Corrigé - UFR 6 - Université Paris 8

Universit´e PARIS 8 Algorithmes alg´ebriques -
Master MFPI – M2 Corrig´e no16 P. Guillot
Exercice 1.
√2 027 651 281 = 45 030 et il reste 49 619 en ajoutant successivement les nombres impairs `a
partir de 90 061, le premier carr´e parfait rencontr´e est `a la 11e´etape et c’est 1 040 400 = 1 0202.
D’o`u 2 027 651 281 = (45 041 + 1 020)(45 041 −1 020) = 46 061 ×44 021.
On peut ´eviter d’extraire une racine `a chaque ´etape en remarquant que les carr´es de Z/100Zsont
00, 01, 04, 09, 16, 21, 24, 25, 29, 36, 41, 44, 49, 56, 61, 64, 69, 76, 81, 84, 89 et 96. Tout carr´e
parfait se termine par une de ces combinaisons de chiffres.
Exercice 2. Soit Nl’entier `a factoriser. Si on a effectu´e xit´erations de l’algorithme de divisions
successives, le nombre d’it´erations n´ecessaires pour l’algorithme de Fermat est (N/x+x)/2−√N.
Le nombre total d’it´eration est f(x) = x+N+x2
2x. Le minimum est obtenue par annulation de la
d´eriv´ee de f. On trouve x0=pN/3. Le nombre total d’it´erations est alors √N(√3−1) ≈
0,732√N.
Exercice 3. 1. Montrons que les conditions test pair et N≡1 mod 4 conduisent `a une
contradiction. t= 2t0.sest impair, sinon, Nserait pair, donc s= 2s0+1. On a N= (t+s)(t−s) =
2(t0+s0)+12(t0−s0)−1. Le reste modulo 4 de Nest −16= 1.
2. La preuve est similaire. Soit t= 3t0et s= 3s0+r. On a N=3(t0+s0) + r3(t0−s0)−r≡
r2mod 3. Comme modulo 3, on a 12≡(−1)2≡1, on a n´ecessairement N≡ −1 mod 3.
Exercice 4. s0= 1, s1= 2, s2= 5, s3= 26, . . .
s0= 1, s2= 5, s4= 677, s6= 1966, . . .
pgcd(1 966 −26,2 813) = 97, donc 2 813 = 97 ×29.
Exercice 5. Les puissances inf´erieures `a 10 des nombres premiers sont 23, 32, 5 et 7. Le produit
vaut 2 520. 22 520 mod 5 917 = 1 648 ; pgcd(5 917,1 647) = 61 donc 5 817 = 61 ×97.
Exercice 6. 1. Comme Nn’est pas premier, il a un facteur minimal dans l’intervalle [1, r2]
donc dans un des intervalles ](i−1)r, ir], avec 1 ≤i≤r. Ce facteur apparaˆıt dans P(ir) =
ir(ir −1) ···(ir −r+ 1). Donc fdivise P(ir), donc fdivise pgcd(P(ir), N).
2. r=b3 2391/4c= 8. P(X) = X(X−1) ···(X−7). Les valeurs de P(8i) modulo Nsont
1 452, 1 449, 2 353, 3 171, 2 272, 2 272, 2 870, 2 508, 1 473. On trouve pgcd(2 870,3 239) = 41, donc
3 239 = 41 ×79.
Exercice 7. 1. ∆ = t4−4. Si ce n’est pas un carr´e, alors Pn’a pas de racines dans Fp. Comme il
est de degr´e 2, il est irr´eductible.
2. αest une racine de P(X) dans le corps Fp[X]/(P). Le produit des racines est le terme constant
de P(X). L’autre racine est 1/α =αp6=α, car α6∈ Fp. D’o`u αp+1 = 1.
3. En r´eduisant les coefficients de βAmodulo p, on obtient αA. D’apr`es 2. αA= 1, donc
u≡1 mod p, donc pdivise u−1 et v≡0 mod p, donc pdivise v.
4. β2 520 = 1 299 + 1 416β; pgcd(1 298,4 661) = pgcd(1 416,4 661) = 59, donc 4 661 = 59 ×79.
Exercice 8. 1. De l’´egalit´e des sommes de carr´es, il r´esulte que a2≡ −b2mod Net c2≡ −d2mod N.
Comme ST = (ad −bc)(ad +bc) = a2d2−b2c2≡a2d2−b2d2≡d2(a2+b2)≡0 mod N.
2. T≤Sr´esulte de bc > 0. 1 < T r´esulte de bc < dc < ad. Le lemme xy ≤1
2x2+1 2y2r´esulte de
(x−y)2≥0 avec = 0 si et seulement si x=y. Donc S < 1
2(a2+d2+b2+c2) = 1 2×2n=n.
3. Il suffit de prouver que 1 <pgcd(T, N)< N. Or, ST est multiple de Nd’apr`es 1. Si Tet Nsont
premiers entre eux, alors Ndivise S, ce qui est contradictoire avec S < N. Donc pgcd(T, N)>1.
L’autre in´egalit´e r´esulte de pgcd(T, N)≤T < N.