Projection

Nombres complexes — Forme polaire
Alg`ebre lin´eaire I — MATH 1057 F
Julien Dompierre
D´epartement de math´ematiques et d’informatique
Universit´e Laurentienne
Sudbury, 3 avril 2011

Forme polaire
Le nombre complexe z=a+bi est
repr´esent´e par un point dans le plan com-
plexe. Ce point a (a,b) pour coordonn´ees
cart´esiennes. On peut aussi le donner par
ses coordonn´ees polaires qui sont
le module de z,r=|z| ≥ 0 et
l’argument de z,θ= arg(z).
La repr´esentation d’un nombre complexe
par ses coordonn´ees polaires (r, θ) est ap-
pel´ee la forme polaire de ce nombre.
a
b
ℜ
ℑ
z=a+bi
θ
r
Si la forme polaire (r, θ) d’un nombre complexe est connue, sa
forme cart´esienne (a,b) est alors donn´ee par
a=rcos θ,
b=rsin θ.

Conventions pour les coordonn´ees polaires
Si r>0, l’argument θest unique modulo 2π; ¸ca signifie que
deux valeurs de l’argument qui diff`erent par un multiple entier
de 2πsont consid´er´es comme ´equivalents. Pour obtenir une
repr´esentation unique, la convention est de choisir θdans
l’intervalle ] −π, π], c’est-`a-dire −π < θ ≤π.
Si r= 0, toute valeur de θd´etermine le mˆeme nombre. Pour
obtenir une repr´esentation unique dans ce cas, la convention
est de choisir arg(0) = 0.

Conversion de la forme polaire `a la forme cart´esienne
Exemples : A) Quel est le nombre complexe qui a pour forme
polaire (5,0) ?
a=rcos θ= 5 cos(0) = 5
b=rsin θ= 5 sin(0) = 0
z=a+bi = 5.
B) Quel est le nombre complexe qui a pour forme polaire 2, π/2 ?
a=rcos θ= 2 cos(π/2) = 0
b=rsin θ= 2 sin(π/2) = 2
z=a+bi = 2i.
C) Quel est le nombre complexe qui a pour forme polaire 6,−π/4 ?
a=rcos θ= 6 cos(−π/4) = 3√2
b=rsin θ= 6 sin(−π/4) = −3√2
z=a+bi = 3√2−3√2i.

Ce qu’il faut retenir en trigonom´etrie
Angle sin cos
0 (0◦) 0 1
π/6 (30◦) 0.5 √3/2
π/4 (45◦)√2/2√2/2
π/3 (60◦)√3/2 0.5
π/2 (90◦) 1 0
L’unit´e utilis´ee en trigonom´etrie
pour les angles est le radian (not´e
rad). πrad = 180˚.