TD 1 : fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses

S1 2005-2006 - Mathématiques IUT Mesures Physiques - Grenoble I
TD 1 : fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses
TExercices théoriques :
1. Donner, sans calculatrice, les sinus, cosinus et tangente des angles π
6,3π 4,−π 3,5π 6,2π 3,3π 2.
2. On se donne aet bdans [0;π/2], tels que cos a=1
4et sin b=2 5.
Calculer sin aet cos b. En déduire les valeurs de cos(a+b)et de sin(a+b).
3. Résoudre les équations suivantes dans R(on donnera l’ensemble des solutions sous forme de
valeurs exactes, puis une valeur approchée à 10−2près de la plus petite solution positive) :
(a) cos x=√3
2
(b) sin 2x=−1
2
(c) sin x=cos x
(d) √3cos x−sin x=1
(e) tan 3x=1
√3
(f) 2sin2x+sin x−1=0
(g) 2cos x+0.5sin x=1.5
(h) cos x+0.2sin x=6
(i) 3cos x−4sin x=5
4. Résoudre les équations suivantes dans [−1;1]:
(a) arcsin x=3π
4(b) arcsin x=arccos x(c) arcsin 2 5−arccos x=−π 2
PExercices pratiques :
1. Mesure du rayon de la Terre par Eratosthène, vers -200 av.J.C : Lors du solstice d’été, à midi,
le soleil est au zénith dans la ville de Syène (Assouan). A Alexandrie, située à 800km au nord sur
le même méridien, les rayons du soleil font un angle de 7◦avec la verticale.
Avec ces données, retrouver la valeur du rayon de la Terre calculée par Eratosthène. Quelle est
l’erreur avec la valeur aujourd’hui mesurée, 6378km?
2. Tunnel : pour relier deux villes Cet Fdistantes de 80km, on veut percer un tunnel entre deux
points C′et F′situés 200m sous Cet F.
Deux options se présentent : ou bien percer en ligne droite, ou bien percer en restant en perma-
nence à une profondeur de 200m.
Comparer les distances à percer dans les deux cas; dans le premier cas, quelle sera la profondeur
maximale atteinte?
3. Tension électrique : u(t) = Acos(ωt+ϕ)représente la tension aux bornes d’une prise de courant
(ωest appelé pulsation, Aamplitude ou tension maximale).
(a) Montrer que uest périodique.
Calculer en fonction de ωsa période et sa fréquence (l’inverse de la période).
(b) La tension efficace correspondant à une tension variable de période Test donnée par
U2
ef f =1
TZT
0u2(t)dt.
Calculer Uef f en fonction de Aet ω.
(c) Sachant qu’en France la fréquence du courant est de 50Hz et la tension efficace de 220V,
déterminer Aet ω.
(d) On suppose de plus que ϕ=π/4. Représenter graphiquement U.
(e) Calculer du
dt et d2u
dt2. En déduire que uest une solution de l’équation différentielle
d2u
dt2+ω2u=0.
(f) Déterminer la primitive de Uqui s’annule en 0.

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CORRECTION DU TD 1 : fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses
TExercices théoriques :
1. Il suffit de connaître les valeurs de base sur [0; π
2]puis d’utiliser les propriétés de symétrie, à l’aide
d’un cercle trigonométrique. Vérifiez vos résultats une calculatrice...
2. aet bétant dans [0;π/2], sin aet cos bsont positifs.
Comme de plus (sin a)2=1−(cos a)2=1−1
16, sin a=√15 4. De même, cos b=√21 5.
Alors cos(a+b) = cos acos b−sin asin b=√3(√7−2√5)
20 , et de même, sin(a+b) = 2+3√35 20 .
3. (a) xest de la forme π
6+2kπ, ou bien de la forme −π 6+2kπ, pour k∈Z.x≃0.52.
(b) xest solution si et seulement si 2xvaut −π
6+2kπou 7π 6+2kπ, donc : x=−π 12 +kπou
x=7π
12 +kπ,k∈Z.x≃1.83.
(c) Un raisonnement géométrique permet d’éviter les calculs : l’angle xest solution si et seule-
ment si l’abscisse et l’ordonnée du point correspondant du cercle trigonométrique sont égales.
Donc x=π
4+2kπou x=5π 4+2kπ.x≃0.78.
(d) L’équation équivaut successivement à √3
2cos x−1 2sin x=1 2, cos π 6cos x−sin π 6sin x=cos π 3,
d’où finalement cos(x+π
6) = cos π 3.
Donc x+π
6=±π 3+2kπ,k∈Z, les solutions sont les π 6+2kπet −π 2+2kπ,k∈Z.x≃0.52.
(e) tan 3x=1
√3=tan π
6équivaut à : 3x=π 6+kπ, donc à x=π 18 +kπ 3,k∈Z.x≃0.17.
(f) 2sin2x+sin x−1=0. On résoud d’abord 2X2+X−1, on trouve X=−1 et X=1
2.
En remplaçant Xpar sin x, on obtient donc deux équations trigonométriques, dont les solutions
sont tous les −π
2+2kπ,π 6+2kπet 5π 6+2kπ,k∈Z.x≃0.52.
(g) On transforme d’abord l’équation en 4
√17 cos x+1 √17 sin x=3 √17.
Soit alors α=arccos 4
√17. Alors (sinα)2=1
17, et comme α∈[0;π], sinα=1
√17. L’équation
équivaut donc à cos αcos x+sin αsin x=3
√17, donc à cos(x−α) = cos(arccos 3 √17).
Ainsi, x−α=±arccos(3
√17)+2kπ; les solutions sont donc les arccos 4 √17 ±arccos 3 √17 +2kπ,
k∈Z.x≃1 (et pourtant, xest différent de 1!!!).
(h) On transforme l’équation en 5
√26 cos x+1 √26 sin x=6 √26. Mais on remarque alors que le
membre de gauche est de la forme cos(x−β)(cf.le cours, et l’équation précédente), alors
que le membre de droite est strictement supérieur à 1 : il n’y a pas de solution.
(i) 3
5cos x−4 5sin x=1, donc si γ=arccos 3 5, sinγ=4 5, et cos(x+γ) = 1. Ainsi, x+γ=2kπ, donc
les solutions sont les −arccos 3
5+2kπ.x≃5.36.
4. C’est plus simple que les équations avec les fonctions directes!
(a) La fonction arcsin prend ses valeurs dans [−π/2;π/2]: l’équation n’a donc pas de solution...
(b) arcsin est à valeurs dans [−π/2;π/2]et arccos dans [0;π], donc en fait la valeur commune est
dans [0;π/2]. Donc xest dans [0;1].
L’équation est alors équivalente à x=sinarccosx=√1−x2, d’où x=√2/2 (car x>0!).
(c) arcsin 2
5+π 2=arccos x, d’où x=cos(arcsin 2 5+π 2) = −sin(arcsin 2 5) = −2 5.
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PExercices pratiques :
1. Un petit croquis représente la situation :
O
S
A7◦
Les rayons du soleil étant parallèles entre eux (le soleil est à l’infini), l’angle SOA vaut aussi 7◦.
Un angle de 360◦correspond au périmètre du cercle, 2πR, et un angle de 7◦à la distance AS le
long du cercle. On a donc par proportionnalité la relation :
R×7×π
180 =800000.
Ainsi, R≃6548000, soit 6548km.
L’erreur relative vaut alors |6548−6378|/6378 =0.0267 soit seulement de 2.67% de la valeur
mesurée aujourd’hui!
2. Tunnel : Rdésignant le rayon de la terre, Oson centre, et dla distance terrestre entre Cet F,
l’angle COF est α=d
R(radians).
– distance en ligne droite entre C′et F′: appelons Mle milieu de [C′F′]. Alors OMC′est
rectangle en M, et l’angle en Ovaut α/2, d’où la relation C′F′=2C′M=2C′Osin(α/2) =
2(R−0.2)sin(α/2)≃79.99697km.
– La distance de C′àF′à une profondeur constante de 200m vaut : (R−0.2)d
R= (R−0.2)α≃
79.99749km.
La différence entre les distances est donc de (R−0.2)|α−2sin(α/2)| ≃ 0.52m.
La profondeur maximale atteinte dans le premier cas vaut R−(R−0.2)cos(α/2)≃325.4m.
3. Tension électrique :
(a) T=2π
ω,f=ω 2π.
(b) u2(t) = A2
2(1+cos(2ωt+2ϕ)) à l’aide de la formule 2cos2x=1+cos2x....
Mais intégrer un cosinus sur une période donne 0 (faites-le!), et on obtient donc : U2
ef f =A2
2,
donc Uef f =A
√2≃0.707 A. On remarque que Uef f ne dépend pas de ω!
(c) f=50 donc ω≃314. A=230√2≃325V.
(d)
(e) La dérivée de uest du
dt (t) = −Aωsin(ωt+ϕ), donc la dérivée seconde vaut d2u
dt2(t) = −Aω2cos(ωt+
ϕ) = −ω2u(t), d’où le résultat.
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