S1 2005-2006 - Mathématiques IUT Mesures Physiques - Grenoble I TD 1 : fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses T Exercices théoriques : −π 5π 2π 3π 1. Donner, sans calculatrice, les sinus, cosinus et tangente des angles π6 , 3π 4 , 3 , 6, 3, 2. 2. On se donne a et b dans [0; π/2], tels que cos a = 41 et sin b = 52 . Calculer sin a et cos b. En déduire les valeurs de cos(a + b) et de sin(a + b). 3. Résoudre les équations suivantes dans R (on donnera l’ensemble des solutions sous forme de valeurs exactes, puis une valeur approchée à 10−2 près de la plus petite solution positive) : √ √ (g) 2 cos x + 0.5 sin x = 1.5 (d) 3 cos x − sin x = 1 (a) cos x = 23 (e) tan 3x = √13 (h) cos x + 0.2 sin x = 6 (b) sin 2x = − 1 2 (f) 2 sin2 x + sin x − 1 = 0 (c) sin x = cos x (i) 3 cos x − 4 sin x = 5 4. Résoudre les équations suivantes dans [−1; 1] : (a) arcsin x = 3π 4 (b) arcsin x = arccos x (c) arcsin 25 − arccos x = − π2 P Exercices pratiques : 1. Mesure du rayon de la Terre par Eratosthène, vers -200 av.J.C : Lors du solstice d’été, à midi, le soleil est au zénith dans la ville de Syène (Assouan). A Alexandrie, située à 800km au nord sur le même méridien, les rayons du soleil font un angle de 7◦ avec la verticale. Avec ces données, retrouver la valeur du rayon de la Terre calculée par Eratosthène. Quelle est l’erreur avec la valeur aujourd’hui mesurée, 6378km ? 2. Tunnel : pour relier deux villes C et F distantes de 80km, on veut percer un tunnel entre deux points C′ et F ′ situés 200m sous C et F. Deux options se présentent : ou bien percer en ligne droite, ou bien percer en restant en permanence à une profondeur de 200m. Comparer les distances à percer dans les deux cas ; dans le premier cas, quelle sera la profondeur maximale atteinte ? 3. Tension électrique : u(t) = A cos(ωt +ϕ) représente la tension aux bornes d’une prise de courant (ω est appelé pulsation, A amplitude ou tension maximale). (a) Montrer que u est périodique. Calculer en fonction de ω sa période et sa fréquence (l’inverse de la période). (b) La tension efficace correspondant à une tension variable de période T est donnée par Ue2f f 1 = T Z T u2 (t)dt. 0 Calculer Ue f f en fonction de A et ω. (c) Sachant qu’en France la fréquence du courant est de 50Hz et la tension efficace de 220V, déterminer A et ω. (d) On suppose de plus que ϕ = π/4. Représenter graphiquement U . (e) Calculer du dt et d2u . dt 2 En déduire que u est une solution de l’équation différentielle d2u + ω2 u = 0. dt 2 (f) Déterminer la primitive de U qui s’annule en 0. S1 2005-2006 - Mathématiques IUT Mesures Physiques - Grenoble I CORRECTION DU TD 1 : fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses T Exercices théoriques : 1. Il suffit de connaître les valeurs de base sur [0; π2 ] puis d’utiliser les propriétés de symétrie, à l’aide d’un cercle trigonométrique. Vérifiez vos résultats une calculatrice... 2. a et b étant dans [0; π/2], sin a et cos b sont positifs. 1 , sin a = Comme de plus (sin a)2 = 1 − (cos a)2 = 1 − 16 3. √ 15 4 . √ 21 5 . √ sin(a + b) = 2+320 35 . De même, cos b = √ √ √ 3( 7−2 5) Alors cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b = , et de même, 20 π π (a) x est de la forme 6 + 2kπ, ou bien de la forme − 6 + 2kπ , pour k ∈ Z. (b) x est solution si et seulement si 2x vaut − π6 + 2kπ ou 7π 6 + 2kπ, donc 7π x = 12 + kπ, k ∈ Z. x ≃ 0.52. π : x = − 12 + kπ ou x ≃ 1.83. (c) Un raisonnement géométrique permet d’éviter les calculs : l’angle x est solution si et seulement si l’abscisse et l’ordonnée du point correspondant du cercle trigonométrique sont égales. Donc x = π4 + 2kπ ou x = 5π x ≃ 0.78. 4 + 2kπ. √ (d) L’équation équivaut successivement à 23 cos x − 12 sin x = 12 , cos π6 cos x − sin π6 sin x = cos π3 , d’où finalement cos(x + π6 ) = cos π3 . Donc x + π6 = ± π3 + 2kπ, k ∈ Z, les solutions sont les π6 + 2kπ et −π 2 + 2kπ, k ∈ Z. x ≃ 0.52. (e) tan 3x = √1 3 = tan π6 équivaut à : 3x = π6 + kπ, donc à x = π 18 + k π3 , k ∈ Z. x ≃ 0.17. (f) 2 sin2 x + sin x − 1 = 0. On résoud d’abord 2X 2 + X − 1, on trouve X = −1 et X = 21 . En remplaçant X par sin x, on obtient donc deux équations trigonométriques, dont les solutions sont tous les − π2 + 2kπ, π6 + 2kπ et 5π x ≃ 0.52. 6 + 2kπ, k ∈ Z. √4 cos x + √1 sin x = √3 . 17 17 17 1 4 2 √ . Alors (sin α) = 17 , et comme α ∈ [0; π], sin α = √1 . L’équation Soit alors α = arccos 17 17 3 √ équivaut donc à cos α cos x + sin α sin x = 17 , donc à cos(x − α) = cos(arccos √317 ). Ainsi, x−α = ± arccos( √317 )+2kπ ; les solutions sont donc les arccos √417 ±arccos √317 +2kπ, (g) On transforme d’abord l’équation en k ∈ Z. x ≃ 1 (et pourtant, x est différent de 1 ! ! !). x+ x = √6 . Mais on remarque alors que le (h) On transforme l’équation en 26 membre de gauche est de la forme cos(x − β) (cf.le cours, et l’équation précédente), alors que le membre de droite est strictement supérieur à 1 : il n’y a pas de solution. (i) √1 sin 26 √5 cos 26 3 4 3 4 5 cos x − 5 sin x = 1, donc si γ = arccos 5 , sin γ = 5 , et cos(x + γ) = 1. Ainsi, x + γ = 2kπ, donc les solutions sont les − arccos 53 + 2kπ. x ≃ 5.36. 4. C’est plus simple que les équations avec les fonctions directes ! (a) La fonction arcsin prend ses valeurs dans [−π/2; π/2] : l’équation n’a donc pas de solution... (b) arcsin est à valeurs dans [−π/2; π/2] et arccos dans [0; π], donc en fait la valeur commune est dans [0; π/2]. Donc x est dans [0; 1]. √ √ L’équation est alors équivalente à x = sin arccos x = 1 − x2 , d’où x = 2/2 (car x > 0 !). (c) arcsin 52 + π2 = arccos x, d’où x = cos(arcsin 52 + π2 ) = − sin(arcsin 52 ) = − 25 . 2 P Exercices pratiques : 1. Un petit croquis représente la situation : 7◦ b A b b S O Les rayons du soleil étant parallèles entre eux (le soleil est à l’infini), l’angle SOA vaut aussi 7◦ . Un angle de 360◦ correspond au périmètre du cercle, 2πR, et un angle de 7◦ à la distance AS le long du cercle. On a donc par proportionnalité la relation : R×7× π = 800000. 180 Ainsi, R ≃ 6548000, soit 6548km. L’erreur relative vaut alors |6548 − 6378|/6378 = 0.0267 soit seulement de 2.67% de la valeur mesurée aujourd’hui ! 2. Tunnel : R désignant le rayon de la terre, O son centre, et d la distance terrestre entre C et F, l’angle COF est α = Rd (radians). – distance en ligne droite entre C′ et F ′ : appelons M le milieu de [C′ F ′ ]. Alors OMC′ est rectangle en M, et l’angle en O vaut α/2, d’où la relation C′ F ′ = 2C′ M = 2C′ O sin(α/2) = 2(R − 0.2) sin(α/2) ≃ 79.99697km. – La distance de C′ à F ′ à une profondeur constante de 200m vaut : (R−0.2)d = (R − 0.2)α ≃ R 79.99749km. La différence entre les distances est donc de (R − 0.2)|α − 2 sin(α/2)| ≃ 0.52m. La profondeur maximale atteinte dans le premier cas vaut R − (R − 0.2) cos(α/2) ≃ 325.4m. 3. Tension électrique : (a) T = 2π ω, (b) u2 (t) = f= ω 2π . A2 2 (1 + cos(2ωt + 2ϕ)) à l’aide de la formule 2 cos2 x = 1 + cos 2x.... Mais intégrer un cosinus sur une période donne 0 (faites-le !), et on obtient donc : Ue2f f = donc Ue f f = √A ≃ 0.707 A. On remarque que Ue f f ne dépend pas de ω ! 2 √ (c) f = 50 donc ω ≃ 314. A = 230 2 ≃ 325V . A2 2 , (d) 2 d u 2 (e) La dérivée de u est du dt (t) = −Aω sin(ωt +ϕ), donc la dérivée seconde vaut dt 2 (t) = −Aω cos(ωt + ϕ) = −ω2 u(t), d’où le résultat. 3