Introduction `a la théorie des nombres Série 1

EPFL -Section de Math´ ematiques
Introduction
`a la th´eorie des nombres
Semestre Printemps 2009 Prof. Eva Bayer-Fluckiger
19.02.2009
S´erie 1
Exercice 1
Calculer 22009(mod 7).
Exercice 2
1. Si pet qsont deux nombres premiers strictement sup´erieurs `a 3, montrer que 24 divise
p2−q2.
2. Existe-t-il des entiers p≥3 tels que p, 2p+ 1 et 4p+ 1 soient premiers ?
Exercice 3
Soit nun entier strictement positif. On rappelle que ϕ(n) d´esigne l’indicatrice d’Euler de n,
c’est-`a-dire le nombre d’entiers positifs inf´erieurs `a net premiers avec n(si n= 1, ϕ(1) = 1).
1. Montrer que pour tout entier apremier avec non a la relation aϕ(n)≡1 (mod n)
(th´eor`eme de Fermat-Euler). Que devient cette relation si nest un nombre premier ?
2. En d´eduire le petit th´eor`eme de Fermat : pour tout entier aet tout nombre premier p,
ap≡a(mod p).
Application. Montrer que 30 divise n5−npour tout entier n, puis d´eterminer l’ensemble
des entiers ntels que 120 divise n5−n.
3. On suppose n≥2. On suppose aussi qu’il existe un entier a > 0 tel que an−1≡1 (mod n)
et ax6≡ 1 (mod n) pour tout xdiviseur strict de n−1. En d´eduire qu’alors nest premier.
4. Soit pun nombre premier.
(a) ` A l’aide de la question 1, montrer que les polynˆomes (X−(p−1))(X−(p−2))...(X−1)
et Xp−1−1 sont ´egaux dans Fp[X].
(b) En d´eduire le th´eor`eme de Wilson : (p−1)! ≡ −1 (mod p).
(c) R´eciproquement, montrer que si n≥2 v´erifie (n−1)! ≡ −1(mod n) alors nest
premier.

Exercice 4
1. Combien l’anneau Z/42Zposs`ede-t-il d’´el´ements inversibles ?
2. Donner les diviseurs de 0 dans Z/42Z.
3. V´erifier que 25 est inversible dans Z/42Zet calculer son inverse. On pourra ´ecrire une
relation de B´ezout.