Une fonction non continue qui admet des primitives Étude d`une

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Une fonction non continue qui admet des primitives
Étude d’une fonction
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Soit f la fonction définie sur par : f(x) = x2sin( ) si x ≠ 0, et f(0) = 0.
x
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Pour tout x ≠ 0, −1 ≤ sin( ) ≤ 1 ⇒ −x2 ≤ f(x) ≤ x2, donc par le théorème des gendarmes,
x
lim f(x) = 0, donc f est continue en 0.
x→0
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Sur ]−∞, 0[ et sur ]0, +∞[, x sin( ) est dérivable en tant que composée de deux fonctions
x
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dérivables, et puisque x x est dérivable, f est dérivable en tant que produit de deux
fonctions dérivables.
f ( 0 + h ) − f ( 0)
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f ( 0 + h ) − f ( 0)
= hsin( ) donc 0 ≤ hsin( ) ≤ h et lim
= 0,
h
→
0
h
h
h
h
limite finie, donc f est dérivable à droite en 0. De même, elle est dérivable à gauche en 0 et
f ’(0) = 0. Finalement, f est dérivable sur .
Pour h > 0,
1
1
1
1
1
Sur ]−∞, 0[ et sur ]0, +∞[, f ’(x) = 2xsin( ) + x2 × (− 2 ) × cos( ) = 2xsin( ) − cos( ).
x
x
x
x
x
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Or cos( ) n’a pas de limite en 0, donc f ’(x) non plus, et donc f ’ n’est pas continue en 0.
x
En résumé, f est une fonction dérivable sur dont la dérivée n’est pas continue.
60 Divers Net/3241up02 Primitive d'une fonction non continue.doc/1012
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Une fonction non continue qui admet des primitives
Soit maintenant g la dérivée de la fonction f ci-dessus, c'est-à-dire la fonction définie sur 1
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par : g(x) = 2xsin( ) − cos( ) si x ≠ 0, et g(0) = 0.
x
x
Alors g n’est pas continue sur car elle n’est pas continue en 0. Pourtant, puisqu’elle est la
dérivée d’une fonction f, elle admet des primitives sur .
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Celles-ci sont de la forme G(x) = x2sin( ) + k, k ∈ .
x
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