Semaine 6 (du 17 octobre au 04 novembre)

Lyc´ee Henri IV MP 2016-2017
Programme d’interrogations.
Semaine 6 : Lundi 17 octobre - Vendredi 04 novembre
•R´evisions du programme pr´ec´edent (s´eries num´eriques).
•Topologie des espaces vectoriels norm´es.
Normes ; exemples fondamentaux dans Kn,C0([a, b],K), K[X], Mn(K) et variations sur ces exemples. Espace
norm´e produit d’un nombre fini d’espaces vectoriels norm´es.
Boules, sph`eres.
Application lipschitzienne d’un evn dans un autre. Une norme est 1-lipschitzienne.
Normes ´equivalentes ; ´equivalences des normes usuelles dans Kn, exemples de normes non ´equivalentes. Preuve
de l’´equivalence des normes en dimension finie (par r´ecurrence sur la dimension de l’espace).
Parties born´ees, voisinages, ouverts, ferm´es. Les boules ouvertes (resp. ferm´ees) sont ouvertes (resp. ferm´ees)
(qu’on se le dise !). Les seules parties ouvertes et ferm´ees d’un evn Esont le vide et E.
Limite d’une suite. Propri´et´es usuelles. Si l’espace de d´epart est de dimension finie l’existence d’une limite
´equivaut `a l’existence d’une limite pour les suites de coordonn´ees dans une base.
Adh´erence d’une partie d’un espace vectoriel norm´e : d´efinition topologique et caract´erisation s´equentielle. C’est
le plus petit ferm´e contenant la partie. Propri´et´es usuelles. Partie dense.
Int´erieur ... Fronti`ere d’une partie.
Distance `a une partie. Un point est `a distance nulle de Asi et seulement si il est dans A. L’application
x7→ d(x, A) est lipschitzienne.
Topologie induite sur une partie : voisinages, ouverts et ferm´es relatifs ; si Aest une partie d’un evn E, les
ouverts relatifs d’une partie Asont les traces sur Ades ouverts de E. Cas particulier d’une partie ouverte
ou ferm´ee. L’adh´erence relative `a Ad’une partie est la trace sur Ade son adh´erence (ce n’est pas vrai pour
l’int´erieur ...).
D´efinition s´equentielle de la compacit´e. Les compacts sont ferm´es et born´es. La r´eciproque est vraie en dimension
finie.
Un ferm´e dans un compact est compact.
Une intersection quelconque et une r´eunion ou un produit fini de compacts sont compacts.
Dans un compact les suites convergentes sont celles qui n’ont qu’une valeur d’adh´erence. dans un espace vec-
toriel norm´ede dimension finie, les suites born´ees sont convergentes si et seulement si elles n’ont qu’une valeur
d’adh´erence.
Une intersection d’une suite d´ecroissante de compacts est non vide (HP).
Limite d’une fonction en un point adh´erent `a une partie. Propri´et´es usuelles. Caract´erisation s´equentielle.
Continuit´e sur une partie ; cas des applications lipchitziennes. Cas des applications lin´eaires : parmi les d´efinitions
diff´erentes, on a insist´e sur la recherche d’un K>0 tel que, pour tout x∈E,kf(x)k6Kkxk. On note |||T|||
la norme subordonn´ee d’un op´erateur T(i.e. la plus petite constante de Lipschitz pr´ec´edente).
La norme subordonn´ee (”triple”) n’est officiellement plus au programme mais on peut attendre une certaine
familiarit´e sur le sujet.
Cas des applications multilin´eaires (par exemple le d´eterminant).
Cas des applications dans un espace de dimension finie (resp. dans un produit fini d’espaces vectoriels norm´es).
Propri´et´es globales :
•Image continue d’une partie compacte ; cas particulier des fonctions `a valeurs r´eelles. Retour sur l’´equivalence
des normes en dimension finie.
•Applications uniform´ement continues. Une application fest uniform´ement continue si et seulement si pour
tout couple (xn)n∈N,(yn)n∈Nde suites telles que xn−yn→0Eon a f(xn)−f(yn)→0E. Th´eor`eme de
Heine.
•Image r´eciproque d’un ouvert(resp. ferm´e) par une application continue. Exemples divers (GLn(K) est ouvert,
les sous-espaces vectoriels, les sous-espaces affines, sont, en dimension finie, ferm´es, etc.).
Toutes les notions topologiques introduites sont inchang´ees par changement des normes en des normes
´equivalentes.
Rappel : la notion de suite de Cauchy et donc la compl´etude sont devenus hors programme.
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Pr´evisions pour la semaine 7(du 14 au 18 novembre) :
•R´evision du programme pr´ec´edent (topologie des espaces vectoriels norm´es.)
Connexit´e par arcs ; composantes connexes par arcs.
•R´evisions d’alg`ebre lin´eaire de MPSI sans les d´eterminants.
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