Exercices d`Algèbre 3 Bernd Ammann, 2005–2006 Feuille 13 10

Exercices d’Algèbre 3
Bernd Ammann, 2005–2006
Feuille 13 10 décembre 2005
1Soit Gun groupe d’ordre n, et soient H1et H2deux sous-groupes d’ordre k1et k2. Supposons
que H1∩ H2={e}.
(a) Montrer que ppcm(k1, k2)divise n.
(b) Montrer que pour tout g∈ G, l’ensemble H1∩gH2contient au plus un élément.
(c) En conclure que n≥k1k2.
(d) Montrer que k1k2divise nsi Gest commutatif.
(e) Donner un exemple (avec Gnon commutatif) tel que k1k2ne divise pas n.
2Soient Gun groupe fini et Het Kdeux sous-groupes de G.
(a) Supposons que Hest distingué dans G, et que pgcd([G:H], ord(K)) = 1. Alors Kest
un sous-groupe de H.
(b) Donner un exemple qui montre que cette conclusion n’est pas vrai sans la condition “H
est distingué dans G”.
3On définit la fonction d’Euler ϕ:N\ {0} → N\ {0}comme suivant:
ϕ(n) = # Z
nZ∗si n≥2
ϕ(1) = 1
Montrer que
n=X
d|n
ϕ(d)
pour tout n∈N\ {0}.
4Soit Aun anneau de caractéristique 2tel que x3=xpour tout x∈ A. Montrer que Aest
commutatif.
5Soit Aun anneau, et aun élément nilpotent, c.à.d. an= 0 pour un n∈N\ {0}. Montrer
que si xest inversible et commute avec a, als x−aest inversible et donner son inverse.

6Soit Al’anneau Z[i], et soit p∈N,p > 2,ppremier. Montrer qu’on a l’équivalence entre
(i) pest réductible dans Z[i],
(ii) il existe x∈Z[i]avec |x|2=p,
(iii) p≡1 mod 4.
(iv) −1est un carré dans Z/pZ,
7Montrer que les éléments irréductibles dans Z[i]sont
•les nombres premiers ptels que p≡3 mod 4 et leurs associés,
•les éléments z∈Z[i]tels que |z|2= 2,
•les éléments z∈Z[i]tels que |z|2=poù pest un premier, p≡1 mod 4.
8Décomposer 69 + 45i,8+6i,26 + 65ien facteurs irréductibles dans Z[i].
9Décomposer 260 en facteurs irréductibles dans Z[i]. En déduire que 260 est la somme de
deux carrés.
10 Calculer les pgcds dans Z[i]suivants: pgcd(14−7i, 2−i),pgcd(26+65i, 34+51i),pgcd(69+
45i, 12 + 18i).
http://www.iecn.u-nancy.fr/∼ammann/alg3