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Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne
Section de mathématiques
Prof. E. Bayer Fluckiger
Introduction à la théorie des nombres
Cours de 2ème cycle
semestre d’été 2005
Série 2
16.03.05
Exercice 1
Soient a et m des entiers non nuls tels que pgcd(a, m) = 1. On va démontrer le théorème d’Euler
d’une façon directe.
(a) Soient r1 , . . . , rϕ(m) des entiers tels que pgcd(ri , m) = 1 pour i = 1, . . . , ϕ(m) et ri 6≡ rj
(mod m) si i 6= j. Vérifier que ar1 , . . . , arϕ(m) satisfont les mêmes conditions.
(b) Montrer que r1 · · · rϕ(m) ≡ ar1 · · · arϕ(m) (mod m).
(c) En déduire que aϕ(m) ≡ 1 (mod m).
Exercice 2
Soit p un nombre premier, et soit r > 0. Combien y a-t-il d’unités dans Z/pr Z ?
En déduire la valeur de ϕ(pr ).
Exercice 3
Soient m1 , · · · , mn ∈ Z des entiers premiers entre eux deux à deux. Soient a1 , · · · , an ∈ Z. On
s’intéresse à résoudre le système d’équations suivant
(∗)



 x
≡ a1
..
.
mod m1


 x
≡ an
mod mn
(a) Montrer qu’il existe des entiers b1 , · · · , bn tels que
(
bi ≡ 1
bi ≡ 0
mod mi , et
mod mj pour tout j 6= i,
pour i = 1, · · · , n.
(b) En déduire une solution de (∗).
(c) Montrer qu’une solution de (∗) est unique modulo M = m1 · · · mn .
[Remarque : l’existence et l’unicité d’une solution modulo M au système (∗) s’appelle le théorème
des restes chinois.]
Exercice 4
(a) Une vieille fermière s’en allant marché voit ses oeufs écrasés par un cheval. Le cavalier voulant
la rembourser lui demande combien d’oeufs elle avait. Tout ce dont elle se souvient est qu’en
les rangeant par 2, il en restait un, et de même en les rangeant par 3, 4, 5 ou 6 ; toutefois,
en les rangeant par 7, il n’en restait pas. Combien d’oeufs, au moins, avait-elle ? (D’après
Lauritzen, repris de Ore)
(b) L’armée de César comptait plus de 1000 hommes, mais moins de 3000. Lorsqu’il voulut la
dénombrer par groupes de 11, il n’en resta pas ; par groupes de 9, il en resta 5 ; par groupes
de 13, il en resta 8. Combient y avait-il de soldats dans cette armée ? (D’après J. Vinot)
Exercice 5
Soit K un corps, et soit K[X] l’anneau des polynômes à coefficients dans K.
(a) Soient f, g ∈ K[X] deux polynômes. Montrer qu’il existe un unique couple de polynômes
q, r ∈ K[X] tels que
· f (X) = g(X) · q(X) + r(X), et
· deg(r) < deg g.
[Indication : le polynôme g étant fixé, on pourra raisonner par récurrence sur le degré de f .]
(b) Quelles sont les unités de K[X] ?
(c) Soient f, g ∈ K[X] deux polynômes. Montrer que l’on peut définir un pgcd de f et g. Montrer
que pgcd(f, g) n’est pas unique, mais qu’il existe un unique polynôme unitaire qui est un
pgcd de f et g.
(d) Montrer que K[X] est un anneau factoriel.