TD1

Université de Rennes
Département de Mathématiques Année 2011-2012
Master1 de Mathématiques
“Analyse réelle et complexe de base"
Feuille de TD n01
1. Espaces de Hilbert
Exercice 1.1. Soit Eun espace préhilbertien. Soit u; v deux vecteurs de E:
1. Montrer que le cas d’égalité j<u; v > jDkuk kvka lieu si et seulement
si uet vsont colinéaires.
Qu’en est-il de l’égalité kuCvkDkukCkvk:
2. Soit uun vecteur non nul et ˛un réel. Soit fWE!Edéfinie par
f .x/Dx˛hx;ui:upour tout x:
Déterminer ˛pour que hf .x/; f .y/iDhx;yipout tout .x;y/2E2:
Exercice 1.2. Pour p2Œ1;C1, on définit sur C2, la norme k kppar k.x;y/kpD
.jxjpC jyjp/1
psi p<C1 et k.x;y/k1Dmax .jxj;jyj/:
Montrer que k kpest associée à un produit scalaire si et seulement si pD2:
Exercice 1.3. Pour p2Œ1;C1, montrer que la norme de Lp.Œ0;1; C/est issue
d’un produit scalaire si et seulement si pD2
Exercice 1.4. L’espace C.Œ0;1/ des fonctions continues sur Œ0;1, muni du pro-
duit scalaire induit par L2.Œ0;1/:<u; v >DZ1
0
u.t/v.t/dt , est-il un espace de
Hilbert?
Exercice 1.5. Soit h1.N/D fa2l2.N/; P1
nD0n2janj2<C1g:On pose pour
tout aD.an/et bD.bn/éléments de h1.N/
<a;b>D
C1
X
nD0
.1Cn2/anbn:
1. Montrer que l’application < :; : > est un produit scalaire. Montrer h1.N/
muni de ce produit scalaire est un espace de Hilbert.
2. Montrer que h1.N/est dense dans l2.N/.
1

3. Montrer que la boule unité fermée de h1.N/est compacte dans l2.N/.
Exercice 1.6.
1. Soit Hun espace de Hilbert et a2Hn0:Montrer que 8u2H
d.u;fag?/Dj<u;a>j
kak:
2. Soit Fle sous-espace de L2.Œ0;1/ défini par
FD ff2L2.Œ0;1/; R1
0f .x/dx D0g. Montrer que Fest un fermé et
calculer la distance de la fonction fWx7! exàF:
Exercice 1.7. Soit Eun espace vectoriel normé.
1. Montrer que la boule unité BD fu2E;kuk  1gest un convexe fermé.
2. Pour tout kuk>1, montrer l’existence d’un v2Btel que
kuvk D d.u;B/: Est-il unique?
Exercice 1.8. Soit Eun C-espace vectoriel muni d’une norme qui vérifie l’identité
du parallélogramme: pour tout u; v 2E:kuCvk2Ckuvk2D2kuk2C kvk2
On définit l’application fWEE!Cpar
f .u; v/ D1
4
3
X
kD0
ikkuCikvk2
On se propose d’établir que fest un produit scalaire de norme associée k:k
( théorème de Von neumann).
Montrer que pour tout u; v; w 2Eet 2Con a
1. f .u;u/D kuk2
2. f .u; v/ Df .v; u/
3. f .uCv; w/ D2f .u;w
2/C2f .v; w 2/
4. f .u; v/ D2f .u;v
2/
5. f .uCv; w/ Df .u; w/ Cf .v; w/
6. f .u; v/ Df .u; v/:
(on commencera par 2N, puis on étendra à Q;Ret enfin à C).
2

Exercice 1.9. Soit Hun espace de Hilbert et .en/n2Nune suite orthonormée dans
H:
1. Soit u2H. Montrer que limn!C1 <u;en>D0:En déduire la limite de
la suite kuenk:
2. Montrer que le sous-espace VD fen;n2Ngest fermé borné mais non
compact. (indication: calculer kemenk)
3. Montrer que WD f.1C1
n/en;n2Ngest fermé, mais qu’il n’existe aucun
élément v2Wtel que d.0;W/D kvk:
Exercice 1.10. Soient H1et H2deux espaces de Hilbert et ˚WH1!H2une
application linéaire.
1) Montrer que les relation suivantes sont équivalentes:
1. k˚.u/kDkuk, pour tout u2H1:
2. < ˚.u/; ˚.v/ >D<u; v > pour tout u; v 2H1:
2) Soit ˚une isométrie linéaire. Montrer que:
1. ˚.H1/est un sous-espace de Hilbert de H2:
2. Si E1est sous-espace vectoriel dense de H1alors ˚.E1/est un sev dense
dans ˚.H1/:
3. Si .e/2est une base hilbertienne de H1alors ˚..e/2/est une base
hilbertienne de ˚.H1/:
Exercice 1.11. Soit .E;k:k/un espace vectoriel normé.
1) On dit que Eest lisse si la fonction norme possede des dérivées dans toutes
les directions en tout point différent de l’origine, en d’autres termes pour tout
u6D 0et v2Eon a limt!0kuCtvkkuk
texiste.
2) On dit que Eest uniformément convexe si pour tout  > 0,
inf 1
uCv
2
;tel que kukDkvk D 1;kuvk>2>0:
Montrer qu’un espace préhilbertien est lisse et uniformément convexe.
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