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Ecole Polytechnique F´ ed´ erale de Lausanne
Section de math´ ematiques
Prof. E. Bayer Fluckiger
Introduction ` a la th´ eorie des nombres
Cours de 2`eme cycle semestre d’´et´e 2005
S´erie 2 16.03.05
Exercice 1
Soient aet mdes entiers non nuls tels que pgcd(a, m) = 1. On va d´emontrer le th´eor`eme d’Euler
d’une fa¸con directe.
(a) Soient r1, . . . , rϕ(m)des entiers tels que pgcd(ri, m) = 1 pour i= 1, . . . , ϕ(m) et ri6≡ rj
(mod m) si i6=j. V´erifier que ar1, . . . , arϕ(m)satisfont les mˆemes conditions.
(b) Montrer que r1· · · rϕ(m)≡ar1· · · arϕ(m)(mod m).
(c) En d´eduire que aϕ(m)≡1 (mod m).
Exercice 2
Soit pun nombre premier, et soit r > 0. Combien y a-t-il d’unit´es dans Z/prZ?
En d´eduire la valeur de ϕ(pr).
Exercice 3
Soient m1,· · · , mn∈Zdes entiers premiers entre eux deux `a deux. Soient a1,· · · , an∈Z. On
s’int´eresse `a r´esoudre le syst`eme d’´equations suivant
(∗)
x≡a1mod m1
.
.
.
x≡anmod mn
(a) Montrer qu’il existe des entiers b1,· · · , bntels que
(bi≡1 mod mi, et
bi≡0 mod mjpour tout j6=i,
pour i= 1,· · · , n.
(b) En d´eduire une solution de (∗).
(c) Montrer qu’une solution de (∗) est unique modulo M=m1· · · mn.
[Remarque : l’existence et l’unicit´e d’une solution modulo Mau syst`eme (∗) s’appelle le th´eor`eme
des restes chinois.]
Exercice 4
(a) Une vieille fermi`ere s’en allant march´e voit ses oeufs ´ecras´es par un cheval. Le cavalier voulant
la rembourser lui demande combien d’oeufs elle avait. Tout ce dont elle se souvient est qu’en
les rangeant par 2, il en restait un, et de mˆeme en les rangeant par 3, 4, 5 ou 6 ; toutefois,
en les rangeant par 7, il n’en restait pas. Combien d’oeufs, au moins, avait-elle ? (D’apr`es
Lauritzen, repris de Ore)

(b) L’arm´ee de C´esar comptait plus de 1000 hommes, mais moins de 3000. Lorsqu’il voulut la
d´enombrer par groupes de 11, il n’en resta pas ; par groupes de 9, il en resta 5 ; par groupes
de 13, il en resta 8. Combient y avait-il de soldats dans cette arm´ee ? (D’apr`es J. Vinot)
Exercice 5
Soit Kun corps, et soit K[X] l’anneau des polynˆomes `a coefficients dans K.
(a) Soient f, g ∈K[X] deux polynˆomes. Montrer qu’il existe un unique couple de polynˆomes
q, r ∈K[X] tels que
·f(X) = g(X)·q(X) + r(X), et
·deg(r)<deg g.
[Indication : le polynˆome g´etant fix´e, on pourra raisonner par r´ecurrence sur le degr´e de f.]
(b) Quelles sont les unit´es de K[X] ?
(c) Soient f, g ∈K[X] deux polynˆomes. Montrer que l’on peut d´efinir un pgcd de fet g. Montrer
que pgcd(f, g) n’est pas unique, mais qu’il existe un unique polynˆome unitaire qui est un
pgcd de fet g.
(d) Montrer que K[X] est un anneau factoriel.