Feuille 2 - IMJ-PRG

Universit´e Paris Diderot MI4– Ann´ee 2013/14
D´epartement de Sciences Exactes L2 MI4
Feuille d’exercices n◦2 :
GROUPES.
Rappel : l’ordre d’un ´el´ement xdans un groupe Gest le plus petit entier d≥1
tel que xd=e(c’est-`a-dire que xd=eet, si xd′=ealors ddivise d′).
Exercice 1 [calcul dans les groupes] Soit Gun groupe, a, b ∈G, et n∈Z.
Montrer que :
1. (aba−1)n=abna−1.
2. (ab)−1=b−1a−1.
3. Si (ab)n=e, alors (ba)n=e.
4. Si ab =ba, alors (ab)n=anbn. Donner un contre-exemple si ab 6=ba.
5. Si a−1ba =b−1et b−1ab =a−1, alors a2=b2et a4=b4=e.
Exercice 2 [sous-groupes de Z] On sait que Zest un groupe pour l’addition
usuelle des nombres entiers. Dterminer les sous-groupes de Z.
Exercice 3 [exemple de sous-groupes de C] On sait que C∗est un groupe pour
la multiplication usuelle des nombres complexes. On note S1l’ensemble des
nombres complexes de module 1 et on note Unl’ensemble des racines n-ime de
l’unit.
1. Vrifier que S1est un sous-groupe de C∗.
2. Vrifier que Unest un sous-groupe de S1. Est-ce un sous-groupe de C∗?
Est-il fini ? Si oui calculer son ordre.
Exercice 4 Soit Gun groupe tel que x2=epour tout x∈G. Montrer que G
est commutatif.
Exercice 5 Soit Gun groupe commutatif. On suppose que pour tout g∈Gil
existe un nombre impair ntel que gn=e. Montrer que l’application g7→ g2est
une bijection de Gdans lui-mˆeme.
Plus g´en´eralement si ppremier ne divise pas le cardinal de G, montrer que
l’application g7→ gpest une bijection de Gdans lui-mˆeme.
Exercice 6 Soit Gun groupe, et soit a, b ∈G.
1. Montrer que l’ordre de aet l’ordre de a−1sont ´egaux.
2. Montrer que l’ordre de aet bab−1sont ´egaux
3. Montrer que l’ordre de ab et l’ordre de ba sont ´egaux.
4. * On suppose que ml’ordre de aet nl’ordre de bsont premiers entre eux.
Si Gest commutatif, alors l’ordre de ab est ´egal `a mn.
1

5. Montrer sur un exemple que la conclusion pr´ec´edente peut ˆetre fausse dans
un groupe non commutatif. (Indication : (123),(12) ∈S6)
Exercice 7 Soit Gun groupe.
1. Quels sont les ´el´ements de Gd’ordre 1 ?
2. Soit xun ´el´ement de Gd’ordre rs avec r, s ≥1. Quel est l’ordre de xr?
3. Soit xun ´el´ement de Gd’ordre n. Soit run entier strictement positif
premier `a n, montrer que xrest d’ordre n.
4. G´en´eralement, soit xun ´el´ement de Gd’ordre n. Quel est l’ordre de xr,
pour r≥1 ?
CONGRUENCES, Z/nZ
Exercice 8 [g´en´erateur de (Z/17Z)∗] D´eterminer l’ordre de 2 dans (Z/17Z)∗.
Montrer que (Z/17Z)∗est cyclique, c’est-`a-dire qu’il existe a∈(Z/17Z)∗tel que
hai= (Z/17Z)∗. [Indication : on pourra chercher atel que a2= 2.]
Il sera vu en cours que (Z/pZ)∗est toujours cyclique si pest premier.
Exercice 9 Soit nun entier naturel. Montrer que :
1. 23n+5 + 3n+1 est multiple de 5 mais pas de 10.
2. 3n5+ 5n3+ 7nest multiple de 15.
3. n5−nest multiple de 30.
Exercice 10 [calcul de puissances]
1. Quel est le dernier chiffre de 77777777 ? de 20132013 ?
2. Quels sont les restes des divisions euclidiennes de 9002000 et de 101102103
par 7 ?
3. Quel est le reste de la division euclidienne de 313233 par 11 ?
Exercice 11 [diviseurs premiers des nombres de Fermat] Soit n∈Net Fn=
22n+1 le n-ieme nombre de Fermat. Soit pun diviseur premier de Fn. Remarquer
22n=−1 mod p, puis montrer que l’ordre de 2 dans (Z/pZ)∗est 2n+1. En
d´eduire qu’il existe k∈Ntel que p= 2n+1 k+ 1. Trouver un diviseur de
F5= 4 294 967 297. Ce fut la d´emarche d’Euler pour r´efuter la conjecture de
Fermat, selon laquelle tous les nombres Fnsont premiers.
Exercice 12 Soit n > 1 un entier tel que 2n= 1 mod n. Soit ple plus petit
diviseur premier de n.
1. Montrer que p > 2.
2. Soit rl’ordre de 2 dans le groupe multiplicatif (Z/pZ)∗. Montrer que r > 1
et que rdivise net p−1.
3. Conclure qu’il n’existe pas de n > 1 tel que 2n= 1 mod n.
2

Rappel : ´ Equations modulaires lin´eaires
Soit n≥1un entier naturel, et soit a, b ∈Z/nZ. On consid`ere l’´equation
suivante dans Z/nZ:
ax =b, x ∈Z/nZ.(1)
1. Soit d= pgcd(a, n). Alors l’´equation (1) admet des solutions si et seule-
ment si d|b.
2. Soit u, v ∈Zdes coefficients de B´ezout tels que au +nv =ddans Z. On
pose
x0=ub
dmod n.
Alors x0est solution de l’´equation (1).
3. Soit x∈Z/nZune solution de l’´equation (1). Alors xest de la forme :
xi=x0+in
d, i ∈Z.
4. Donc toutes les solutions de l’´equation (1) sont les x0,...,xd−1, et qu’ils
sont au nombre de d.
Exercice 13 R´esoudre les ´equations 6x= 10 mod 16 et 7x= 4 mod 30.
Exercice 14 [inverses dans Z/nZ] Rappeler `a quelle condition un ´el´ement aest
inversible dans Z/nZ. Donner une proc´edure utilisant l’algorithme d’Euclide-
B´ezout pour calculer l’inverse d’un ´el´ement.
Exercice 15 [Th´eor`eme de Wilson] Soit p > 2 un nombre premier.
1. Montrer que −1 est le seul ´el´ement d’ordre 2 de (Z/pZ)∗.
2. Montrer que (p−1)! = −1 mod p.Indication : on pourra regrouper xet
x−1dans le produit des xpour x∈(Z/pZ)∗.
3. Que dire de la r´eciproque : si (n−1)! = −1 mod n, peut-on en conclure
que nest premier ?
Exercice 16 R´esoudre les syt`emes de congruences :
(a)x= 3 mod 37
x= 4 mod 52 (b)x= 21 mod 12
x= 12 mod 21
Exercice 17 R´esoudre les ´equations :
1. x2+ 4x−1 = 0 dans Z/11Z.
2. x2+ 7x+ 3 = 0 dans Z/11Z.
3. x2+ 4x−13 = 0 dans Z/21Z.
4. x2+ 2x+ 6 = 0 dans Z/9Z.
5. 2x2+ 3x+ 1 = 0 dans Z/5Z.
3