Exercices : nombres complexes

ECS 1 Dupuy de Lˆ ome
Semaine du 22 octobre 2004
Exercices : nombres complexes
Notations alg´ ebrique et exponentielle
Exercice 1:Mettre sous forme alg´ebrique les nombres complexes suivants :
z1=3+6i
3−4i, z2=1 + i 2−i2
+1−7i
4+3i, z3=2+5i 1−i+2−5i 1 + i.
Exercice 2:Mettre sous forme exponentielle les nombres complexes :
z1=3
1−i, z2=(1 + i)3 1−i+(1 −i)4 (1 −i)2, z3=(√6−i√2)(1 + i) 1−i.
Exercice 3:Soient θ, θ0deux nombres r´eels.
1. Transformez eiθ +eiθ0en factorisant par eiθ+θ0
2sous la forme ρeiθ o`u ρet θsont des r´eels.
2. En d´eduire la forme exponentielle des nombres complexes z1= 1 + eiπ/3, z2=e4iπ/3−1
Exercice 4:Soit n∈N?. Simplifiez les nombres complexes suivants :
z1= 1 + i√3
1−i!n
, z2=√3−1+i1 + √3n+√3−1−i1 + √3n.
Exercice 5:D´emontrez que pour tous uet vdans C,
|u+v|2+|u−v|2= 2 (|u|+|v|).
Racines ni`
emes & Equations polynomiales
Exercice 6:D´eterminez les racines carr´ees de 9 + 40iet les racines quatri`emes de −7−24i.
Exercice 7:
1. Mettre sous forme exponentielle les nombres complexes
u=1 + i√3
1−i√3, v =1−i 1 + i√3
2. R´esoudre dans Cles ´equations z6=uet z4=v.
Exercice 8:R´esoudre dans Cles ´equations suivantes
1. z5= 1.
2. z7= 1 + i√3.
3. z6−(1 + 2i)z3+ 3(1 + i) = 0.
4. z6¯z= 1.
Exercice 9:R´esoudre dans Cl’´equation : z2−(2 + 3i)z+ 3i−1 = 0.
Exercice 10 :R´esoudre dans Cl’´equation z
z−1n
= 1.
Applications ` a la trigonom´ etrie
Exercice 11 :
1. Pr´esentez sous forme trigonom´etrique les nombres complexes u=1
2(√6−i√2) et v= 1 −i.
2. En d´eduire une pr´esentation trigonom´etrique de u/v, puis les valeurs exactes de cos π/12 et sin π/12.
Exercice?12 :Lin´eariser cos2xsin2x, et cos5xsin x.
Exercice?13 :Soient a, b, r ∈Ret n∈N?. Calculez :
R=
n−1
X
k=0 n
kcos(a+kb), S =
n−1
X
k=0
rkcos(a+kb), T =
n−1
X
k=0
rksin(a+kb).
1

Exercices suppl´ ementaires
Notations alg´ ebrique et exponentielle
Exercice 14 :Soit zun nombre complexe de module 1, montrez que i¯z−1
z−i=−¯z.
Exercice 15 :Soient aet bdes nombres r´eels.R´esoudre dans Cle syt`eme z+|z|=a+ib
z− |z|=a−ib
Exercice 16 :Ecrire sous forme exponentielle les nombres complexes suivants :
1. z= (1 + itan ϕ)2, o`u ϕ∈[0, π/2[.
2. z=1 + cos ϕ+isin ϕ
1−cos ϕ−isin ϕ, o`u ϕ∈]0,2π[.
3. z=1 + cos ϕ+isin ϕ
√1 + sin 2ϕ+i√1−sin 2ϕ, o`u ϕ∈[0, π/2[.
Exercice 17 :D´eterminez l’ensemble des entiers naurels n∈Npour lesquels (1 + i)n∈R.
Exercice 18 :D´eterminez l’´ecriture trigonom´etrique de
eiπ/6−i
eiπ/3+ 1, eiθ +e2iθ, 1−√3−i
2!43
,1−cos θ−isin θ
1 + cos θ−isin θ.
Exercice 19 :D´emontrez que (∀(z, z0)∈C×C?),|z+z0|=|z|+|z0| ⇐⇒ ∃λ∈R+;z=λz0.
Racines ni`
emes
Exercice 20 :D´eterminez les racines carr´ees de 22 + i8√3.
Exercice 21 :D´eterminez les racines quatri`emes de 28 + 96i.
Exercice 22 :Soit n≥2. On pose ω=ei2π
n. D´emontrez que
n−1
Y
k=0
ωk= (−1)n.
Exercice 23 :Soit n∈Nun entier sup´erieur ou ´egal `a 2 et ωune racine ni`eme de 1 diff´erente de 1 lui-mˆeme.
Calculez les sommes suivantes :
1.
n−1
X
k=0 n
kωk.
2.
n−1
X
k=0
ωkp.
3.
n−1
X
k=0
(k+ 1)ωk.
4.
n
X
k=1
(2 + ωk)n.
Equations
Exercice 24 :Soit n∈N?. R´esoudre dans Cl’´equation (z−1)n= (z+ 1)n.
On donnera la r´eponse sous forme exponentielle ou trigonom´etrique.
Exercice 25 :R´esoudre dans Cl’´equation
z2n−2zncos(na) + 1 = 0
o`u n∈N?est un entier naturel non nul et a∈Run r´eel.
2

Exercice 26 :R´esoudre dans C
z2+(3+4i)z−1+5i= 0
Exercice 27 :R´esoudre dans C
z2(1 −z2) = 16
Exercice 28 :R´esoudre dans C
z4−i√2z3−4√2(i−1)z−8−8i= 0
Indication : on v´erifiera que cette ´equation poss`ede une solution imaginaire pure
Applications ` a la trigonom´ etrie
Exercice?29 :Lin´eariser sin4x, cos3xsin4xet cos4x.
Exercice?30 :D´emontrez que pour tous nombres r´eels pet q,
1. cos p+ cos q= 2 cos p+q
2×cos p−q 2
2. cos p−cos q=−2 sin p+q
2×sin p−q 2
3. sin p+ sin q= 2 sin p+q
2×cos p−q 2
4. sin p−sin q= 2 sin p−q
2×cos p+q 2
Exercice 31 :Lin´eariser sin4xet cos4x.
Exercice 32 :Lin´eariser cos2xsin2x, cos3xsin4xet cos5xsin x.
Exercice 33 :On consid`ere le nombre complexe z= 4√3+4i.
1. D´eterminez en proc´edant de deux mani`eres diff´erentes les racines carr´ees de z
on pourra remarquer que 4+2√3 = (√3 + 1)2
2. Retrouver ainsi les valeurs exactes de cos π/12 et sin π/12.
Exercice 34 :Soit n∈Nun entier naturel sup´erieur ou ´egal `a 2. On note ω=e2iπ/n
1. D´emontrez que pour tout nombre complexe z∈C,
n−1
Y
k=1
(z−ωk) =
n−1
X
l=0
zl
2. En d´eduire que
n−1
Y
k=1
sin kπ
n=n 2n−1.
Exercice 35 :Soit n∈N?un entier naturel non nul et θ∈]0, π[. Calculez
S=
n
X
k=0
kn
ksin kθ
Exercice?? 36 :Soient x∈Ret n∈N. Exprimez cos nx et sin nx en fonction des puissances de cos xet sin x.
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