CHAPITRE 13 Fonctions trigonométriques I Rappel : repérage sur le cercle trigonométrique et enroulement des réels Le cercle C de centre O et de rayon 1, orienté dans le sens direct, est appelé cercle trigonométrique . Soit A un point de C . On construit la droite perpendiculaire à la droite (O A) passant par le point A. On munit cette droite d’un repère dans lequel A a pour abscisse 0 et le point I a pour abscisse 1. La droite (AI ) représente l’ensemble des réels. A chaque point P de la droite (AI ), d’abscisse x, on peut associer son image M sur le cercle C en « enroulant »la droite (AI ) sur le cercle C . A chaque point M du cercle C , on peut associer un point P d’abscisse x de la droite (AI ) en « roulant »le cercle C sur la droite (AI ) mais on peut en fait associer une infinité d’autres points de la droite (AI ) qui auront des abscisses de la forme x + k × 2π avec k ∈ Z La demi-droite [AI ) , formée des points d’abscisse x positive, s’enroule dans le sens direct, alors que l’autre demi-droite, formée des points d’abscisse négative, s’enroule dans le sens indirect. La droite (AI ) est graduée avec des multiples de 2π . Ainsi, P d’abscisse x, P ′ d’abscisse x − 2π et Q ′ d’abscisse x − 4π ont la même image sur le cercle C . −−→ −−→ Dans le repère orthonormé (O; O A, OB ), on dit que le point M a pour abscisse cos(x) et pour ordonnée sin(x). II La fonction cosinus 1. Définitions Définition 1 : La fonction cosinus est la fonction qui à tout réel x associe cos(x). Définition 2 : Soit f une fonction définie sur D f . On dit que la fonction f est paire lorsque • Pour tout x de D f , −x ∈ D f • Pour tout x de D f , f (−x) = f (x) Dans un repère orthonormé, la courbe représentative d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. C. VEXIAU année 2013-2014 TS - Chapitre 13 - Fonctions trigonométriques - Page 1/ 7 Propriété (admise) : Pour tout x réel, on a cos(−x) = cos(x), la fonction cos est une fonction paire. Dans un repère orthonormé, sa courbe représentative est donc symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. Exercice 1 : Dire si les fonctions suivantes sont paires. (a) f (x) = 3 cos(x) − x 2 (b) g (x) = cos(3x) + 1 Définition 3 : Soit f une fonction définie sur D f . On dit que la fonction f est périodique de période T ou T -périodique lorsque • Pour tout x de D f , x + T ∈ D f • Pour tout x de D f , f (x + T ) = f (x) ¡ − → ¢ Dans un repère orthonormé O ; → ı , − si la fonction est périodique de période T , il suffit de l’étu- dier sur un intervalle d’amplitude T et de tracer sa courbe sur cet intervalle. On obtiendra toute sa → − courbe représentative en faisant des translations de vecteurs k × T i avec k ∈ Z. Propriété (admise) : Pour tout x réel, on a cos(x + 2π) = cos(x), la fonction cos est une fonction périodique de période 2π ou 2π-périodique. Il suffit de l’étudier sur un intervalle d’amplitude 2π, de tracer sa courbe sur cet intervalle et de → − faire des translations de vecteurs k × 2π i avec k ∈ Z pour obtenir sa courbe sur R. Exercice 2 : Montrer que les fonctions suivantes sont périodiques de période λ (a) f (x) = cos(4x) − 5 avec λ = π 2 (b) g (x) = cos(3x) + 1 avec λ = 2π 3 2. Etude de la fonction cos • Dérivée Théorème : La fonction cos est dérivable sur R et pour tout x réel, on a cos′ (x) =. • Tableau de variation La fonction cos étant périodique de période 2π, il suffit de l’étudier sur un intervalle d’amplitude 2π par exemple [−π; π]. De plus comme elle est paire on peut restreindre son domaine d’étude à l’intervalle [0; π]. On trace d’abord sa courbe sur [0; π], puis par symétrie par rapport à l’axe des ordonnées (car la fonction cos est paire), on l’obtient sur [−π; π]. Enfin on obtient sa courbe sur R en faisant des → − translations de vecteurs k × 2π i avec k ∈ Z (car cos est 2π-périodique). C. VEXIAU année 2013-2014 TS - Chapitre 13 - Fonctions trigonométriques - Page 2/ 7 Sur [0; π], on a : π 2 b πA b si n(x) ≥ 0 b b O x signe de -sin(x) O cos(x) • valeurs remarquables x 0 π 6 π 4 π 3 π 2 π cos(x) • Courbe représentative • Complément sur les dérivées Théorème : Soit a et b deux réels. La fonction f : x 7−→ cos(ax + b) est défnie et dérivable sur R. Pour tout x réel, on a f ′ (x) = Exercice 3 : Calculer les dérivées des fonctions suivantes définies et dérivables sur R. (a) f (x) = cos(2x) (b) g (x) = cos(1 − 3x) 3. Résolution d’équations, d’inéquations Théorème : Soit a et b deux réels, cos a = cos b ⇐⇒ a = b + k × 2π, k ∈ Z ou a = −b + k ′ × 2π, k ′ ∈ Z C. VEXIAU année 2013-2014 TS - Chapitre 13 - Fonctions trigonométriques - Page 3/ 7 π 2 cos(x) ≤ cos(a) 1 b M (a) b π b −2 b O b cos(x) ≥ cos(a) 1 −1 D b 2 M ′ (b) −1 Exercice 4 : Résoudre les équations et inéquations suivantes dans l’intervalle demandé : (a) cos(2x + 3) = 2 dans R. 2π 1 (b) cos(x + ) ≥ dans [0; 2π]. 6 2 (c) 2 cos(x − π p ) + 3 < 0 dans [0; 2π]. 6 2 4. Récapitulatif des formules à connaître π 2 1 b M ( π − x) b M (x) b π b O 1 −1 M (π + x) b b M 1 (−x) 2 cos(x + 2π) = cos(−x) = cos(π − x) = cos(π + x) = −1 III La fonction sinus 1. Définitions Définition 1 : La fonction sinus est la fonction qui à tout réel x associe sin(x). Définition 2 : Soit f une fonction définie sur D f . On dit que la fonction f est impaire lorsque • Pour tout x de D f , −x ∈ D f • Pour tout x de D f , f (−x) = − f (x) Dans un repère orthonormé, la courbe représentative d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine du repère. Propriété (admise) : Pour tout x réel, on a sin(−x) = − sin(x), la fonction sin est une fonction . Dans un repère orthonormé, sa courbe représentative est donc symétrique par rapport à l’origine du repère. C. VEXIAU année 2013-2014 TS - Chapitre 13 - Fonctions trigonométriques - Page 4/ 7 Exercice 5 : Etudier la parité des fonctions suivantes : (a) f (x) = 5x sin(x) − 1 (c) h(x) = sin(3x) + 2x (b) g (x) = 4 sin(x) − 3 cos(x) Propriété (admise) : Pour tout x réel, on a sin(x + 2π) = sin(x), la fonction sin est une fonction périodique de période 2π ou 2π-périodique. Il suffit de l’étudier sur un intervalle d’amplitude 2π, de tracer sa courbe sur cet intervalle et de → − faire des translations de vecteurs k × 2π i avec k ∈ Z pour obtenir sa courbe sur R. 2. Etude de la fonction sin • Dérivée Théorème : La fonction sin est dérivable sur R et pour tout x réel, on a sin′ (x) = • Tableau de variation La fonction sin étant périodique de période 2π, il suffit de l’étudier sur un intervalle d’amplitude 2π par exemple [−π; π]. De plus comme elle est impaire on peut restreindre son domaine d’étude à l’intervalle [0; π]. On trace d’abord sa courbe sur [0; π], puis par symétrie par rapport à l’origine du repère(car la fonction sin est impaire), on peut alors l’obtenir sur [−π; π]. Enfin on obtient la courbe sur R en faisant → − des translations de vecteurs k × 2π i avec k ∈ Z (car sin est 2π-périodique). Sur [0; π], on a : π 2 b cos(x) ≤ 0 π b cos(x) ≥ 0 b b O x signe de cos(x) sin(x) • valeurs remarquables x 0 π 6 π 4 π 3 π 2 π sin(x) • Courbe représentative C. VEXIAU année 2013-2014 TS - Chapitre 13 - Fonctions trigonométriques - Page 5/ 7 • Complément sur les dérivées Théorème : Soit a et b deux réels. La fonction f : x 7−→ sin(ax + b) est défnie et dérivable sur R. Pour tout x réel, on a f ′ (x) = Exercice 6 : Calculer les dérivées des fonctions suivantes définies et dérivables sur R. (a) f (x) = si n(2x) (b) g (x) = si n(1 − 4x) • limite sin(x) = x→0 x Théorème : lim Démonstration Exercice 7 : Calculer les limites suivantes : sin(2x) x→0 x • lim • lim x sin x→+∞ 1 x 3. Résolution d’équations, d’inéquations Théorème : Soit a et b deux réels, sin a = sin b ⇐⇒ a = b + 2kπ, k ∈ Z ou a = π − b + 2k ′ π, k ′ ∈ Z si n(x) ≥ si n(a) π 2 1 M ′ (b) π b b −2 M (a) b b O b 1 −1 b 2 si n(x) ≤ si n(a) −1 C. VEXIAU année 2013-2014 TS - Chapitre 13 - Fonctions trigonométriques - Page 6/ 7 Exercice 8 : Résoudre les équations et inéquations suivantes dans l’intervalle demandé : (a) sin(2x + 3) = −π dans R. p 2 dans [0; 2π]. (b) sin(x) ≥ − 2 (c) 2 sin(x − π p ) − 3 > 0 dans [0; 2π]. 4 4. Récapitulatif des formules à connaître 1 π 2 M ( π − x) b b π sin(−x) = O b 1 −1 M (π + x) sin(x + 2π) = M (x) b b b 2 M 1 (−x) sin(π + x) = −1 P′ ³π 2 +x b ´ π 2 1 b P b ³π 2 b π sin(π − x) = b −x M (x) O 1 −1 ´ 2 π cos( 2 − x) = si n( π2 − x) = . π cos( 2 + x) = − si n( π2 + x) = −1 C. VEXIAU année 2013-2014 TS - Chapitre 13 - Fonctions trigonométriques - Page 7/ 7