sujet

2M371 – Algèbre linéaire 2 Université Pierre et Marie Curie
Mathématiques Année 2016/2017
Devoir maison no1
À rendre sur feuille le lundi 6 février 2017
Notations.– Dans la suite, kdésignera un corps commutatif. Pour p,qdeux entiers non nuls, Mp,q(k)désignera
l’ensemble des matrices à coefficients dans kconstituées de plignes et qcolonnes ; si q=p, nous écrirons
Mp(k)au lieu de Mp,p(k). Pour V,Wdeux k-espaces vectoriels de dimensions finies non nulles, V,Wdes bases
respectives de V,W, et `:V→Wune application linéaire, matV,W(`)désignera la matrice de `dans les bases
Vet W; si W=Vet W=V, nous écritons matV(`)au lieu de matV,V(`).
Question de cours
Soient m, n, p trois entiers non nuls, et A= (aij )i,j ∈Mn,p(k),B= (bij )i,j ∈Mm,n(k).
1) Pour tous i∈[1, m]et j∈[1, p], que vaut le coefficient (i, j)de la matrice BA ?
Soient E, F, G trois k-espaces vectoriels de dimensions respectives p, n, m,E= (e1, . . . , ep),F= (f1, . . . , fn),
G= (g1, . . . , gm)des bases respectives de E, F, G, et u:E→F,v:F→Gdeux applications linéaires. On
suppose à présent que A= matE,F(u)et que B= matF,G(v).
2) a. Pour tous i∈[1, m]et k∈[1, n], que vaut la i-ième composante du vecteur v(fk)dans la base G?
b. Pour tous k∈[1, n]et j∈[1, p], que vaut la k-ième composante du vecteur u(ej)dans la base F?
c. En déduire, pour tous i∈[1, m]et j∈[1, p], la valeur de la i-ième composante du vecteur v◦u(ej)dans
la base G.
3) Comparer les résultats de 1) et de 2.c; quel résultat fondamental retrouve-t-on ?
Problème
Dans ce problème, on suppose k=Q, et on se place dans le Q-espace vectoriel E=Q3. On note E= (e1, e2, e3)
la base canonique de E, et on considère l’application :
φ:E→E, (x, y, z)7→ (x+ 3y−z, 4y−2z, y +z).
On pose enfin φ0= idE, où idEdésigne l’application identité de E, puis, pour tout k∈N,φk+1 =φ◦φk.
1) a. Vérifier que φest un endomorphisme de E.
b. Construire la matrice M= matE(φ)de φdans la base E.
2) Prouver que φest un automorphisme de E.
3) Montrer que φ3−6φ2+ 11φ−6 idEest l’endomorphisme nul de E.
4) On suppose, dans cette question seulement, disposer de v∈Er{0E}et λ∈Qtels que φ(v) = λv.
a. Montrer que λ3−6λ2+ 11λ−6=0.
b. En déduire que λ∈ {1,2,3}.
5) Soient b1=e1,b2= 2e1+e2+e3,b3= 5e1+ 4e2+ 2e3, et, pour tout λ∈ {1,2,3},Eλ= ker(φ−λidE).
a. Pour tout λ∈ {1,2,3}, montrer que Eλ= Vect(bλ).
b. Vérifier que la famille B= (b1, b2, b3)est une base de E.
c. Expliciter la matrice Pde passage de la base Eà la base B.
6) Soit D= matB(φ)la matrice de φdans la base B.
a. Expliciter D.
b. Exprimer Men fonction de D,Pet P−1.
c. En déduire, pour tous n∈Net (x, y, z)∈E, l’expression de φn(x, y, z).
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