Exercice n°4 Un cylindre plein, de masse m et de rayon R roule

Leçon n°8 : Energétique des solides en rotation PHR004
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Exercice n°4
Un cylindre plein, de masse m et de rayon R roule sans glisser, à la vitesse 0
v, sur un plan
horizontale puis aborde par une arête un plan incliné caractérisé par l'angle α.
1°) Quelle est l'énergie cinétique K dans la phase horizontale ?
2°) Quelle est la vitesse 0
v maximale acceptable pour que le cylindre ne décolle pas sur
l'arête?
Solution
1°) L’énergie cinétique totale K est la somme de l’énergie cinétique de translation et de
l’énergie cinétique de rotation :
2
20
0
mJ
Kv
22
•
=
+θ
comme le roulement s’effectue sans glissement :
2
0
0
vR
•
=
θ
⇒
22
00
mm
Kv v
24
=+
2
0
3
Kmv
4
=
2°) Lorsque le cylindre aborde l’arête avec une vitesse suffisamment faible, il existe une
phase de contact avec rotation du cylindre autour d’un axe horizontal confondu avec l’arête :

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La vitesse du centre de masse s’exprime sous la forme :
vvT=
JGJG
Le théorème de conservation de l’énergie conduit à l’équation :
22
0
33
mv mgR mv mgRcos
44
+=+ θ
L’équation fondamentale de la dynamique appliquée au centre de masse donne :
Fma=
G G
⇒
2
mg m R T m R N
•• •
+=θ +θ
JJJG
JJJG JGJG
R
En multipliant scalairement cette équation par le vecteur normal, il vient :
2
mgcos mR• θ−= θR

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Le cylindre décolle lorsque la force de réaction est nulle :
2
d
d
gcos R0
•
→θ=θ=R
⇒
()
2
2
0dd
33
mv mgR 1 cos mv
44
+−θ=
En utilisant la relation : d
d
VR
•
=θ, on obtient :
()
0d
gR
v7cos4
3
=θ−
La vitesse initiale maximale permise correspond à l’angle de décollement identique à l’angle
α du plan incliné :
()
0max gR
v7cos4
3
=α−