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Nombres complexes — Forme polaire
Alg`ebre lin´eaire I — MATH 1057 F
Julien Dompierre
D´epartement de math´ematiques et d’informatique
Universit´e Laurentienne
Sudbury, 3 avril 2011
Forme polaire
Le nombre complexe z=a+bi est
repr´esent´e par un point dans le plan com-
plexe. Ce point a (a,b) pour coordonn´ees
cart´esiennes. On peut aussi le donner par
ses coordonn´ees polaires qui sont
le module de z,r=|z| ≥ 0 et
l’argument de z,θ= arg(z).
La repr´esentation d’un nombre complexe
par ses coordonn´ees polaires (r, θ) est ap-
pel´ee la forme polaire de ce nombre.
a
b
ℜ
ℑ
z=a+bi
θ
r
Si la forme polaire (r, θ) d’un nombre complexe est connue, sa
forme cart´esienne (a,b) est alors donn´ee par
a=rcos θ,
b=rsin θ.
Conventions pour les coordonn´ees polaires
Si r>0, l’argument θest unique modulo 2π; ¸ca signifie que
deux valeurs de l’argument qui diff`erent par un multiple entier
de 2πsont consid´er´es comme ´equivalents. Pour obtenir une
repr´esentation unique, la convention est de choisir θdans
l’intervalle ] −π, π], c’est-`a-dire −π < θ ≤π.
Si r= 0, toute valeur de θd´etermine le mˆeme nombre. Pour
obtenir une repr´esentation unique dans ce cas, la convention
est de choisir arg(0) = 0.
Conversion de la forme polaire `a la forme cart´esienne
Exemples : A) Quel est le nombre complexe qui a pour forme
polaire (5,0) ?
a=rcos θ= 5 cos(0) = 5
b=rsin θ= 5 sin(0) = 0
z=a+bi = 5.
B) Quel est le nombre complexe qui a pour forme polaire 2, π/2 ?
a=rcos θ= 2 cos(π/2) = 0
b=rsin θ= 2 sin(π/2) = 2
z=a+bi = 2i.
C) Quel est le nombre complexe qui a pour forme polaire 6,−π/4 ?
a=rcos θ= 6 cos(−π/4) = 3√2
b=rsin θ= 6 sin(−π/4) = −3√2
z=a+bi = 3√2−3√2i.

Ce qu’il faut retenir en trigonom´etrie
Angle sin cos
0 (0◦) 0 1
π/6 (30◦) 0.5 √3/2
π/4 (45◦)√2/2√2/2
π/3 (60◦)√3/2 0.5
π/2 (90◦) 1 0
L’unit´e utilis´ee en trigonom´etrie
pour les angles est le radian (not´e
rad). πrad = 180˚.
Conversion de la forme cart´esienne `a la forme polaire
On suppose connue la forme cart´esienne (a,b) d’un nombre
complexe. Sa forme polaire (r, θ) est alors donn´ee par
r=pa2+b2
θ=
arctan(b/a) si a>0,
arctan(b/a) + πsi a<0 et b≥0,
arctan(b/a)−πsi a<0 et b<0,
+π/2 si a= 0 et b>0,
−π/2 si a= 0 et b<0,
0 si a= 0 et b= 0.
La formule pr´ec´edente n´ecessite de distinguer plusieurs cas.
Cependant, de nombreux langages de programmation fournissent
une variante de la fonction arc tangente, qui est souvent appel´ee
atan2(b,a), et qui traite les diff´erents cas `a l’interne.
Ce qu’il faut retenir en trigonom´etrie (suite)
Angle tan
0 (0◦) 0
π/6 (30◦) 1/√3
π/4 (45◦) 1
π/3 (60◦)√3
π/2 (90◦) +∞
2π/3 (120◦)−√3
3π/4 (135◦)−1
Conversion de la forme cart´esienne `a la forme polaire
Une formule utilisant la fonction arccos n´ecessite de distinguer
moins de cas :
θ=
+ arccos(a/r) si b≥0 et r6= 0,
−arccos(a/r) si b<0,
0 si r= 0.

Exemples de forme polaire
1) Soit z=−2 + 2ien forme cart´esienne. Trouvez la forme polaire.
Le rayon est donn´e par
r=q(−2)2+ (2)2=√8.
L’angle est donn´e par
θ= arctan 2
−2+π=3π 4(= 135◦).
2) Soit z=−4ien forme cart´esienne. Trouvez la forme polaire.
Le rayon est donn´e par
r=q(0)2+ (−4)2= 4.
On est dans le cas a= 0,b<0 donc l’angle est donn´e par
θ=−π
2(= −90◦).
Notation de la forme polaire
Quand la forme polaire est not´ee
z=r(cos θ+isin θ)
on l’appelle la forme trigonom´etrique.
Il existe une autre forme, la forme exponentielle.
Rappel sur les exponentiels :
exey=ex+y
e−x=1
ex
e0= 1
Exponentielles complexes
On peut prendre comme d´efinition de l’exponentiel complexe la
formule d’Euler (1748)
eiθ= cos θ+isin θ.
Le nombre complexe dont la forme trigonom´etrique est
z=r(cos θ+isin θ) s’´ecrit alors
z=reiθ,
qui est la forme exponentielle.
Exemple de forme polaire
2) Soit z=−4ien forme cart´esienne. Trouvez la forme polaire.
Le rayon est donn´e par
r=q(0)2+ (−4)2= 4.
On est dans le cas a= 0,b<0 donc l’angle est donn´e par
θ=−π
2(= −90◦).
La forme trigonom´etrique est
z= 4 cos −π
2+isin −π 2
et la forme exponentielle est
z= 4 e−iπ/2.

Exemple de forme cart´esienne
3) Soit z= 2eiπ/3en forme polaire. Trouvez la forme cart´esienne.
On a que le rayon est r= 2 et que l’angle est θ=π/3.
La partie r´eelle aest donn´ee par
a=rcos θ= 2 cos π
3= 21 2= 1.
La partie imaginaire best donn´ee par
b=rsin θ= 2 sin π
3= 2√3 2=√3.
La forme cart´esienne est donc
z= 1 + √3i.
Multiplication utilisant la forme polaire
La propri´et´e des exponentielles exey=ex+ys’´etend au cas des
exponentielles complexes.
eiθ1eiθ2=ei(θ1+θ2)
On peut le montrer avec la trigonom´etrie :
eiθ1eiθ2= (cos θ1+isin θ1)(cos θ2+isin θ2)
= (cos θ1cos θ2−sin θ1sin θ2) + i(cos θ1sin θ2+ sin θ1cos θ2)
= cos(θ1+θ2) + isin(θ1+θ2)
=ei(θ1+θ2)
La multiplication de deux nombres complexes est plus facile en
forme polaire qu’en forme cart´esienne :
z1z2=r1eiθ1r2eiθ2=r1r2ei(θ1+θ2).
Exemple de multiplication en forme polaire
4) Multipliez z= 1 −iet w= 1 + √3ien utilisant la forme
polaire.
On a que les formes polaires de zet wsont
z=√2e−iπ/4et w= 2 eiπ/3.
Alors le produit de zpar west donn´e par
zw = (√2)(2)ei((−π/4)+(π/3)) = 2√2eiπ/12.
Division utilisant la forme polaire
Suivant la mˆeme id´ee que sur le transparent pr´ec´edent, la division
de deux nombres complexes est beaucoup plus facile en forme
polaire qu’en forme cart´esienne :
z1
z2
=r1eiθ1
r2eiθ2=r1 r2
ei(θ1−θ2)
Notez aussi que
z=a−bi =re−iθ.
le conjugu´e est le complexe de mˆeme module, mais d’argument
oppos´e.

Exemple de division en forme polaire
5) Divisez z= 1 −ipar w= 1 + √3ien utilisant la forme polaire.
On a que la forme polaire de zet wsont
z=√2e−iπ/4et w= 2 eiπ/3.
Alors la division de zpar west donn´ee par
z
w=√2 2ei((−π/4)−(π/3)) =√2 2e−i7π/12.
Puissances utilisant la forme polaire
La forme polaire facilite aussi le calcul des puissances enti`eres selon
la formule de De Moivre (1730),
(cos θ+isin θ)n= cos(nθ) + isin(nθ).
En notation exponentielle, c’est plus ´evident
eiθn=ei(nθ).
Pour un complexe z=reiθquelconque, on obtient
zn= (reiθ)n=rn(eiθ)n=rneinθ
Exemple d’une puissance en utilisant la forme polaire
6) Soit z=−1 + √3i. Trouvez z12 = (−1 + √3i)12.
La forme polaire de zest
z= 2 ei2π/3.
Alors
z12 = 212 ei(12)(2π/3) = 4096ei8π= 4096 ei0= 4096.
Relation `a la trigonom´etrie
La formule d’Euler procure un lien puissant entre l’analyse et la
trigonom´etrie, et permet d’interpr´eter les fonctions sinus et
cosinus comme des sommes pond´er´ees de fonctions exponentielles.
Si on additionne ou soustrait les formules d’Euler :
eiθ= cos θ+isin θ, e−iθ= cos θ−isin θ,
et on r´esout soit le sinus, soit le cosinus, on obtient
cos θ=eiθ+e−iθ
2,sin θ=eiθ−e−iθ 2i.
Ces relations peuvent mˆeme servir de d´efinition aux fonctions
trigonom´etriques avec un argument complexe θ. Par exemple, soit
θ=iϕ, on a :
cos(iϕ) = e−ϕ+eϕ
2= cosh(ϕ),sin(iϕ) = e−ϕ−eϕ 2i=isinh(ϕ).