriels de dimensions finies non nulles, V, W des bases
respectives de V , W , et ` : V → W une application linéaire, matV,W (`) désignera la matrice de ` dans les bases
V et W ; si W = V et W = V, nous écritons matV (`) au lieu de matV,V (`).
Question de cours
Soient m, n, p trois entiers non nuls, et A = (aij )i,j ∈ Mn,p (k), B = (bij )i,j ∈ Mm,n (k).
1) Pour tous i ∈ [1, m] et j ∈ [1, p], que vaut le coefficient (i, j) de la matrice BA ?
Soient E, F, G trois k-espaces vectoriels de dimensions respectives p, n, m, E = (e1 , . . . , ep ), F = (f1 , . . . , fn ),
G = (g1 , . . . , gm ) des bases respectives de E, F, G, et u : E → F , v : F → G deux applications linéaires. On
suppose à présent que A = matE,F (u) et que B = matF ,G (v).
2) a. Pour tous i ∈ [1, m] et k ∈ [1, n], que vaut la i-ième composante du vecteur v(fk ) dans la base G ?
b. Pour tous k ∈ [1, n] et j ∈ [1, p], que vaut la k-ième composante du vecteur u(ej ) dans la base F ?
c. En déduire, pour tous i ∈ [1, m] et j ∈ [1, p], la valeur de la i-ième composante du vecteur v ◦ u(ej ) dans
la base G.
3) Comparer les résultats de 1) et de 2.c ; quel résultat fondamental retrouve-t-on ?
Problème
Dans ce problème, on suppose k = Q, et on se place dans le Q-espace vectoriel E = Q3 . On note E = (e1 , e2 , e3 )
la base canonique de E, et on considère l’application :
φ : E → E, (x, y, z) 7→ (x + 3y − z, 4y − 2z, y + z) .
On pose enfin φ0 = idE , où idE désigne l’application identité de E, puis, pour tout k ∈ N, φk+1 = φ ◦ φk .
1) a. Vérifier que φ est un endomorphisme de E.
b. Construire la matrice M = matE (φ) de φ dans la base E.
2) Prouver que φ est un automorphisme de E.
3) Montrer que φ3 − 6φ2 + 11φ − 6 idE est l’endomorphisme nul de E.
4) On suppose, dans cette question seulement, disposer de v ∈ E r{0E } et λ ∈ Q tels que φ(v) = λv.
a. Montrer que λ3 − 6λ2 + 11λ − 6 = 0.
b. En déduire que λ ∈ {1, 2, 3}.
5) Soient b1 = e1 , b2 = 2e1 + e2 + e3 , b3 = 5e1 + 4e2 + 2e3 , et, pour tout λ ∈ {1, 2, 3}, Eλ = ker(φ − λ idE ).
a. Pour tout λ ∈ {1, 2, 3}, montrer que Eλ = Vect(bλ ).
b. Vérifier que la famille B = (b1 , b2 , b3 ) est une base de E.
c. Expliciter la matrice P de passage de la base E à la base B.
6) Soit D = matB (φ) la matrice de φ dans la base B.
a. Expliciter D.
b. Exprimer M en fonction de D, P et P −1 .
c. En déduire, pour tous n ∈ N et (x, y, z) ∈ E, l’expression de φn (x, y, z).
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