Exercices d`Algèbre 3 Bernd Ammann, 2006–2007 Feuille 13 6

Exercices d’Algèbre 3
Bernd Ammann, 2006–2007
Feuille 13 6 décembre 2006
1Est-ce que les nombres suivants sont constructibles sur Q?
p1 + √5,q(1/5) + 2p7/9,3 p9+6√3,3 p2+3√3,cos π/3,tan π/3,cos π/5.
2Décomposer le polynôme P= 6X5−29X4+45X3−39X2+39X−10 en facteurs irréductibles
sachant qu’il y a des racines rationelles. On suppose que r=p/q est une racine de Pavec
p, q ∈Z,q6= 0,pgcd(p, q) = 1.
(a) Montrer que p|10 et q|6.
(b) Montrer que 5|pou
pq ≡ ±2 mod 5
Indication: Étudier q5P(p/q) mod 5
(c) Si p= 5k,k∈Zmontrer que
k≡ −2qmod 5.
Indication: Étudier q5P(p/q) mod 25
(d) Montrer que Pn’a pas de racine r∈Cavec |r| ≥ 10
(e) Décomposer Pen facteurs irréductibles dans R[X]et dans C[X].
3
(a) Soit P∈C[X]. Démontrer que P−Xdivise P◦P−Xdans C[X].
(b) Résoudre dans C:(z2+ 3z+ 1)2+ 3z2+ 8z+ 4 = 0.
(c) Soit P∈R[X]. Démontrer que P−Xdivise P◦P−Xdans R[X].
4Démontrer que 1+(X−1)2(X−3)2est irréductible dans Q[X].
5
Trouver les racines de P=X4−3X3+ 6X2−15X+ 5 sachant que deux racines a1et a2
vérifient a1a2= 5.
Indication: Écrire P= (X2+tX + 5)(X2+aX +b)

6Soit A=Z[X]. Parmi les idéaux suivants, lesquels sont principaux ?
(a) hX, 2iideal,
(b) hX+ 1, X2−1iideal;
(c) h3X3+ 2X2+ 1, X2−1, X + 1iideal.
(d) h3X3+ 2X2+ 1, X2−1, X4+ 2iideal.
7Soit P∈R[X]tel que la fonction polynomiale associée e
Pest périodique. Montrer que le
polynôme Pest constant.
8Soit P∈Z[X],t∈Z,s=P(t). Montrer que sdivise P(s+t).
9Soit Kun corps, et
A:= {P∈K[X]|dont le coefficient de Xest nul}.
Démontrer que Aest un sous-anneau non principal de K[X].
10 Calculer le pgcd des polynômes Pet Qsuivants à coefficients dans Rou C.
(a) P=X4+X3−3X2−4X−1
Q=X3+X2−X−1
(b) P=X4−10X2+ 1
Q=X4−4X3+ 6X2−4X+ 1
(c) P=X5−iX4+X3−X2+iX −1
Q=X4−iX3+ 3X2−2iX + 2
11 Montrer que les polynômes Pet Qsuivants sont premiers entre eux. Trouver U, V ∈R[X]
tels que UP +V Q = 1.
(a) P=X4+X3−2X+ 1
Q=X2+X+ 1
(b) P=X3+X2+ 1
Q=X3+X+ 1
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Factoriser X8+X4+ 1 sur R.
http://www.iecn.u-nancy.fr/∼ammann/alg3