MM2 - Alg`ebre et analyse élémentaires - IMJ-PRG

MM2 - Alg`ebre et analyse ´el´ementaires
Arithm´etique
1. R´esoudre dans (N∗)2l’´equation
pgcd(x, y) + ppcm(x, y) = y+ 9
2. Trouver tous les entiers naturels xet ytels que :
(x+y= 420
pgcd(x, y) = 12
3. Trouver pgcd(275,174), puis trouver uet vdans Ztels que
275u+ 174v= pgcd(275,174)
4. Trouver tous les entiers relatifs xet ytels que :
(a) 11 x - 29 y =1,
(b) 11 x - 29 y =3,
(c) 4 x - 6 y = 3.
5. (a) Soit adans Z. Montrer que le reste de la division euclidienne de a2
par 8 est ´egal `a 0, 1 ou 4.
(b) Soit ndans N. Montrer que si 8 divise n−7, alors nne peut pas ˆetre
la somme des carr´es de trois nombres entiers.
(c) R´esoudre x2+y2+z2=x2y2, d’inconnue (x, y, z)∈Z3.
6. Soit aun entier naturel non nul distinct de 1 et met ndeux entiers
naturels non nuls.
(a) Monter que, pour tout entier naturel non nul k,an−1 divise akn −1.
(b) Montrer que le reste de la division euclidienne de am−1 par an−1
est ar−1, o rest le reste de la division euclidienne de mpar n.
(c) Montrer : pgcd(am−1, an−1) = apgcd(m,n) −1.
7. Calculer pgcd(−300,840) et ppcm(−300,840).
8. Nombres de Fermat
(a) Montrer que si aet msont des entiers naturels non nuls sup´erieurs
ou ´egaux `a 2 et tels que am+1 est premier alors aest pair et il existe
n∈Ntel que m= 2n.
(b) Calculer les premiers nombres de Fermats Fn= 22n+1. Que constate-
t-on ?
9. Nombres de Mersenne
1

(a) Montrer que, si aet nsont deux entiers naturels non nuls et distincts
de 1 tels que an−1 est premier, alors a= 2 et nest premier.
(b) Calculer les premiers nombres de Mersenne Mp= 2p−1. Que constate-
t-on ?
10. Soit N∈Ntel que Nne soit pas le carr´e d’aucun entier. Montrer :
(a) √N6∈ Q.
(b) (1,√N) est Q-libre.
(c) (1,√2,4
√2) est Q-libre.
11. Trouver xdans Ntel que x= 3 mod 5 et x= 4 mod 3.
12. Montrer que l’´equation 6x2+ 5x+ 1 = 0 n’a pas de solution dans Z, mais
que, pour tout n∈Z, elle en admet une modulo n, c’est-`a-dire :
∀n∈Z,∃x∈Z|6x2+ 5x+ 1 = 0 mod n.
13. Soit pun nombre premier. Montrer :
(ab = 0 mod p)⇐⇒ (a= 0 mod p) ou (b= 0 mod p).
Que dire si pn’est plus premier ?
14. Soit nun entier. On dira qu’un entier relatif aest inversible modulo ns’il
existe bdans Ztel que ab = 1 mod n.
(a) Montrer que aest inversible modulo nsi, et seulement si, aet nsont
premiers entre eux.
(b) Montrer que l’ensemble des entiers inversibles modulo nforme un
groupe pour la multiplication.
15. Soit pun nombre premier. Notons xla classe de xmodulo pet posons
Z2
p={x2|x∈Z}l’ensemble des ”carr´es modulo p”.
(a) D´ecrire Z2
p, pour p= 3,5,7, .. et calculer son cardinal.
(b) Soit xun entier relatif non nul. Quel est le cardinal de l’ensemble
{y|y2=x2}? En d´eduire le cardinal de Z2
p\ {0}puis celui de Z2 p.
(c) Montrer que l’´equation ax2+by2+c= 0 a au moins une solution
(x, y) modulo p.
16. Montrer que l’´equation x2−5y2= 3 n’a pas de solution dans Z2.
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