Exercice 19
R´esoudre les syst`emes suivants :
(A)x≡(3 mod 13
5 mod 7.(B)x≡(6 mod 17
4 mod 6.
Exercice 20
Dans un codage affine donner par les param`etres (a, b), pourquoi est il important que
asoit premier avec 26 (codage des 26 lettres de l’alphabet) ?
On consid`ere le chiffrement affine donn´e par (15,7) coder le message ”L’examen est tr`es
facile”.
Exercice 21
1. Soient a, b ∈Z0et q, r ∈Ztels que : a=bq +r. Montrer que pgcd(a, b) = pgcd(b, r).
2. Pour nun entier naturel donn´e, d´eterminer pgcd(4n3+ 2n2+ 10n+ 1,2n2+n+ 4).
3. Soit nun entier naturel. Montrer que pgcd(2n+ 4,3n+ 3) ne peut etre que 1,2,3 ou
6.
Exercice 22
Soit n∈Nun entier positif non nul.
1. Montrer que si n∈Nun entier positif non nul alors 2 divise 3n+ 1.
2. Montrer que pour k∈N, 34k≡1mod(5).
3. Trouver tous les entiers positifs ntels que 10 divise 3n+ 1.
Exercice 23
Montrer que 105 est inversible dans Z/143Zet calculer son inverse.
Exercice 24
Montrer que, pour nun entier positif, on a n13 ≡n(mod 2) et que n13 ≡n(mod 5) ;
en d´eduire que le dernier chiffre de n13 est le mˆeme que le dernier chiffre de n.
Exercice 25
1. Soit p1et p2des nombres premiers. En utilsant le th´eor`eme chinois, montrer qu’il
existe un entier xtel que xest divisible par p2
1et x+ 1 est divisible par p2
2.
2. Montrer que pour tout k∈Non peut trouver un entier xtel que x, x+1, x+2, . . . , x+k
sont divisibles par des carr´es parfaits (i.e. montrer que pour 1 ≤j≤k, il existe aj∈Z
tel que a2
jdivise x+j).
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