examen

Université de Gabès
Faculté des Sciences de Gabès.
A. U.
2015-2016.
EXAMEN
SECTION : LFPH2 U.E :
Epreuve de : Electromagnétisme I
Nature de l’épreuve : DC xDS EF Documents : autorisés non autorisés x
Date de l’épreuve : 16/11/2015 Calculatrice : autorisée xnon autorisée
Durée de l’épreuve : 1 heure Session : principale contrôle
Action d’un cham extérieur sur un cylindre
On place un cylindre, infini, conducteur et électriquement neutre, dans un champ électrique
appliqué −→ E créé par un dispositif externe non étudié ici permanent et uniforme, perpendiculaire
à l’axe Oz.
1– Justifier qu’on peut prendre −→ E=E0
−→
ux.
2– Lorsque l’équilibre électrostatique est atteint, que vaut le champ électrique à l’intérieur
du cylindre ?
On cherche le champ électrique résultant à l’extérieur du cylindre. Pour cela on cherche le po-
tentiel électrique V, solution de l’équation de Laplace ∆V=0 sous la forme V(r,θ) = g(r)cosθ.
3– Ecrire l’équation différentielle satisfaite par la fonction get en chercher deux solutions
g1et g2sous la forme rp.
4– La fonction gétant de la forme Ag1+Bg2, en déduire l’expression des composantes
du champ électrique sans chercher à déterminer les constantes Aet Bqui seront obtenues dans
les questions suivantes.
5– Loin du cylindre, le champ électrique tend vers le champ électrique appliqué −→ E. En
déduire l’une des constantes
6– Rappeler les relations de passage du champ électrique à la traversée de la surface du
cylindre de rayon R.
7– En déduire l’autre constante puis la densité surfacique de charge σ(r,θ)qui apparaît à
la surface du cylindre.
ON DONNE : Le laplacien en coordonnées cylindriques
∆V=1
r
∂
∂r(r∂V ∂r) + 1 r
∂
∂θ (1 r
∂V
∂θ ) + ∂V ∂z
1

Correction
1– Le champ appliqué est uniforme et perpendiculaire à l’axe de révolution Oz du cy-
lindre. On peut alors choisir Ox suivant la direction de −→ Eest par suite −→ E=E0
−→
ux. Ce choix
simplifie les calculs mais ne réduit pas la généralité du problème.
2– A l’équilibre électrostatique le champ électrique est nul à l’intérieur du cylindre.
3– Le laplacien en coordonnées cylindriques s’écrit
∆V=1
r
∂
∂r(r∂V ∂r) + 1 r
∂
∂θ (1 r
∂V
∂θ ) + ∂V ∂z
Comme le système est invariant par translation suivant z,Vest indépendant de zet par suite la
dernière dérivée partielle dans l’expression précédente est nulle. Il en résulte que l’équation de
Laplace s’écrit dans ce cas
∆V=1
r
∂
∂r(r∂V ∂r) + 1 r
∂
∂θ (1 r
∂V
∂θ )
=0
Soit ∂
∂r(r∂V ∂r) + ∂ ∂θ (1 r
∂V
∂θ ) = 0 (1)
En notant . get .. grespectivement la dérivée première et la dérivée seconde de gpar rapport à r,
on a
V=g(r)cosθ
r∂V
∂r=rcosθ.
g
∂
∂r(r∂V ∂r) = cosθ(.
g+r.. g)
∂V
∂θ =−gsinθ
∂
∂θ (1 r
∂V
∂θ ) = −1 rgcosθ
En portant les différents termes dans l’équation 1, on obtient après simplification
.
g+r.. g−1
rg=0
Ou encore
−g+r. g+r2.. g=0 (2)
En cherchant une solution de la forme g=rp, on . g=prp−1et .. g=p(p−1)rp−2. En portant ces
termes dans 2, on obtient après simplification
p2−1=0
Les valeurs possible de psont donc ±1. Soit g1=ret g2=1
r.
2

4– On a
g=Ag1+Bg2
=Ar +B
r
V= (Ar +B
r)cosθ
−→
E1=−
−−→
grad V
En utilisant l’expression du gradient en coordonnées cylindriques, il vient
−→
E1=−
∂V
∂r
1
r
∂V
∂θ
∂V
∂z
=
(−A+B
r2)cosθ
(+A+B
r2)sinθ
0
5– Quant r−→ +∞,−→ E1tend vers −→
E. D’une part, −→ E=E0
−→
uxs’écrit en coordonnées
cylindriques
−→
E=
E0cosθ
−E0sinθ
0
D’autre part
−→
E1
r→+∞
−→ 
−Acosθ
Asinθ
0
On déduit que A=−E0
6– En repérant par 1 l’intérieur du cylindre et par 2 l’extérieur, les relations de passage du
champ électrique à la traversée de la surface du cylindre de rayon Rsont :
−→
n12 ∧(−→ E2−−→ E1) = −→ 0 (3)
−→
n12 ·(−→ E2−−→ E1) = σ
ε0
(4)
Avec ces notations −→ n12 est confondu avec −→ ur.
Il faut bien noter que les équations de passage sont valables à l’interface ; pour r=R.
3

7– En considérant que −→ E1=−→ 0 et en utilisant l’équation de la continuité de la composante
tangentielle 3, on obtient
−→
ur∧(E0+B
R2)−→
ur+ (−E0+B
R2)−→
uθ=0
On déduit que
B=E0R2
En utilisant l’équation de la discontinuité de la composante normale 4 ; on obtient que
σ=2ε0E0cosθ
Expressions finales de Eet V
Le champ électrique est
−→
E1=
E0(1+R2
r2)cosθ
E0(−1+R2
r2)sinθ
0
Et le potentiel électrique est
V=−E0(r−R2
r)
4