Exercices sur les nombres complexes - lycee

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EXERCICES RÉDIGÉS SUR LES NOMBRES COMPLEXES
Exercice 1 Valeur exacte du cosinus et du sinus de p /12
On considère les deux nombres complexes suivants :
z1 =eip
3et z2 = 4
p
-i
e
1. Écrire z1 et z2 sous forme algébrique.
2. Déterminer les écritures sous formes algébrique, exponentielle et trigonométrique de z1z2.
3. En déduire la valeur exacte du cosinus et sinus suivants :
cos p
12 et sin p 12
Exercice 2 Des pistes pour démontrer qu'un complexe est réel ou imaginaire pur
Démontrer les équivalences suivantes :
Z réel Û Z =Z
Z Î  Û ( Z = 0 ou arg(Z) = 0 [p] )
Z imaginaire pur Û Z + Z= 0
Z Î i Û ( Z = 0 ou arg(Z) = p
2 [p] )
Applications :
1. Comment choisir le nombre complexe z pour que Z = z2 + 2z - 3 soit réel ?
Soit E l'ensemble des points M du plan complexe d'affixe z tels que Z soit réel. Déterminer E.
2.On considère les points A et B d'affixes respectives i et 1. Soit M un point du plan d'affixe z distinct de A.
On pose Z = 1-
-
z
zi
Déterminer l'ensemble E des points M tels que Z soit réel.
Déterminer l'ensemble F des points M tels que Z soit imaginaire pur.
Exercice 3 Écriture complexe de transformations
1.Soit ¦ la transformation du plan complexe qui à M(z) associe M'(z') tel que :
z' = az + 3i
Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de ¦ lorsque a = 2, puis lorsque a = -i
2.On donne A(1), B(2 + i), A'(2i) et B'(1 + i).
Vérifier que AB = A'B'.
Démontrer qu'il existe une unique rotation r telle que r(A) = A' et r(B) = B'. La déterminer.
Exercice 4 Lieux de points
Soit z un nombre complexe différent de 1. On note M le point du plan complexe d'affixe z. On pose Z = 1
z
z
+
-
i.
Déterminer l'ensemble :
1. E des points M tels que Z soit réel.
2. F des points M tels que |Z| = 1.
3. G des points M tels que arg(Z) = p
2 [2p].

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Exercice 5 Utilisation des nombres complexes pour établir une propriété algébrique
Soient a, b Î . On suppose que a et b sont la somme de deux carrés :
il existe x, y Î  tels que a = x y
2 2
+ et il existe z, t Î  tels que b = z t
2 2
+
Démontrer que le produit ab est encore la somme de deux carrés. (Idée : écrire
( )
x y
2 2
+ = x y+i2 etc...)
Exercice 6 Identité du parallélogramme
Démontrer que pour tous nombres complexes Z et Z', on a :
|Z + Z'|2 + |Z - Z'|2 = 2|Z|2 + 2|Z'|2
(Indication : utiliser la relation : Z2 = ZZ )
Interpréter géométriquement.
Exercice 7 Racines de l'unité. Applications
Soit n Î *. On appelle racine nème de l'unité tout nombre complexe z tel que :
n
z= 1
On note n l'ensemble des racines nèmes de l'unité. Par exemple, 2 = {-1, 1}.
1.Démontrer que :
n = 2,{0,1,...,1}
k
nkn
p
ìü
ïï
Î-
íý
ïï
îþ
i
e
Démontrer que la somme des racines nèmes de l'unité est nulle.
Démontrer que, dans repère orthonormal direct
( )
12
,,Oee
uruur , les images Ak (0  k  n - 1) des nombres
wk = 2k
n
pi
esont les sommets d'un polygone régulier.
2.Applications :
a)Soit Z Î . On appelle racine nème de Z tout nombre complexe tel que :
n
z= Z
Soit R = |Z| et Qun argument de Z. Démontrer que Z admet les n racines nèmes suivantes :
2k
nnn
R
Qp
æö
+
ç÷
èø
i
e, 0  k  n - 1
b)Soit ¦ la fonction polynôme définie par :
¦(x) = x4+ 1
Déterminer les racines quatrièmes de -1 puis en déduire que ¦ peut s'écrire comme un produit de deux
fonctions polynômes de degré 2 à coefficients réels.
c)Soit z un nombre complexe tel que : 1 + z4 + z8 = 0
Démontrer que z est une racine 12ème de l'unité.

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Exercice 8 Transformation de a cos x + b sin x
Soient a et b deux réels. Démontrer qu'il existe deux réels R et q tels que pour tout x Î  :
a cos x + b sin x = R cos(x - q)
Application : résoudre, sur , l'équation : cos x + sin x = 1
Exercice 9 Calcul de la valeur exacte de cos(2 p /5) et cos(4 p /5)
Pour connaître le but de cet exercice, se reporter à la question 5.
1.Résoudre, dans  ´ , le système suivant :
u v
uv
+=-
=-
ì
í
ï
î
ï
1
2
1
4
2.On pose w = ei25
p
. Démontrer que : w0 + w1 + w2 + w3 + w4 = 0
En déduire (à l'aide des formules d'Euler) que :
cos 2
5
p
æö
ç÷
èø
+ cos 4
5
p
æö
ç÷
èø
= -
1
2
3.Démontrer que :
cos 2
5
p
æö
ç÷
èø
cos 4
5
p
æö
ç÷
èø
+ sin 2
5
p
æö
ç÷
èø
sin 4
5
p
æö
ç÷
èø
= cos 2
5
p
æö
ç÷
èø
et
cos 2
5
p
æö
ç÷
èø
cos 4
5
p
æö
ç÷
èø
- sin 2
5
p
æö
ç÷
èø
sin 4
5
p
æö
ç÷
èø
= cos 4
5
p
æö
ç÷
èø
4.En déduire que : cos 2
5
p
æö
ç÷
èø
cos 4
5
p
æö
ç÷
èø
= -
1
4
5.Démontrer que : cos 2
5
p
æö
ç÷
èø
=
-+1 5
4 et cos 4 5
p
æö
ç÷
èø
=
--1 5
4
Exercice 10 Carrés et parallélogramme
ABC est un triangle de sens direct.
DBA est un triangle isocèle et rectangle en D de sens direct.
ACE est un triangle isocèle et rectangle en E de sens direct.
On construit le point L tel que CL
®= DB ®.
1.Faire une figure.
2.Démontrer que EDL est un triangle rectangle isocèle en E de sens direct.

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Exercice 11 Des carrés autour d'un quadrilatère (Théorème de Von Aubel)
On considère un quadrilatère ABCD de sens direct.
On construit quatre carrés de centres respectifs P, Q, R et S qui s'appuient extérieurement sur les côtés [AB],
[BC], [CD] et [DA] du quadrilatère ABCD. (Voir figure)
Le but du problème est de démontrer que les diagonales du quadrilatère PQRS sont perpendiculaires et de
même longueur.
On notre a, b, c, d, p, q, r et s les affixes respectives des points A, B, C, D, P, Q, R et S dans un repère
orthonormé
( )
12
,,Oee
uruur de sens direct.
1.Démontrer que dans le carré construit sur [AB], on a :
p = 1
ab-
-
i
i
Établir des relations analogues pour q, r et s en raisonnant dans les trois autres carrés.
2.Calculer : sq
rp
-
-
Conclure.
R
D
S
Q
A
C
B
P

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Exercice 12 Des carrés autour d'un triangle (Point de Vecten)
On considère un triangle ABC de sens direct.
On construit trois carrés de centres respectifs P, Q et R qui s'appuient extérieurement sur les côtés [AB], [BC] et
[CA] du triangle ABC. (Voir figure)
On notre a, b, c, p, q et r les affixes respectives des points A, B, C, P, Q et R dans un repère orthonormé
( )
12
,,Oee
uruur de sens direct.
1.Démontrer que les triangles ABC et PQR ont le même centre de gravité.
2.Démontrer que dans le carré construit sur [AB], on a :
p = 1
ab-
-
i
i
Établir des relations analogues pour q et r en raisonnant dans les deux autres carrés.
3.Démontrer que les droites (AQ) et (PR) sont perpendiculaires
En déduire que les droites (AQ), (BR) et (CP) sont concourantes.
Information : ce point de concours s'appelle "point de Vecten" du triangle ABC.
P
R
Q
C
B
A