mecanique i - Université Virtuelle de Tunis

Ministère de l’Enseignement Supérieur, de la Recherche Scientifique et de la
Technologie
Université Virtuelle de Tunis
1
M Hichem Trabelsi
MECANIQUE I
CINEMATIQUE DU POINT MATERIEL
Habib Bouchriha, Zeineb Benahmed, Dhouha Gamra, Ridene Saïd
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Cinématique du point matériel
Le cadre spatio-temporel de la mécanique étant précisé et, pour étudier
complètement le mouvement dun point matériel, il faut se donner, en plus
du vecteur position, deux autres grandeurs cinématiques fondamentales : le
vecteur vitesse et le vecteur accélération.
Nous allons dans ce chapitre dénir ces grandeurs et les représenter dans
les trois bases cartésienne, cylindrique et sphérique ainsi que dans la base
de Frenet. Nous décrirons ensuite, sans nous préoccuper des causes qui les
provoquent, quelques mouvements particuliers que lon rencontre souvent :
les mouvements rectiligne et circulaire, le mouvement plan à accélération
centrale et le mouvement hélicoïdal.
1. 1. La vitesse
Le vocable vitesse traduit souvent une sensation intuitive que nous évo-
quons à tout moment. Elle mesure la rapidité ou la lenteur de nos actes et
atteste de notre vivacité ou de notre apathie dans lappréhension des choses
de la vie.
En physique, son sens quoique plus précis, nest pas facilement cernable
pour le non initié. Ainsi, si lon parcourt 130 km en deux heures sur la
G.P.1 pour aller de Tunis à Sousse, on dira que notre vitesse moyenne est
de 65 km=h. Mais il ne faut pas croire quon a roulé durant tout le trajet
à ce rythme. Suivant la uidité de la circulation ou létat de la route, on a
tantôt roulé à 90 km=h tantôt à 20 ou 40 km=h. En fait, ces deux chi¤res que
donne le compteur sont des vitesses instantanées et ce sont plus exactement
des modules de ces vitesses car ; en toute rigueur, il faut spécier la direction
et le sens à chaque instant, la vitesse étant une grandeur vectorielle. Ces
constatations nous permettent de formaliser progressivement les dénitions
qui suivent.

2
1.1. 1.1 Dénitions
1.1.1 1.1.1 Vitesse moyenne
Comme nous lavons vu, la notion de vitesse moyenne est une notion
utilisée couramment dans la vie quotidienne par le piéton, le cycliste, lauto-
mobiliste,... Cest le quotient dune longueur de trajet par la durée mise à le
parcourir.
Considérons un mobile Mse déplaçant sur une trajectoire (C):
•
y
x
O
(C)
A
z
⊕
V
2
r
1
r
r∆
M
v
M1
M2
Fig.2.1. : Vitesse moyenne
Entre deux positions M1et M2, repérées par les abscisses curvilignes s1
et s2et correspondantes aux temps t1et t2, la vitesse moyenne est :
Vm=s2s1
t2t1
=s
t(1)
1.1.2 1.1.2.Vecteur vitesse moyenne
Cest un vecteur porté par la corde M1M2et déni par :
!
Vm=!
r2! r1
t2t1
=!
r
t(2)
Il est évident que ! rne représente pas le chemin réel parcouru par le
mobile entre les positions M1et M2; le module du vecteur vitesse moyenne
est donc di¤érent de la valeur de la vitesse moyenne Vm.
1.1.3 1.1.3.Vitesse instantanée
La vitesse moyenne ne donne pas dinformations sur les variations dallure
du mobile entre les instants t1et t2,son signe précise sans plus lorientation

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du mouvement e¤ectué dans lintervalle de temps t. Pour connaître les va-
riations dallure du mobile, il faut mesurer sa vitesse moyenne à tout instant,
donc il faut que lintervalle de temps tsoit le plus petit possible. A la limite,
lorsque t!0, on atteint :
V= lim
t2!t1
s2s1
t2t1
= lim
t!0
s
t=ds dt
La grandeur V=ds
dt dénit la vitesse instantanée du mobile.
1.1.4 1.1.4 Vecteur vitesse instantanée
Cest un vecteur déni comme la limite du vecteur vitesse moyenne lorsque
lintervalle de temps t!0:
!
V= lim
t2!t1
!
r2! r1
t2t1
= lim
t!0
! r
t=d!
r
dt
Ce vecteur est porté par la tangente en Mà la trajectoire ; il peut sécrire :
!
V=d!
r
dt =d!
r
ds
ds
dt
d!
r
ds est le vecteur unitaire !
Tporté par la tangente. Il est, par
convention, orienté dans le sens de la trajectoire,
ds
dt =Vest la vitesse instantanée de sorte que :
!
V=V! T(3)
Vest donc positif si le mouvement se¤ectue dans le sens de la trajectoire
et négatif sil se¤ectue dans le sens contraire.
1.2. 1.2 Expressions analytiques du vecteur vitesse
1.2.1 1.2.1 1.2.2.Coordonnées cartésiennes
Le vecteur position ! r=! OM sécrit simplement en coordonnées carté-
siennes :
!
r=x! i+y! j+z! k
!
i ; ! j ; ! kétant xes, il en résulte que :
!
V=d!
r
dt =dx dt !
i+dy
dt !
j+dz
dt !
k=Vx! i+Vy! j+Vz! k(4)

4
avec : 8
>
>
>
>
<
>
>
>
>
:
Vx=dx
dt
Vy=dy
dt
Vz=dz
dt
et V=p(Vx)2+ (Vy)2+ (Vz)2
1.2.2 Coordonnées cylindriques
Dans ce cas : ! OM =! r=! u+z! k
Lorsque le mobile se déplace, la direction du vecteur unitaire ! uvarie de
sorte que la dérivée sécrit :
!
V=d!
r
dt =d dt !
u+d!
u
dt +dz dt !
k
Comme d!
u
dt =d dt !
u,on obtient :
!
V=d
dt !
u+d
dt !
u+dz
dt !
k=V! u+V! u+Vz! k(5)
avec : 8
>
>
>
>
<
>
>
>
>
:
V=d
dt
V=d
dt
Vz=dz
dt
et V=p(V)2+ (V)2+ (Vz)2
Remarque : lorsque le mouvement se¤ectue dans le plan (xOy), on aura
simplement :
!
V=V! u+V! u
Vest appelée "composante radiale" de la vitesse et V"composante or-
thoradiale".
1.2.3 1.2.3.Coordonnées sphériques
Le vecteur position sécrit : ! OM =! r=r! ur
Lorsque le mobile se déplace, la direction du vecteur unitaire ! urvarie et
le vecteur vitesse sécrit :
!
V=d!
r
dt =dr dt !
ur+rd!
ur
dt
Comme les vecteurs unitaires ! ur;! u;! u'sont fonctions des coordonnées
et ',on a alors :