L2 Mathématiques Structures algébriques et arithmétique Année

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Structures alg´ ebriques et arithm´ etique
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Structures alg´ ebriques et arithm´ etique
Structures alg´ ebriques et arithm´ etique
Structures alg´ ebriques et arithm´ etique
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Ann´ ee 2008-2009
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CHAPITRE III
CHAPITRE III
CHAPITRE III
CHAPITRE III
CHAPITRE III
CHAPITRE III
CHAPITRE III
Rappel et compl´ ements en Arithm´ etique
Rappel et compl´ ements en Arithm´ etique
Rappel et compl´ ements en Arithm´ etique
Rappel et compl´ ements en Arithm´ etique
Rappel et compl´ ements en Arithm´ etique
Rappel et compl´ ements en Arithm´ etique
Rappel et compl´ ements en Arithm´ etique
I - Compl´ ement sur le groupe U(Z/nZ)
I - Compl´ ement sur le groupe U(Z/nZ)
I - Compl´ ement sur le groupe U(Z/nZ)
I - Compl´ ement sur le groupe U(Z/nZ)
I - Compl´ ement sur le groupe U(Z/nZ)
I - Compl´ ement sur le groupe U(Z/nZ)
I - Compl´ ement sur le groupe U(Z/nZ)
II - R´ esolutions pratiques de certaines ´ equations dans Zet Z/nZ
II - R´ esolutions pratiques de certaines ´ equations dans Zet Z/nZ
II - R´ esolutions pratiques de certaines ´ equations dans Zet Z/nZ
II - R´ esolutions pratiques de certaines ´ equations dans Zet Z/nZ
II - R´ esolutions pratiques de certaines ´ equations dans Zet Z/nZ
II - R´ esolutions pratiques de certaines ´ equations dans Zet Z/nZ
II - R´ esolutions pratiques de certaines ´ equations dans Zet Z/nZ
III - Codage RSA
III - Codage RSA
III - Codage RSA
III - Codage RSA
III - Codage RSA
III - Codage RSA
III - Codage RSA
I - Compl´ ement sur le groupe U(Z/nZ)
I - Compl´ ement sur le groupe U(Z/nZ)
I - Compl´ ement sur le groupe U(Z/nZ)
I - Compl´ ement sur le groupe U(Z/nZ)
I - Compl´ ement sur le groupe U(Z/nZ)
I - Compl´ ement sur le groupe U(Z/nZ)
I - Compl´ ement sur le groupe U(Z/nZ)
Notation. Pour tout n∈N,n≥2ond´esigne par U(Z/nZ) l’ensemble des ´el´ements
inversibles de l’anneau Z/nZ.Il se note ´egalement (Z/nZ)∗.
Proposition 1. (Rappel)
Soit n∈N,n≥2.
Alors l’ensemble U(Z/nZ) est un groupe pour la multiplication.
Proposition 2. Soit n∈N,n≥2.
Soit k∈Z,k=0,on note kla classe de kdans l’anneau quotient Z/nZ.Alors les
trois propri´et´es suivantes sont ´equivalentes.
1) kest premier avec n.
2) kest g´en´erateur du groupe (Z/nZ,+).
3) k∈U(Z/nZ).
D´emonstration. L’´equivalence 1) ⇐⇒ 2) a d´ej`a´et´e vue plus haut.
Montrons 1) ⇐⇒ 3)
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On a :
k∈U(Z/nZ)⇐⇒ ∃ k∈Ztel que k·k= 1
⇐⇒ ∃ k∈Ztel que k·k−1∈nZ
⇐⇒ 1∈nZ+kZ
⇐⇒ net ksont premiers entre eux.
D´efinition (Rappel). On appelle fonction indicatrice d’Euler la fonction ϕ:N\{0}→N
donn´ee par :
∀n∈N\{0},ϕ(n) est le cardinal de l’ensemble {k/k ∈N,1≤k≤n, k premier avec n}.
Remarque.
1) On a ϕ(1) = 1 par d´efinition.
2) Pour n≥2,d’apr`es la proposition 2, on a :
ϕ(n) = cardinal(U(Z/nZ)).
On verra un peu plus loin comment calculer ϕ(n).Donnons tout de suite un corollaire de la
proposition 2.
Corollaire. On a un isomorphisme de groupes
Aut(Z/nZ)U(Z/nZ).
o`u Aut(Z/nZ)d´esigne le groupe des automorphismes du groupe Z/nZ.
En particulier Aut(Z/nZ) est un groupe ab´elien de cardinal ϕ(n).
D´emonstration.
1) Donner un morphisme fde groupes additifs de Z/nZdans lui-mˆeme revient `a donner
f(1) = k∈Z/nZet `a poser ∀∈Z,f()=f(1) = k =·ken notant la classe
d’un ´el´ement dans Z/nZ.
Le morphisme ainsi obtenu est un automorphisme si et seulement s’il est surjectif, c’est-
`a-dire si et seulement si kest d’ordre ndans Z/nZpour l’addition.
2) L’application de U(Z/nZ)F
→Aut(Z/nZ) qui a kassocie ftelle que ∀, f ()=k·
est donc une bijection.
D’autre part si k1et k2sont dans U(Z/nZ)etsi∈Z/nZona:
F(k1·k2)()=k1.k2. =F(k1)F(k2)().
Donc Fest un morphisme de groupes.
Proposition 3. Soit pun nombre premier et run entier, r≥2.On a :
1) ϕ(p)=p−1.
2) ϕ(pr)=(p−1)pr−1=pr1−1
p.
D´emonstration.
1) Les entiers k∈{1,...,p}qui sont premiers avec psont {1,...,p−1}.
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2) Il y a exactement prentiers dans l’ensemble {1,...,p
r}.Ceux qui ne sont pas premiers
avec prsont ceux qui sont divisibles par p, donc qui sont du type p·kavec 1 ≤k≤
pr−1,il y en a donc pr−1.
D’o`u ϕ(pr)=pr−pr−1=pr−1(p−1).
Proposition 4. Soit r∈N,r≥2.Soient n1,...,n
rdes nombres entiers, ni≥2,deux
`a deux premiers entre eux. Alors l’isomorphisme d’anneaux du th´eor`eme chinois
Z/n1...nrZ
∼
→Z/n1Z×...×Z/nrZ
se restreint en un isomorphisme de groupes :
U(Z/n1...nrZ)∼
→U(Z/n1Z)×...×U(Z/nrZ).
D´emonstration. Il suffit d’utiliser les deux lemmes ´evidents suivants.
Lemme 1. Si Aet Bsont des anneaux unitaires et si f:A→Best un isomorphisme
d’anneaux unitaires, alors fse restreint en un isomorphisme de groupes de A∗sur B∗.
Lemme 2. Si A1,...,A
rsont des anneaux unitaires, alors (A1×...×Ar)∗=A∗
1×...×A∗
r.
Corollaire 1. Soient n1,...,n
rdes nombres entiers, nr≥2,deux `a deux premiers entre
eux. Alors on a :
ϕ(n1...n
r)=ϕ(n1)...ϕ(nr).
Corollaire 2. Soient n∈N,n≥2
n=pα1
1...p
αr
ro`up1,...,p
rsont des nombres premiers distincts et o`u ∀iα i∈N\{0}.
Alors on a :
ϕ(n)=ϕ(pα1
1)...ϕ(pαr
r)=
r
i=1
p(αi−1)
i(pi−1)
Exemples, exercices, remarques.
1) ϕ(12) = ϕ(4).ϕ(3) = ϕ(22)ϕ(3) = 2 ×2=4.
Les ´el´ements de {1,...,12}qui sont premiers avec 12 sont en nombre 4 :
(Z/2Z)∗={1,5,7,11}.
2) La formule pr´ec´edente peut aussi s’´ecrire sous la forme :
ϕ(n)=n1−1
p1...
1−1
pr.
Exemple d’application : D´emontrer que si net msont des entiers, n≥2,m≥2,
et si dest leur PGCD, alors on a ϕ(mn)=ϕ(m)ϕ(n)d
ϕ(d)et en d´eduire ϕ(mn)=
ϕ(m)·ϕ(n)⇐⇒ met nsont premiers entre eux.
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2) Montrer que si n∈N,n≥2,si dest un diviseur de nalors le nombre d’´el´ements de
Z/nZqui sont d’ordre dest ϕ(d)etend´eduire :
n=
d/n
1≤d≤n
ϕ(d)
4) Une autre application de la proposition 4 est par exemple de d´eterminer l’ordre d’un
´el´ement de U(Z/n1...n
rZ) en consid´erant l’´el´ement correspondant au produit
U(Z/n1Z)×...×U(Z/nrZ).
Exemple. Consid´erons l’´el´ement 2 dans U(Z/105Z).On a
U(Z/105Z)U(Z/3Z)×U(Z/5Z)×U(Z/7Z)
→(s1(),s
2(),s 3()
•L’ordre de s1(2) dans U(Z/3Z) est 2.
•L’ordre de s2(2) dans U(Z/5Z) (qui est d’ordre 4) est 4 car 22≡−1 (5).
•L’ordre de s3(2) dans U(Z/7Z) (qui est d’ordre 6) est 3 car 22≡ 1 (7)
23≡1 (7)
L’ordre de 2 est donc PPCM(2,4,3) = 12.
On pourra pour l’instant admettre le r´esultat suivant qui sera d´emontr´e plus loin dans le
chapitre suivant suivant sur les polynˆomes.
Proposition 5. Soit Kun corps commutatif. Alors tout sous-groupe fini de (K∗,×)
est cyclique.
Corollaire. Si pest un nombre premier alors U(Z/pZ) est un groupe cyclique.
D´emonstration. En effet si pest premier alors Z/pZest un corps.
En fait on peut d´emontrer les r´esultats compl´ementaires suivants. On ne demande pas de les
retenir, on les d´emontrera en exercice.
1) Si pest un nombre premier, p≥3etα∈N,α≥2,U(Z/pαZ) est cyclique. On a
donc U(Z/pαZ)Z/pα−1(p−1)Z.
2) U(Z/2Z)={1},U(Z/4Z)Z/2Z.Pour α∈N,α≥3,U(Z/2αZ) n’est pas cyclique,
on a U(Z/2αZ)Z/2Z×Z/2α−2Z.
On va retrouver ici le petit th´eor`eme de Fermat et sa g´en´eralisation, le th´eor`eme d’Euler,
comme application de la structure de groupe de U(Z/nZ).
Th´eor`eme 6 (th´eor`eme d’Euler). Soit n∈Z,n≥2,soit k∈Z,k premier avec n.
Alors on a :
kϕ(n)≡1modn.
D´emonstration. Le groupe U(Z/nZ) a pour ordre ϕ(n).Pour tout kpremier avec n,
l’´el´ement kde Z/nZest dans ce groupe U(Z/nZ) et donc son ordre dans ce groupe divise
ϕ(n).
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Dans le cas o`u nest premier, on retrouve ainsi le petit th´eor`eme de Fermat, d´ej`ad´emontr´e
par des m´ethodes ´el´ementaires.
Corollaire 1 (petit th´eor`eme de Fermat). Soit pun nombre premier, soit k∈Z,k
premier avec n. Alors on a
kp−1≡1modp.
Corollaire 2 (th´eor`eme de Wilson). Soit p∈N,p≥2.Alors les deux propri´et´es suivantes
sont ´equivalentes :
1) pest un nombre premier.
2) (p−1)! ≡−1modp.
D´emonstration. La propri´et´e 2) est ´evidemment remplie pour p=2.Supposons d´esormais
p≥3.
a) Supposons ppremier, p=2.
On consid`ere la partition de U(Z/nZ) obtenue en regroupant dans une classe chaque
´el´ement et son inverse.
Cherchons les classes ne comportant qu’un seul ´el´ement, c’est-`a-dire les k∈U(Z/pZ)
tels que k=k−1,c’est-`a-dire k2= 1,c’est-`a-dire (k−1)(k+1) = 0.Comme pest
premier, on obtient deux solutions k=1etk=−1 et comme p=2,ces solutions
sont distinctes. D’o`u 
k∈U (Z/pZ)
k=−1 (en effet si on fait le produit en regroupant
les ´el´ements par classes, les classes `a deux ´el´ements vont avoir une contribution ´egale
`a 1 dans le produit).
D’o`u(p−1)! ≡−1modp.
b) R´eciproquement, supposons pnon premier. On a alors p=a.b avec
1<a<p, 1<b<p. Supposons qu’il existe k∈Ztel que
(p−1)!+1=kp.
Mais alors adivise kp et (p−1)! donc divise 1, ce qui est impossible.
Exercice. Soit pun nombre premier.
1) On suppose p≡1mod4.En utilisant le th´eor`eme de Wilson, trouver α∈Z/pZtel que
α2=−1.
2) R´eciproquement, montrer que s’il existe α∈Z/pZtel que α2=−1,alors on a
p≡1mod4.
II - R´ esolutions pratiques de certaines ´ equations
II-R
´
esolutions pratiques de certaines ´ equations
II-R
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esolutions pratiques de certaines ´ equations
II-R
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esolutions pratiques de certaines ´ equations
II-R
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esolutions pratiques de certaines ´ equations
II-R
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esolutions pratiques de certaines ´ equations
II - R´ esolutions pratiques de certaines ´ equations
1. Algorithme d’Euclide et th´eor`eme de Bezout.
Rappel. Soient aet bdes entiers non nuls, alors ∃δ∈N,δ= 0 tel que Za+Zb=Zδ.
Onad´ej`a vu que l’on a δ= PGCD(a, b),ce qui permet de retrouver le th´eor`eme de Bezout :
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