Fonctions trigonométriques

CHAPITRE 13
Fonctions trigonométriques
I
Rappel : repérage sur le cercle trigonométrique et enroulement des
réels
Le cercle C de centre O et de rayon 1, orienté dans le sens direct, est appelé
cercle trigonométrique .
Soit A un point de C . On construit la droite perpendiculaire à la droite (O A)
passant par le point A.
On munit cette droite d’un repère dans lequel A a pour abscisse 0 et le point
I a pour abscisse 1.
La droite (AI ) représente l’ensemble des réels.
A chaque point P de la droite (AI ), d’abscisse x, on peut associer son image
M sur le cercle C en « enroulant »la droite (AI ) sur le cercle C .
A chaque point M du cercle C , on peut associer un point P d’abscisse x
de la droite (AI ) en « roulant »le cercle C sur la droite (AI ) mais on peut
en fait associer une infinité d’autres points de la droite (AI ) qui auront des
abscisses de la forme x + k × 2π avec k ∈ Z
La demi-droite [AI ) , formée des points d’abscisse x positive, s’enroule dans
le sens direct, alors que l’autre demi-droite, formée des points d’abscisse
négative, s’enroule dans le sens indirect.
La droite (AI ) est graduée avec des multiples de 2π . Ainsi, P d’abscisse x, P ′
d’abscisse x − 2π et Q ′ d’abscisse x − 4π ont la même image sur le cercle C .
−−→ −−→
Dans le repère orthonormé (O; O A, OB ), on dit que le point M a pour abscisse cos(x) et pour ordonnée sin(x).
II
La fonction cosinus
1. Définitions
Définition 1 : La fonction cosinus est la fonction qui à tout réel x associe cos(x).
Définition 2 : Soit f une fonction définie sur D f . On dit que la fonction f est paire lorsque
• Pour tout x de D f , −x ∈ D f
• Pour tout x de D f , f (−x) = f (x)
Dans un repère orthonormé, la courbe représentative d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
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Propriété (admise) : Pour tout x réel, on a cos(−x) = cos(x), la fonction cos est une fonction paire.
Dans un repère orthonormé, sa courbe représentative est donc symétrique par rapport à l’axe des
ordonnées.
Exercice 1 :
Dire si les fonctions suivantes sont paires.
(a) f (x) = 3 cos(x) − x 2
(b) g (x) = cos(3x) + 1
Définition 3 : Soit f une fonction définie sur D f . On dit que la fonction f est périodique de période
T ou T -périodique lorsque
• Pour tout x de D f , x + T ∈ D f
• Pour tout x de D f , f (x + T ) = f (x)
¡ − →
¢
Dans un repère orthonormé O ; →
ı , − si la fonction est périodique de période T , il suffit de l’étu-
dier sur un intervalle d’amplitude T et de tracer sa courbe sur cet intervalle. On obtiendra toute sa
→
−
courbe représentative en faisant des translations de vecteurs k × T i avec k ∈ Z.
Propriété (admise) : Pour tout x réel, on a cos(x + 2π) = cos(x), la fonction cos est une fonction
périodique de période 2π ou 2π-périodique.
Il suffit de l’étudier sur un intervalle d’amplitude 2π, de tracer sa courbe sur cet intervalle et de
→
−
faire des translations de vecteurs k × 2π i avec k ∈ Z pour obtenir sa courbe sur R.
Exercice 2 :
Montrer que les fonctions suivantes sont périodiques de période λ
(a) f (x) = cos(4x) − 5 avec λ =
π
2
(b) g (x) = cos(3x) + 1 avec λ =
2π
3
2. Etude de la fonction cos
• Dérivée
Théorème : La fonction cos est dérivable sur R et pour tout x réel, on a cos′ (x) =.
• Tableau de variation
La fonction cos étant périodique de période 2π, il suffit de l’étudier sur un intervalle d’amplitude
2π par exemple [−π; π]. De plus comme elle est paire on peut restreindre son domaine d’étude à
l’intervalle [0; π].
On trace d’abord sa courbe sur [0; π], puis par symétrie par rapport à l’axe des ordonnées (car la
fonction cos est paire), on l’obtient sur [−π; π]. Enfin on obtient sa courbe sur R en faisant des
→
−
translations de vecteurs k × 2π i avec k ∈ Z (car cos est 2π-périodique).
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Sur [0; π], on a :
π
2
b
πA
b
si n(x) ≥ 0
b
b
O
x
signe de -sin(x)
O
cos(x)
• valeurs remarquables
x
0
π
6
π
4
π
3
π
2
π
cos(x)
• Courbe représentative
• Complément sur les dérivées
Théorème : Soit a et b deux réels.
La fonction f : x 7−→ cos(ax + b) est défnie et dérivable sur R.
Pour tout x réel, on a f ′ (x) =
Exercice 3 : Calculer les dérivées des fonctions suivantes définies et dérivables sur R.
(a) f (x) = cos(2x)
(b) g (x) = cos(1 − 3x)
3. Résolution d’équations, d’inéquations
Théorème : Soit a et b deux réels, cos a = cos b ⇐⇒ a = b + k × 2π, k ∈ Z ou a = −b + k ′ × 2π, k ′ ∈ Z
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π
2
cos(x) ≤ cos(a)
1
b
M (a)
b
π
b
−2
b
O
b
cos(x) ≥ cos(a)
1
−1
D
b
2
M ′ (b)
−1
Exercice 4 : Résoudre les équations et inéquations suivantes dans l’intervalle demandé :
(a) cos(2x + 3) = 2 dans R.
2π
1
(b) cos(x +
) ≥ dans [0; 2π].
6
2
(c) 2 cos(x −
π p
) + 3 < 0 dans [0; 2π].
6
2
4. Récapitulatif des formules à connaître
π
2
1
b
M ( π − x)
b
M (x)
b
π
b
O
1
−1
M (π + x)
b
b
M 1 (−x)
2
cos(x + 2π) =
cos(−x) =
cos(π − x) =
cos(π + x) =
−1
III
La fonction sinus
1. Définitions
Définition 1 : La fonction sinus est la fonction qui à tout réel x associe sin(x).
Définition 2 : Soit f une fonction définie sur D f . On dit que la fonction f est impaire lorsque
• Pour tout x de D f , −x ∈ D f
• Pour tout x de D f , f (−x) = − f (x)
Dans un repère orthonormé, la courbe représentative d’une fonction impaire est symétrique par
rapport à l’origine du repère.
Propriété (admise) : Pour tout x réel, on a sin(−x) = − sin(x), la fonction sin est une fonction .
Dans un repère orthonormé, sa courbe représentative est donc symétrique par rapport à l’origine
du repère.
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Exercice 5 :
Etudier la parité des fonctions suivantes :
(a) f (x) = 5x sin(x) − 1
(c) h(x) = sin(3x) + 2x
(b) g (x) = 4 sin(x) − 3 cos(x)
Propriété (admise) : Pour tout x réel, on a sin(x + 2π) = sin(x), la fonction sin est une fonction
périodique de période 2π ou 2π-périodique.
Il suffit de l’étudier sur un intervalle d’amplitude 2π, de tracer sa courbe sur cet intervalle et de
→
−
faire des translations de vecteurs k × 2π i avec k ∈ Z pour obtenir sa courbe sur R.
2. Etude de la fonction sin
• Dérivée
Théorème : La fonction sin est dérivable sur R et pour tout x réel, on a sin′ (x) =
• Tableau de variation
La fonction sin étant périodique de période 2π, il suffit de l’étudier sur un intervalle d’amplitude
2π par exemple [−π; π]. De plus comme elle est impaire on peut restreindre son domaine d’étude
à l’intervalle [0; π].
On trace d’abord sa courbe sur [0; π], puis par symétrie par rapport à l’origine du repère(car la fonction sin est impaire), on peut alors l’obtenir sur [−π; π]. Enfin on obtient la courbe sur R en faisant
→
−
des translations de vecteurs k × 2π i avec k ∈ Z (car sin est 2π-périodique).
Sur [0; π], on a :
π
2
b
cos(x) ≤ 0
π
b
cos(x) ≥ 0
b
b
O
x
signe de cos(x)
sin(x)
• valeurs remarquables
x
0
π
6
π
4
π
3
π
2
π
sin(x)
• Courbe représentative
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• Complément sur les dérivées
Théorème : Soit a et b deux réels.
La fonction f : x 7−→ sin(ax + b) est défnie et dérivable sur R.
Pour tout x réel, on a f ′ (x) =
Exercice 6 : Calculer les dérivées des fonctions suivantes définies et dérivables sur R.
(a) f (x) = si n(2x)
(b) g (x) = si n(1 − 4x)
• limite
sin(x)
=
x→0
x
Théorème : lim
Démonstration
Exercice 7 : Calculer les limites suivantes :
sin(2x)
x→0
x
• lim
•
lim x sin
x→+∞
1
x
3. Résolution d’équations, d’inéquations
Théorème : Soit a et b deux réels, sin a = sin b ⇐⇒ a = b + 2kπ, k ∈ Z ou a = π − b + 2k ′ π, k ′ ∈ Z
si n(x) ≥ si n(a)
π
2
1
M ′ (b)
π
b
b
−2
M (a)
b
b
O
b
1
−1
b
2
si n(x) ≤ si n(a)
−1
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Exercice 8 : Résoudre les équations et inéquations suivantes dans l’intervalle demandé :
(a) sin(2x + 3) = −π dans R.
p
2
dans [0; 2π].
(b) sin(x) ≥ −
2
(c) 2 sin(x −
π p
) − 3 > 0 dans [0; 2π].
4
4. Récapitulatif des formules à connaître
1
π
2
M ( π − x)
b
b
π
sin(−x) =
O
b
1
−1
M (π + x)
sin(x + 2π) =
M (x)
b
b
b
2
M 1 (−x)
sin(π + x) =
−1
P′
³π
2
+x
b
´
π
2
1
b
P
b
³π
2
b
π
sin(π − x) =
b
−x
M (x)
O
1
−1
´
2

π
 cos( 2 − x) =

si n( π2 − x) =
.

π
 cos( 2 + x) = −

si n( π2 + x) =
−1
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