Algorithme d`Euclide. Calcul de PGCD et de - Epsilon 2000

Algorithme d’Euclide. Calcul de PGCD et de coefficient de B´ezout.
Applications
1 PGCD
D´efinition 1.1
Soient n∈N∗,(x1, . . . , xn)∈Zn. On appelle pgcd de x1, . . . , xn, not´e x1∧ ··· ∧ xnou pgcd(x1, . . . , xn)
le nombre d´efini de la mani`ere suivante :
•si x1=x2=··· =xn= 0,x1∧ ··· ∧ xn= 0 ;
•si les xine sont pas tous nuls, x1∧ ··· ∧ xnest le plus grand diviseur commun `a x1, . . . , xn.
Remarque 1.2
Si les xine sont pas tous nuls, x1∧ ··· ∧ xnest bien d´efini car l’ensemble des diviseurs communs `a
x1...,xnest une partie non vide de Z(car elle contient 1) et finie (car elle est incluse dans l’ensemble
{k∈Z,|k|6max(|x1|,...,|xn|)}), donc l’ensemble des diviseurs communs `a x1, . . . , xnadmet un plus
grand ´el´ement.
Proposition 1.3
Soient n∈N∗,(x1, . . . , xn)∈Zn,d=x1∧ ··· ∧ xn. Alors
n
X
k=1
xkZ=dZ.
Proposition 1.4
Soient n∈N∗,λ∈N∗,x1, . . . , xn∈Z∗,a∈Z∗.
(i) pgcd(λx1, . . . , λxn) = |λ|pgcd(x1, . . . , xn);
(ii) (∀k∈J1 ; nK, a |xk)⇐⇒ a|pgcd(x1, . . . , xn).
Remarque 1.5
pgcd(x1, . . . , xn)est aussi le plus grand diviseur commun de x1, . . . , xnau sens de la relation d’ordre de
divisibilit´e.
2 L’algorithme d’Euclide
Remarque 2.1
Si a, b ∈Z,a∧b=|a|∧|b|car l’ensemble des diviseurs dans Zde aest ´egal `a l’ensemble des diviseurs
dans Zde |a|. On peut donc se limiter aux entiers naturels.

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Proposition 2.2
Soient (a;b)∈(N∗)2,qet rle quotient et le reste de la division euclidienne de apar b. Alors a∧b=b∧r.
aet bd´esignent toujours des entiers naturels non nuls. On effectue la suite de divisions euclidiennes suivantes
jusqu’`a obtenir un reste ´egal `a 0 (on note r0=aet r1=b) :
r0=r1q1+r2
r1=r2q2+r3
. . .
rn−2=rn−1qn−1+rn
rn−1=rnqn
Par construction, r2< r1,r3< r2,. . .
On est sˆur qu’il existe un entier N∈N∗,N>2 tel que rN= 0, sinon (rn)n∈Nserait une suite d’entiers
naturels strictement d´ecroissante `a partir du rang 2, ce qui n’a pas de sens. En notant n=N−1, on a bien
les ´egalit´es ci-dessus. Cette suite d’´egalit´es constitue l’algorithme d’Euclide.
D’apr`es la proposition pr´ec´edente, on a :
r0∧r1=r1∧r2=··· =rn−1∧rn.
Or rn|rn−1donc rn−1∧rn=rnet donc a∧b=rn(a∧best donc le dernier reste non nul dans la suite des
divisions euclidiennes).
Proposition 2.3
Pour tout k∈J2 ; n−1K, il existe (uk;vk)∈Z2tel que auk+bvk=rk.
Corollaire 2.4
Si a, b ∈Z∗et d=a∧b, alors il existe (u;v)∈Z2tel que au +bv =d.
Remarque 2.5
Les coefficients uet vpeuvent ˆetre calcul´es `a l’aide de l’algorithme d’Euclide ´etendu :
Entr´ee : a, b ∈N∗.
Sortie : r∈N,u, v ∈Ztels que r=a∧bet au +bv =r.
r←a,u←1,v←0,r0←b,u0←0,v0←1
tant que r06= 0 faire
q←quotient de la division euclidienne de rpar r0
raux ←r,uaux ←u,vaux ←v
r←r0,u←u0,v←v0
r0←raux −qr0,u0←uaux −qu0,v0←vaux −qv0
fin tant que
retourner r,u,v.
Th´eor`eme 2.6 (de Lam´e)
Soient a, b ∈N, tels que 16b6a. Le nombre de divisions n´ecessaires pour calculer a∧b`a l’aide de
l’algorithme d’Euclide est inf´erieur ou ´egal `a ln b
ln φ+ 1, o`u φest le nombre d’or, c’est-`a-dire φ=1 + √5 2.
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Th´eor`eme 2.7 (de B´ezout )
Soient a, b ∈Z∗. Alors a∧b= 1 si et seulement si il existe (u;v)∈Z2tel que au +bv = 1.
3 Applications
3.1 Les inversibles de Z/nZ
Proposition 3.1
Soit k∈Z.kest inversible dans Z/nZsi et seulement si k∧n= 1.
Corollaire 3.2
Z/nZest un corps si et seulement si nest premier.
Exemple 3.3
(Z/nZ)∗={1,3,7,9,11,13,17,19}. Calculer 17−1.
3.2 Th´eor`eme des restes chinois et syst`emes de congruences
Th´eor`eme 3.4
Soient p∈N∗,n1, . . . , npdes entiers naturels deux `a deux premiers entre eux et (a1, . . . , ap)∈Zp. Alors
le syst`eme de congruences d´efini par : ∀k∈J1, pK, x ≡ak(mod nk)admet une unique solution modulo
N=n1. . . np, donn´ee par x≡
p
P
k=1
ukNkak, o`u pour tout k∈J1, pK,Nk=N
nket uk≡N−1
k(mod nk).
Exemple 3.5
R´esoudre dans Zle syst`eme suivant :
x≡4 (mod 5)
x≡3 (mod 6)
x≡2 (mod 7).
Exemple 3.6
R´esoudre dans Zle syst`eme suivant :
x≡3 (mod 4)
x≡5 (mod 6).
3.3 Equation diophantienne
Th´eor`eme 3.7 (de Gauss )
Soient a, b, c ∈Z∗. Si adivise bc et si aest premier avec b, alors adivise c.
Exemple 3.8
R´esoudre dans Z2l’´equation 18459x+ 3809y= 879.
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