Correction DS N°1 Electromagnétisme – 2008/2009 Questions de cours a) On a B = 0.435 T et H = 3.44 105A/m la perméabilité pour un milieu linéaire est B H soit 1.26 10 6 H / m b) Calcul de la susceptibilité du matériau : B 1 3 10 3 M et M H d’où 0 0 c) La susceptibilité est faible et positive, donc le milieu est paramagnétique. Exercice 1 on a H Soit un cylindre polarisé avec P Pe x . 1) a) Densités de charge de polarisation : Densité de charge volumique : comme la polarisation est uniforme on a p 0 Densité de charge surfacique : Pour la surface latérale, on a n e donc p P.n Pe x .e P cos b) Le potentiel crée par le dipôle d p est : dVp soit : dVp dp.u 40 r 2 P.u d 40 r 2 Comme P est uniforme, donc Vp Es P.u u d P. d P.E s 2 40 r 40 r 2 u d est un champ électrique fictif crée par le cylindre chargé en 40 r 2 volume avec une densité volumique 1 2) a) Calcule de Vp : À l’intérieur du cylindre : Pour déterminer Vp, il faut d’abord calculer Es en utilisant le théorème de Gauss. c) Direction de Es : les plans (e , e z ) et (e , e ) sont deux plans de symétrie, donc Es est porté par l’intersection de ces deux plans. Soit E s E s e Variable dont dépend Es : Le cylindre est invariant par rotation autour de Oz et par translation suivant Oz ( on suppose le cylindre très long) donc E s E s ( )e Appliquons alors le théorème de Gauss sur un cylindre de hauteur h et de rayon R Q int On a E s .dS 0 Le flux à travers les surfaces de Base = 0 car dS Es Le flux à travers la surface latérale est E .dS E 2h s s La charge interne à la surface de Gauss est r 2 h Es Donc : r e 2 0 Es De même pour r > R R2 e 2r 0 Donc : Pr cos 2 0 PR 2 r R V p P.E s cos 2r 0 rR V p P.E s b) Le champ électrique crée par le cylindre polarisé est : P rR E p gradV p 2 0 2 PR r R E p gradV p cos er sin e 2r 2 0 c) - - - - - Ep + - Oy + P + + + + + Ox + + Le plan (Oz,Oy) est un plan d’antisymétrie, donc le champ Ep est suivant Ox. 2) A l’intérieur du cylindre, on a E p Or E E 0 E p et P 0 E P 2 0 d’où P 2 0 E 2 Exercice 2 1) Pour un fil infini dirigé suivant oz , les règles de symétries suivantes : Direction de B Tout plan (e , e z ) est un plan de symétrie, donc B est suivant e Variables dont dépend B : Le fil infini est invariant par translation suivant Oz et par rotation autour de Oz , donc B ne dépend que de r Soit : B(r , , z ) B(r )e 2) Pour déterminer le module de B, utilisant le théorème d’Ampère. Comme B est suivant e , on choisit comme contour d’intégration un cercle de rayon r Le théorème d’Ampère donne : B.dl 0 I B 2r 0 I B 0 I 2r N.B. r est la distance entre le point ou on calcule le champ et le fil parcouru par I 3) Le potentiel vecteur se déduit par la relation B rot A Le plan (Ox, Oy) est un plan d’antisymétrie, donc A est suivant Oz, de même A ne dépend que de r d d 0 Donc : A(r , , z ) A(r )k A Ar 0 et d dz N.B. c est important d’utiliser les règles de symétrie avant de calculer rotA dA Car rot A se réduit à e dr I dA Donc : rot A B e 0 e dr 2r A D’où 0 I ln r k 2 4) a) La distance entre le premier fil infini et le point ou on calcul le champ est x + r2 La distance entre le deuxième fil infini et le point ou on calcul le champ est x + r1 en tenant compte du sens du courant, le champ ou point M est alors : I 1 1 B( x) B1 B2 0 ( ) 2 r2 x r1 x b) Déterminons le flux envoyé par les deux fils à travers la boucle. On a B.dS N.B . Le champ dépend de x. On a dS = dxdz donc B( x)dxdz Avec x varie entre 0 et a Donc 0 I 2 1 1 )dxdz r2 x r1 x 0 Ia r2 a r a (ln ln 1 ) 2 r2 r1 d c) La force électromotrice induite dans la boucle est e Soit : ( dt I sin( t )a r2 a r a e 0 0 (ln ln 1 ) 2 r2 r1 5) En utilisant les résultats de la question 3, le potentiel crée par les deux fils est alors : 0 I I ln( r2 x) 0 ln( r1 x) 2 2 dA 6) Le champ de Neumann se déduit par la relation Em dt I Em 0 [ln( r2 x) ln( r1 x)] sin( t )k Soit 2 A 7) La f.e.m induite dans la boucle se déduit à partir de la circulation du champ électromoteur calculé le long de la boucle carrée. Comme le champ électromoteur est suivant Oz, la circulation suivant MN ET QP est nulle Donc : Soit : M N Q P e E m dl E m dl E m dl a[ E m ( x 0) E m ( x a)] e 0 I 0 sin( t )a r2 a r a (ln ln 1 ) 2 r2 r1