Chapitre 5 Trigonométrie

Chapitre 5
Trigonométrie
Mathématiques 1-TSI
Lycée Pierre-Paul Riquet
Mathématiques 1-TSI (Lycée Pierre-Paul Riquet)
Trigonométrie
1 / 40
Fonctions trigonométriques
Plan
1
Fonctions trigonométriques
Fonctions périodiques
Les fonctions cosinus et sinus
La fonction tangente
2
Équations et inéquations trigonométriques
3
Transformations d’expressions trigonométriques et nombres complexes
Mathématiques 1-TSI (Lycée Pierre-Paul Riquet)
Trigonométrie
2 / 40
Fonctions trigonométriques
Fonctions périodiques
1
Fonctions trigonométriques
Fonctions périodiques
Les fonctions cosinus et sinus
La fonction tangente
2
Équations et inéquations trigonométriques
Équations fondamentales
Inéquations fondamentales
Un formulaire utile
3
Transformations d’expressions trigonométriques et nombres complexes
Linéarisation
Délinéarisation
Factorisation de a cos(x) + b sin(x).
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Trigonométrie
3 / 40
Fonctions trigonométriques
Fonctions périodiques
Définition
Soit f une fonction définie sur un ensemble D. On dit que f est T -périodique
(ou périodique de période T ) sur D lorsque :
(i) ∀x ∈ D, x + T ∈ D ;
(ii) ∀x ∈ D, f (x + T ) = f (x).
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Trigonométrie
4 / 40
Fonctions trigonométriques
Les fonctions cosinus et sinus
1
Fonctions trigonométriques
Fonctions périodiques
Les fonctions cosinus et sinus
La fonction tangente
2
Équations et inéquations trigonométriques
Équations fondamentales
Inéquations fondamentales
Un formulaire utile
3
Transformations d’expressions trigonométriques et nombres complexes
Linéarisation
Délinéarisation
Factorisation de a cos(x) + b sin(x).
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Trigonométrie
5 / 40
Fonctions trigonométriques
Les fonctions cosinus et sinus
Définition
1
On appelle fonction cosinus, et on note cos, la fonction qui à tout réel
x associe cos(x).
2
On appelle fonction sinus, et on note sin, la fonction qui à tout réel x
associe sin(x).
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Trigonométrie
6 / 40
Fonctions trigonométriques
Les fonctions cosinus et sinus
REMARQUES :
(1) Les fonctions cos et sin sont définies sur R.
(2)
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Trigonométrie
7 / 40
Fonctions trigonométriques
Les fonctions cosinus et sinus
REMARQUES :
(1) Les fonctions cos et sin sont définies sur R.
(2)
• La fonction cos est 2π périodique. On peut donc restreindre son étude sur un
intervalle de longueur 2π : [−π; π].
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Trigonométrie
7 / 40
Fonctions trigonométriques
Les fonctions cosinus et sinus
REMARQUES :
(1) Les fonctions cos et sin sont définies sur R.
(2)
• La fonction cos est 2π périodique. On peut donc restreindre son étude sur un
intervalle de longueur 2π : [−π; π].
• De plus, ∀x ∈ R, cos(−x) = cos(x). La fonction cosinus est donc paire.
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Trigonométrie
7 / 40
Fonctions trigonométriques
Les fonctions cosinus et sinus
REMARQUES :
(1) Les fonctions cos et sin sont définies sur R.
(2)
• La fonction cos est 2π périodique. On peut donc restreindre son étude sur un
intervalle de longueur 2π : [−π; π].
• De plus, ∀x ∈ R, cos(−x) = cos(x). La fonction cosinus est donc paire.
Il suffit donc d’étudier la fonction cos sur [0; π]. On complètera le tracé de la
courbe représentative par symétrie par rapport à l’axe des ordonnées, puis par
2π périodicité.
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Trigonométrie
7 / 40
Fonctions trigonométriques
Les fonctions cosinus et sinus
REMARQUES :
(1) Les fonctions cos et sin sont définies sur R.
(2)
• La fonction cos est 2π périodique. On peut donc restreindre son étude sur un
intervalle de longueur 2π : [−π; π].
• De plus, ∀x ∈ R, cos(−x) = cos(x). La fonction cosinus est donc paire.
Il suffit donc d’étudier la fonction cos sur [0; π]. On complètera le tracé de la
courbe représentative par symétrie par rapport à l’axe des ordonnées, puis par
2π périodicité.
(3) De la même façon (sin est impaire et 2π périodique), on complètera le tracé
de la courbe représentative par symétrie par rapport à l’origine puis par 2π
périodicité.
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Trigonométrie
7 / 40
Fonctions trigonométriques
Les fonctions cosinus et sinus
Proposition (dérivées de cos et sin)
1
2
La fonction cosinus est dérivable sur R, et
∀x ∈ R, cos0 (x) = − sin(x) ;
La fonction sinus est dérivable sur R, et ∀x ∈ R, sin0 (x) = cos(x).
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Trigonométrie
8 / 40
Fonctions trigonométriques
x
0
− sin(x)
1H
cos
π
2
Les fonctions cosinus et sinus
x
0
cos(x)
π
−
HH
j
H
j-1
H
¯
Tableau de variations de la fonction cos sur [0; π]
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+
0
1
π
−
@
sin
0H
π
2
0
@
R
@
0
Tableau de variations de la fonction sin sur [0; π]
Trigonométrie
9 / 40
Fonctions trigonométriques
2π
− 3π
2
−π
Les fonctions cosinus et sinus
− π2
π
2
π
3π
2
Figure: Courbes représentatives des fonctions sinus et cosinus.
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Trigonométrie
10 / 40
Fonctions trigonométriques
Les fonctions cosinus et sinus
REMARQUES :
(1) Les courbes représentatives de ces deux fonctions s’obtiennent l’une de l’autre
par une translation de π2 et sont appelées sinusoı̈des ;
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Trigonométrie
11 / 40
Fonctions trigonométriques
Les fonctions cosinus et sinus
REMARQUES :
(1) Les courbes représentatives de ces deux fonctions s’obtiennent l’une de l’autre
par une translation de π2 et sont appelées sinusoı̈des ;
(2) L’équation réduite de la tangente en 0 à la courbe représentative de
la fonction cosinus est
la fonction sinus est
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Trigonométrie
11 / 40
Fonctions trigonométriques
Les fonctions cosinus et sinus
REMARQUES :
(1) Les courbes représentatives de ces deux fonctions s’obtiennent l’une de l’autre
par une translation de π2 et sont appelées sinusoı̈des ;
(2) L’équation réduite de la tangente en 0 à la courbe représentative de
la fonction cosinus est y = 1 ;
la fonction sinus est
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Trigonométrie
11 / 40
Fonctions trigonométriques
Les fonctions cosinus et sinus
REMARQUES :
(1) Les courbes représentatives de ces deux fonctions s’obtiennent l’une de l’autre
par une translation de π2 et sont appelées sinusoı̈des ;
(2) L’équation réduite de la tangente en 0 à la courbe représentative de
la fonction cosinus est y = 1 ;
la fonction sinus est y = x.
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Trigonométrie
11 / 40
Fonctions trigonométriques
La fonction tangente
1
Fonctions trigonométriques
Fonctions périodiques
Les fonctions cosinus et sinus
La fonction tangente
2
Équations et inéquations trigonométriques
Équations fondamentales
Inéquations fondamentales
Un formulaire utile
3
Transformations d’expressions trigonométriques et nombres complexes
Linéarisation
Délinéarisation
Factorisation de a cos(x) + b sin(x).
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Trigonométrie
12 / 40
Fonctions trigonométriques
La fonction tangente
Définition
On appelle fonction tangente, et on note tan, la fonction définie par
sin(x)
tan(x) =
.
cos(x)
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Trigonométrie
13 / 40
Fonctions trigonométriques
La fonction tangente
Définition
On appelle fonction tangente, et on note tan, la fonction définie par
sin(x)
tan(x) =
.
cos(x)
REMARQUE :Le domaine de définition de la fonction tangente est :
R \ { π2 + kπ, k ∈ Z} ;
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Trigonométrie
13 / 40
Fonctions trigonométriques
La fonction tangente
Définition
On appelle fonction tangente, et on note tan, la fonction définie par
sin(x)
tan(x) =
.
cos(x)
REMARQUE :Le domaine de définition de la fonction tangente est :
R \ { π2 + kπ, k ∈ Z} ;
Proposition (dérivée de la fonction tangente)
La fonction tangente est dérivable sur D = R \ { π2 + kπ, k ∈ Z}, et :
∀x ∈ D, tan0 (x) = 1 + tan2 (x) =
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Trigonométrie
1
.
cos2 (x)
13 / 40
Fonctions trigonométriques
2π
− 3π
2
−π
La fonction tangente
π
2
− π2
π
3π
2
Figure: Représentation graphique de la fonction tan.
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14 / 40
Fonctions trigonométriques
La fonction tangente
REMARQUES :
(1) La fonction tangente est π-périodique.
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Trigonométrie
15 / 40
Fonctions trigonométriques
La fonction tangente
REMARQUES :
(1) La fonction tangente est π-périodique.
(2) La fonction tangente est impaire, sa courbe représentative est donc
symétrique par rapport à l’origine du repère ;
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Trigonométrie
15 / 40
Fonctions trigonométriques
La fonction tangente
REMARQUES :
(1) La fonction tangente est π-périodique.
(2) La fonction tangente est impaire, sa courbe représentative est donc
symétrique par rapport à l’origine du repère ;
(3) La tangente en 0 a pour équation réduite : y = x.
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Trigonométrie
15 / 40
Fonctions trigonométriques
La fonction tangente
REMARQUES :
(1) La fonction tangente est π-périodique.
(2) La fonction tangente est impaire, sa courbe représentative est donc
symétrique par rapport à l’origine du repère ;
(3) La tangente en 0 a pour équation réduite : y = x.
π
(4) Les droites d’équations x = + kπ, k ∈ Z sont asymptotes verticales.
2
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Trigonométrie
15 / 40
Fonctions trigonométriques
La fonction tangente
REMARQUES :
(1) La fonction tangente est π-périodique.
(2) La fonction tangente est impaire, sa courbe représentative est donc
symétrique par rapport à l’origine du repère ;
(3) La tangente en 0 a pour équation réduite : y = x.
π
(4) Les droites d’équations x = + kπ, k ∈ Z sont asymptotes verticales.
2
Proposition (limites)
(a)
(b)
lim tan(x) = +∞ et lim
tan(x) = −∞ ;
π+
−
x→ π
2
lim
−
x→− π
2
x→ 2
tan(x) = −∞ et
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lim
+
x→− π
2
tan(x) = +∞.
Trigonométrie
15 / 40
Équations et inéquations trigonométriques
Plan
1
Fonctions trigonométriques
2
Équations et inéquations trigonométriques
Équations fondamentales
Inéquations fondamentales
Un formulaire utile
3
Transformations d’expressions trigonométriques et nombres complexes
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Trigonométrie
16 / 40
Équations et inéquations trigonométriques

Les fonctions cosinus, sinus et tangentes n’étant pas strictement monotones, nous n’avons pas en toutes généralités les équivalences cos(x) =
cos(y) ⇔ x = y etc...
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Trigonométrie
17 / 40
Équations et inéquations trigonométriques
Équations fondamentales
1
Fonctions trigonométriques
Fonctions périodiques
Les fonctions cosinus et sinus
La fonction tangente
2
Équations et inéquations trigonométriques
Équations fondamentales
Inéquations fondamentales
Un formulaire utile
3
Transformations d’expressions trigonométriques et nombres complexes
Linéarisation
Délinéarisation
Factorisation de a cos(x) + b sin(x).
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Trigonométrie
18 / 40
Équations et inéquations trigonométriques
Équations fondamentales
Proposition
1. cos(U ) = cos(V ) ⇔ U = V [2π] ou U = −V [2π] ;
2. sin(U ) = sin(V ) ⇔ U = V [2π] ou U = π − V [2π] ;
3. tan(U ) = tan(V ) ⇔ U = V [π].
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Trigonométrie
19 / 40
Équations et inéquations trigonométriques
Équations fondamentales
Illustrations graphiques
1.
2π
− 3π
2
−π
Mathématiques 1-TSI (Lycée Pierre-Paul Riquet)
− π2
π
2
Trigonométrie
π
3π
2
20 / 40
Équations et inéquations trigonométriques
Équations fondamentales
Illustrations graphiques
2.
2π
− 3π
2
−π
Mathématiques 1-TSI (Lycée Pierre-Paul Riquet)
− π2
π
2
Trigonométrie
π
3π
2
21 / 40
Équations et inéquations trigonométriques
Équations fondamentales
Illustrations graphiques
3.
2π
− 3π
2
−π
Mathématiques 1-TSI (Lycée Pierre-Paul Riquet)
π
2
− π2
Trigonométrie
π
3π
2
22 / 40
Équations et inéquations trigonométriques
Équations fondamentales
Exercice
Résoudre les équations suivantes :
(a) cos(x) =
1
2
;
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(b) cos(x) = cos x −
Trigonométrie
π
6
;
(c) cos(x) = sin x −
π
6
.
23 / 40
Équations et inéquations trigonométriques
Inéquations fondamentales
1
Fonctions trigonométriques
Fonctions périodiques
Les fonctions cosinus et sinus
La fonction tangente
2
Équations et inéquations trigonométriques
Équations fondamentales
Inéquations fondamentales
Un formulaire utile
3
Transformations d’expressions trigonométriques et nombres complexes
Linéarisation
Délinéarisation
Factorisation de a cos(x) + b sin(x).
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Trigonométrie
24 / 40
Équations et inéquations trigonométriques
Inéquations fondamentales
Exercice
Résoudre l’inéquation : cos(x) ≤ 12 .
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Trigonométrie
25 / 40
Équations et inéquations trigonométriques
Un formulaire utile
1
Fonctions trigonométriques
Fonctions périodiques
Les fonctions cosinus et sinus
La fonction tangente
2
Équations et inéquations trigonométriques
Équations fondamentales
Inéquations fondamentales
Un formulaire utile
3
Transformations d’expressions trigonométriques et nombres complexes
Linéarisation
Délinéarisation
Factorisation de a cos(x) + b sin(x).
Mathématiques 1-TSI (Lycée Pierre-Paul Riquet)
Trigonométrie
26 / 40
Équations et inéquations trigonométriques
Un formulaire utile
Relations fondamentales :
cos2 (x) + sin2 (x) = 1
Mathématiques 1-TSI (Lycée Pierre-Paul Riquet)
1 + tan2 (x) =
Trigonométrie
1
cos2 (x)
27 / 40
Équations et inéquations trigonométriques
Un formulaire utile
Formules d’addition :
cos(a + b) = cos(a) cos(b) − sin(a) sin(b)
cos(a − b) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b)
sin(a + b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b)
sin(a − b) = sin(a) cos(b) − cos(a) sin(b)
tan(a + b) =
tan(a) + tan(b)
1 − tan(a) tan(b)
Mathématiques 1-TSI (Lycée Pierre-Paul Riquet)
tan(a − b) =
Trigonométrie
tan(a) − tan(b)
1 + tan(a) tan(b)
28 / 40
Équations et inéquations trigonométriques
Un formulaire utile
Formules de duplication :
= cos2 (a) − sin2 (a)
= 2 cos2 (a) − 1
= 1 − 2 sin2 (a)
sin(2a) = 2 sin(a) cos(a)
cos(2a)
tan(2a) =
Mathématiques 1-TSI (Lycée Pierre-Paul Riquet)
2 tan(a)
1 − tan2 (a)
Trigonométrie
29 / 40
Équations et inéquations trigonométriques
Un formulaire utile
Formules de linéarisation :
cos2 (a) =
1 + cos(2a)
2
sin2 (a) =
1 − cos(2a)
2
cos(a) cos(b) = 12 [cos(a + b) + cos(a − b)]
cos(a) sin(b) = 21 [sin(a + b) − sin(a − b)]
sin(a) sin(b) = − 12 [cos(a + b) − cos(a − b)]
Mathématiques 1-TSI (Lycée Pierre-Paul Riquet)
Trigonométrie
30 / 40
Équations et inéquations trigonométriques
Un formulaire utile
Transformations de sommes en produits :
cos(p) + cos(q) = 2 cos
sin(p) + sin(q) = 2 sin
Mathématiques 1-TSI (Lycée Pierre-Paul Riquet)
p+q
2
p+q
2
cos
cos
p−q
2
p−q
2
cos(p) − cos(q) = −2 sin
sin(p) − sin(q) = 2 cos
Trigonométrie
p+q
2
p+q
2
sin
sin
p−q
2
p−q
2
31 / 40
Équations et inéquations trigonométriques
Un formulaire utile
Paramétrisation rationnelle du cercle :
Si t = tan
a
2
, alors :
cos(a) =
1 − t2
1 + t2
Mathématiques 1-TSI (Lycée Pierre-Paul Riquet)
sin(a) =
2t
1 + t2
Trigonométrie
tan(a) =
2t
1 − t2
32 / 40
Équations et inéquations trigonométriques
Un formulaire utile
Exercice
Résoudre l’inéquation cos(x) > cos x −
Mathématiques 1-TSI (Lycée Pierre-Paul Riquet)
Trigonométrie
π
6
.
33 / 40
Transformations d’expressions trigonométriques et nombres complexes
Plan
1
Fonctions trigonométriques
2
Équations et inéquations trigonométriques
3
Transformations d’expressions trigonométriques et nombres complexes
Linéarisation
Délinéarisation
Factorisation de a cos(x) + b sin(x).
Mathématiques 1-TSI (Lycée Pierre-Paul Riquet)
Trigonométrie
34 / 40
Transformations d’expressions trigonométriques et nombres complexes
Linéarisation
1
Fonctions trigonométriques
Fonctions périodiques
Les fonctions cosinus et sinus
La fonction tangente
2
Équations et inéquations trigonométriques
Équations fondamentales
Inéquations fondamentales
Un formulaire utile
3
Transformations d’expressions trigonométriques et nombres complexes
Linéarisation
Délinéarisation
Factorisation de a cos(x) + b sin(x).
Mathématiques 1-TSI (Lycée Pierre-Paul Riquet)
Trigonométrie
35 / 40
Transformations d’expressions trigonométriques et nombres complexes
Linéarisation
Principe : Se débarrasser des facteurs dans une expression trigonométrique. On
utilise pour ceci les formules d’Euler.
Mathématiques 1-TSI (Lycée Pierre-Paul Riquet)
Trigonométrie
36 / 40
Transformations d’expressions trigonométriques et nombres complexes
Linéarisation
Principe : Se débarrasser des facteurs dans une expression trigonométrique. On
utilise pour ceci les formules d’Euler.
Exercice
Linéariser sin3 (x).
Mathématiques 1-TSI (Lycée Pierre-Paul Riquet)
Trigonométrie
36 / 40
Transformations d’expressions trigonométriques et nombres complexes
Délinéarisation
1
Fonctions trigonométriques
Fonctions périodiques
Les fonctions cosinus et sinus
La fonction tangente
2
Équations et inéquations trigonométriques
Équations fondamentales
Inéquations fondamentales
Un formulaire utile
3
Transformations d’expressions trigonométriques et nombres complexes
Linéarisation
Délinéarisation
Factorisation de a cos(x) + b sin(x).
Mathématiques 1-TSI (Lycée Pierre-Paul Riquet)
Trigonométrie
37 / 40
Transformations d’expressions trigonométriques et nombres complexes
Délinéarisation
Principe : Exprimer cos(px) et sin(px) par des puissances de cos(x) et sin(x).
On utilise ici la formule de De Moivre.
Mathématiques 1-TSI (Lycée Pierre-Paul Riquet)
Trigonométrie
38 / 40
Transformations d’expressions trigonométriques et nombres complexes
Délinéarisation
Principe : Exprimer cos(px) et sin(px) par des puissances de cos(x) et sin(x).
On utilise ici la formule de De Moivre.
Exercice
Délinéariser cos(3x).
Mathématiques 1-TSI (Lycée Pierre-Paul Riquet)
Trigonométrie
38 / 40
Transformations d’expressions trigonométriques et nombres complexes
Factorisation de a cos(x) + b sin(x).
1
Fonctions trigonométriques
Fonctions périodiques
Les fonctions cosinus et sinus
La fonction tangente
2
Équations et inéquations trigonométriques
Équations fondamentales
Inéquations fondamentales
Un formulaire utile
3
Transformations d’expressions trigonométriques et nombres complexes
Linéarisation
Délinéarisation
Factorisation de a cos(x) + b sin(x).
Mathématiques 1-TSI (Lycée Pierre-Paul Riquet)
Trigonométrie
39 / 40
Transformations d’expressions trigonométriques et nombres complexes
Factorisation de a cos(x) + b sin(x).
On suppose a et b non nuls simultanément, et on pose z = a + ib.
Proposition
Il existe r > 0 et θ ∈ R tels que a cos(x) + b sin(x) = r cos(θ).
Mathématiques 1-TSI (Lycée Pierre-Paul Riquet)
Trigonométrie
40 / 40
Transformations d’expressions trigonométriques et nombres complexes
Factorisation de a cos(x) + b sin(x).
On suppose a et b non nuls simultanément, et on pose z = a + ib.
Proposition
Il existe r > 0 et θ ∈ R tels que a cos(x) + b sin(x) = r cos(θ).
Exercice
Résoudre l’équation
Mathématiques 1-TSI (Lycée Pierre-Paul Riquet)
√
3 cos(x) + sin(x) = 1.
Trigonométrie
40 / 40