Exercice n°4 Un cylindre plein, de masse m et de rayon R roule

Leçon n°8 : Energétique des solides en rotation PHR 004 Exercice n°4
Un cylindre plein, de masse m et de rayon R roule sans glisser, à la vitesse v 0 , sur un plan
horizontale puis aborde par une arête un plan incliné caractérisé par l'angle α.
1°) Quelle est l'énergie cinétique K dans la phase horizontale ?
2°) Quelle est la vitesse v 0 maximale acceptable pour que le cylindre ne décolle pas sur
l'arête?
Solution
1°) L’énergie cinétique totale K est la somme de l’énergie cinétique de translation et de
l’énergie cinétique de rotation :
K=
m 2 J •2
v0 + θ 0
2
2
comme le roulement s’effectue sans glissement :
•2
v0 = R θ 0
⇒
K=
m 2 m 2
v0 +
v0
2
4
K=
3
2
m v0
4
2°) Lorsque le cylindre aborde l’arête avec une vitesse suffisamment faible, il existe une
phase de contact avec rotation du cylindre autour d’un axe horizontal confondu avec l’arête :
1
Leçon n°8 : Energétique des solides en rotation PHR 004 La vitesse du centre de masse s’exprime sous la forme :
JG
JG
v=vT
Le théorème de conservation de l’énergie conduit à l’équation :
3
3
m v02 + m g R = m v 2 + m g R cos θ
4
4
L’équation fondamentale de la dynamique appliquée au centre de masse donne :
G
G
F=ma
⇒
••
•2
JJJG JJJG
JG
JG
mg + R = m θ R T + m θ R N
En multipliant scalairement cette équation par le vecteur normal, il vient :
m g cos θ −
2
R
•2
=mR θ
Leçon n°8 : Energétique des solides en rotation PHR 004 Le cylindre décolle lorsque la force de réaction est nulle :
R
=0
→
•2
g cos θd = R θd
⇒
3
3
2
m v02 + m g R ( 1 − cos θd ) = m vd
4
4
•
En utilisant la relation : Vd = R θd , on obtient :
v0 =
gR
( 7 cos θd − 4 )
3
La vitesse initiale maximale permise correspond à l’angle de décollement identique à l’angle
α du plan incliné :
v0 max =
3
gR
( 7 cos α − 4 )
3