Fonctions trigonométriques

CHAPITRE 13
Fonctions trigonométriques
IRappel : repérage sur le cercle trigonométrique et enroulement des
réels
Le cercle Cde centre O et de rayon 1, orienté dans le sens direct, est appelé
cercle trigonométrique .
Soit Aun point de C. On construit la droite perpendiculaire à la droite (OA)
passant par le point A.
On munit cette droite d’un repère dans lequel Aa pour abscisse 0 et le point
Ia pour abscisse 1.
La droite (AI ) représente l’ensemble des réels.
A chaque point Pde la droite (AI ), d’abscisse x, on peut associer son image
Msur le cercle Cen «enroulant »la droite (AI ) sur le cercle C.
A chaque point Mdu cercle C, on peut associer un point Pd’abscisse x
de la droite (AI ) en «roulant »le cercle Csur la droite (AI ) mais on peut
en fait associer une infinité d’autres points de la droite (AI ) qui auront des
abscisses de la forme x+k×2πavec k∈Z
La demi-droite [AI ) , formée des points d’abscisse xpositive, s’enroule dans
le sens direct, alors que l’autre demi-droite, formée des points d’abscisse
négative, s’enroule dans le sens indirect.
La droite (AI ) est graduée avec des multiples de 2π. Ainsi, Pd’abscisse x,P′
d’abscisse x−2πet Q′d’abscisse x−4πont la même image sur le cercle C.
Dans le repère orthonormé (O;−−→ OA,−−→ OB), on dit que le point Ma pour abs-
cisse cos(x) et pour ordonnée sin(x).
II La fonction cosinus
1. Définitions
Définition 1 : La fonction cosinus est la fonction qui à tout réel xassocie cos(x).
Définition 2 : Soit fune fonction définie sur Df. On dit que la fonction fest paire lorsque
•Pour tout xde Df,−x∈Df
•Pour tout xde Df,f(−x)=f(x)
Dans un repère orthonormé, la courbe représentative d’une fonction paire est symétrique par rap-
port à l’axe des ordonnées.
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Propriété (admise) : Pour tout xréel, on a cos(−x)=cos(x), la fonction cos est une fonction paire.
Dans un repère orthonormé, sa courbe représentative est donc symétrique par rapport à l’axe des
ordonnées.
Exercice 1 :
Dire si les fonctions suivantes sont paires.
(a) f(x)=3cos(x)−x2(b) g(x)=cos(3x)+1
Définition 3 : Soit fune fonction définie sur Df. On dit que la fonction fest périodique de période
Tou T-périodique lorsque
•Pour tout xde Df,x+T∈Df
•Pour tout xde Df,f(x+T)=f(x)
Dans un repère orthonormé ¡O;−→ ı,−→ ¢si la fonction est périodique de période T, il suffit de l’étu-
dier sur un intervalle d’amplitude Tet de tracer sa courbe sur cet intervalle. On obtiendra toute sa
courbe représentative en faisant des translations de vecteurs k×T−→ iavec k∈Z.
Propriété (admise) : Pour tout xréel, on a cos(x+2π)=cos(x), la fonction cos est une fonction
périodique de période 2πou 2π-périodique.
Il suffit de l’étudier sur un intervalle d’amplitude 2π, de tracer sa courbe sur cet intervalle et de
faire des translations de vecteurs k×2π−→ iavec k∈Zpour obtenir sa courbe sur R.
Exercice 2 :
Montrer que les fonctions suivantes sont périodiques de période λ
(a) f(x)=cos(4x)−5 avec λ=π
2(b) g(x)=cos(3x)+1 avec λ=2π
3
2. Etude de la fonction cos
•Dérivée
Théorème : La fonction cos est dérivable sur Ret pour tout xréel, on a cos′(x)=.
•Tableau de variation
La fonction cos étant périodique de période 2π, il suffit de l’étudier sur un intervalle d’amplitude
2πpar exemple [−π;π]. De plus comme elle est paire on peut restreindre son domaine d’étude à
l’intervalle [0;π].
On trace d’abord sa courbe sur [0;π], puis par symétrie par rapport à l’axe des ordonnées (car la
fonction cos est paire), on l’obtient sur [−π;π]. Enfin on obtient sa courbe sur Ren faisant des
translations de vecteurs k×2π−→ iavec k∈Z(car cos est 2π-périodique).
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Sur [0;π], on a :
O
π
2
π
sin(x)≥0
O
A
x
signe de -sin(x)
cos(x)
•valeurs remarquables
x0π
6
π
4
π
3
π
2π
cos(x)
•Courbe représentative
•Complément sur les dérivées
Théorème : Soit aet bdeux réels.
La fonction f:x7−→cos(ax +b) est défnie et dérivable sur R.
Pour tout xréel, on a f′(x)=
Exercice 3 : Calculer les dérivées des fonctions suivantes définies et dérivables sur R.
(a) f(x)=cos(2x) (b) g(x)=cos(1 −3x)
3. Résolution d’équations, d’inéquations
Théorème : Soit aet bdeux réels, cos a=cosb⇐⇒ a=b+k×2π,k∈Zou a= −b+k′×2π,k′∈Z
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1
−1
1 2−1−2
O
π
2
π
M(a)
M′(b)
cos(x)≤cos(a)
cos(x)≥cos(a)
D
Exercice 4 : Résoudre les équations et inéquations suivantes dans l’intervalle demandé :
(a) cos(2x+3) =2 dans R.
(b) cos(x+2π
6)≥1 2dans [0;2π].
(c) 2cos(x−π
6)+p3<0 dans [0;2π].
2
4. Récapitulatif des formules à connaître
1
−1
1 2−1
O
π
2
π
M(x)
M1(−x)
M(π−x)
M(π+x)
cos(x+2π)=
cos(−x)=
cos(π−x)=
cos(π+x)=
III La fonction sinus
1. Définitions
Définition 1 : La fonction sinus est la fonction qui à tout réel xassocie sin(x).
Définition 2 : Soit fune fonction définie sur Df. On dit que la fonction fest impaire lorsque
•Pour tout xde Df,−x∈Df
•Pour tout xde Df,f(−x)= −f(x)
Dans un repère orthonormé, la courbe représentative d’une fonction impaire est symétrique par
rapport à l’origine du repère.
Propriété (admise) : Pour tout xréel, on a sin(−x)=−sin(x), la fonction sin est une fonction .
Dans un repère orthonormé, sa courbe représentative est donc symétrique par rapport à l’origine
du repère.
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Exercice 5 :
Etudier la parité des fonctions suivantes :
(a) f(x)=5xsin(x)−1
(b) g(x)=4sin(x)−3 cos(x)
(c) h(x)=sin(3x)+2x
Propriété (admise) : Pour tout xréel, on a sin(x+2π)=sin(x), la fonction sin est une fonction
périodique de période 2πou 2π-périodique.
Il suffit de l’étudier sur un intervalle d’amplitude 2π, de tracer sa courbe sur cet intervalle et de
faire des translations de vecteurs k×2π−→ iavec k∈Zpour obtenir sa courbe sur R.
2. Etude de la fonction sin
•Dérivée
Théorème : La fonction sin est dérivable sur Ret pour tout xréel, on a sin′(x)=
•Tableau de variation
La fonction sin étant périodique de période 2π, il suffit de l’étudier sur un intervalle d’amplitude
2πpar exemple [−π;π]. De plus comme elle est impaire on peut restreindre son domaine d’étude
à l’intervalle [0;π].
On trace d’abord sa courbe sur [0;π], puis par symétrie par rapport à l’origine du repère(car la fonc-
tion sin est impaire), on peut alors l’obtenir sur [−π;π]. Enfin on obtient la courbe sur Ren faisant
des translations de vecteurs k×2π−→ iavec k∈Z(car sin est 2π-périodique).
Sur [0;π], on a :
O
π
2
π
cos(x)≥0cos(x)≤0
x
signe decos(x)
sin(x)
•valeurs remarquables
x0π
6
π
4
π
3
π
2π
sin(x)
•Courbe représentative
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