Exercice 100. Dans un lot de 20 yaourts, il y en a 3 qui ont dépassé

Exercice 100. Dans un lot de 20 yaourts, il y en a 3 qui ont dépassé la date
de péremption. On extrait au hasard et simultanément 4 yaourts. Quelle est
la probabilité qu'un seul de ces yaourts ait dépassé la date de péremption ?
Exercice 101. Une urne contient 18 boules dont 13 rouges et 5 bleues. On
tire au hasard et simultanément 6 boules de l'urne. Calculer la probabilité
d'obtenir exactement 4 boules bleues.
Exercice 102. Dans une loterie, un joueur achète 5 numéros différents. Un
juge tire au hasard et simultanément 5 boules dans une urne en contenant
50 numérotées de 1 a 50. Les numéros des boules tirées deviennent alors les
gagnants. Quelle est la probabilité que le joueur ait exactement un numero
gagnant ?
/(Exercice 103. Le mot de passe d'une carte bancaire est une suite ordonnée
de 4 chiffres pris au hasard dans l'ensemble { O , . . . , 9}. Calculer la probabilité
qu'un mot de passe choisi au hasard :
1. soit forme de chiffres distincts,
2, soit forme d'une suite strictement croissante.
Exercice 104. Un étang contient 10 poissons : 7 gardons et 3 koi's. L'eau est
suffisamment trouble pour qu'on ne puìsse voir l'espèce d'un poisson avant
de l'avoir sorti de l'eau. On extrait au hasard, successivement et avec remise,
2 poissons. Calculer la probabilité d'obtenir 2 poissons d'espèces différentes.
Exercice 105. On dispose d'un de cubique honnète. Quelle est la probabilité
que le de afriche au moins une fois le numero 6 en 4 lancers ?
Exercice 106. On dispose de 2 dés cubiques honnètes. On répète n fois
le lancer de ces 2 dés et on s'interesse a chaque lancer aux deux numéros
affichés. Calculer la probabilité d'obtenir au moins une fois le numero 6.
Quelle valeur donner a n pour que cette probabilité soit au moins 0,5 ?
Solution 100. On choisit l'univers Sì = {combinaisons de 4 yaourts parmi 20}. Donc
Card(n) =
On cherche a calculer la probabilité que l'événement A = "un seul des 4 yaourts choisis a
dépassé la date de peremption" se réalise. Gomme fi est finì et qu'il y a équiprobabilite,
on considère l'espace probabilisé (Q,P(f2),P), où P désigne la probabilité uniforme. Donc
II reste a déterminer Card(.4). Gomme le tirage est simultané, il y a (j) possibilités pour le
yaourt ayant dépassé la date de peremption et (^ possibilités pour les yaourts consommables. Donc
On en déduit que
P(A)
- SKil - 3 X W f e v _ 3 x ( 1 7 x 8 x 5 ) - 1 ~ o 421
" "
~ 5 x 1 9 x 3 x 1 7 -19- 0 ' 4 ' 1 '
1 }~
Solution 101. On choisit l'univers fi = {combinaisons de 6 boules parmi 18}. Donc
Card(Q) =
On cherche a calculer la probabilité que l'événement B ="on obtient exactement 4 boules
bleus" se réalise. Gomme fi est fini et qu'il y a équiprobabilite, on considère l'espace
probabilisé (f^T^fl),!1), où P est la probabilité uniforme. Donc
II reste a calculer Card(B). Il y a (') possibilités pour les boules bleues et (j 3 ) possibilités
pour les boules rouges. Donc
On en déduit que
"" ijr _
5 x (13x6)
Solutìon 102. On choisit l'univers O = {combinaisona de 5 numéros parmi 50}. Donc
Card(fi) =
On cherche a calculer la probabilité que l'événement A = "un seul des 5 numéros est
gagnant" se réalise. Gomme Sì est fini et qu'il y a équiprobabilite, on considère l'espace
probabilisé (fZ,"?^),?), où P désigne la probabilité uniforme. Donc
II reste a déterminer Card(/4). Gomme le tirage est sans ordre et sans répétition, il y a
(j) possibilités pour le numero gagnant et (445) possibilités pour les 4 numéros perdants.
Donc
Card(^l) = P
On en déduit que
iiK±l - 5 x 4i(44sB-4)i _ 5 x 15 x 11 x 43 x 21
(so) ~ gy^i
~ 10 x 49 x 4 x 47 x 23 ~ '
3.3 Solutions
71
Solution 103. Analyse de l'énoncé. On choisit l'univers fi = {O, . . . ,9}4. Donc
Card(n) = IO4.
Gomme Q est fini et qu'il y a équiprobabilité, on considère l'espace probabilisé (fi, P(£l), P),
où IP désìgne la probabilité uniforme. Pour tout événement A, on a
Card(Q) '
1. On cherche a calculer la probabilité que l'événement B = "les chifFres du mot de
passe sont distincts" se réalise. On cherche a calculer P(B). On a B = {arrangements
de 4 chiffres parmi 10}, donc
Card(5) = AW = 10 x 9 x 8 x 7.
Par conséquent,
w=
10X9X8X7
=0j6M<
2. On cherche a calculer la probabilité que l'événement C = "les chiffres du mot de
passe forme une suite croissante" se réalise. On cherche a calculer P((7). Comine il
y a autant de suites croissantes de 4 chiffres parmi 10 que de combinaisons de 4
chiffres parmi 10, on a
Card(<?) =
Donc
WC) = = _4'(10~4)!
*• J io4
io4
=
lu.x a x 7 _ n noi
io4
'
Solution 104. On choisit l'univers lì = {10 poissons de l'étang}2. Donc
Card(O) - IO 2 .
On cherche a calculer la probabilité que l'événement A = "on obtient 1 gardon et 1 ko'f
se réalise. Gomme Jì est fini et qu'il y a équiprobabilité, on considère l'espace probabilisé
(O,P(n),P), où P désigne la probabilité uniforme. Par conséquent,
II reste a détermiiier Card(A). Il y a 7 possibilités pour le gardon et 3 possibilités pour le
koi. Par conséquent, Card(/4) = 7 x 3 . D'où
Solution 105. On choisit l'univers fi — {1,... ,6}4. Donc
Card(Q) = 64.
On cherche a calculer la probabilité que l'événement A = "on obtient au moins une fois
le numero 6" se réalise. Gomme la définition de A fait apparattre "au moins une", il est
arrangeant de considerar son contraire : A = "on n'obtient jamais le numero 6" Gomme
O est fini et qu'il y a équiprobabilité, on considère l'espace probabilisé (fi, P(fì),P), où P
désigne la probabilité uniforme. Par conséquent, on a P(A) = 1 — P(v4), avec
Il reste a déterminer Card(A). Ne jamais obtenir le numero 6 en quatre lancerà signifie
que l'ou a obtenu un numero parmi les 5 autres pour le premier lancer, soit 5 possibilités,
un numero parmi les 5 numéros différents du 6 pour le deuxième lancer, soit 5 possibilités,
et ainsi de suite jusqu'au quatrième lancer. Donc A = {1, 2, 3,4,5}4, et
Card(Z) = 54.
On en déduit que V(A) = f*, et
Solution 106. On choisit l'univers H = {1, . . . ,6}2n. Donc
Card(ft) = 6 2n .
On cherche a calculer la probabilité que l'événement A = "on obtient au moina une fois
le numero 6" se réalise. Gomme la définition de A fait apparaìtre "au moins une", il est
arrangeant de considérer son contraire : A = 'on n'obtient jamais le numero fi". Gomme
fi est fini et qu'il y a équiprobabilité, on considera l'espace probabilisé (ìl,P(Cl),P), où P
désigne la probabilité uniforme. Par conséquent, on a W(A) = i — f ( A ) , avec
II reste a déterminer Card(.A). Ne jamais obtenir le numero 6 en n lancers signifie que, pour
chacun des 2 dés, on a obtenu un numero parmi les 5 autres pour le premier lancer, soit
52 possibilités, un numero parmi les cinq numero différents du 6 pour le deuxième lancer,
soit 52 possibilités, et ainsi de suite jusqu'au n-ènrie lancer. Donc A — {l,2,3,4,5} 2n , et
On en déduit que P(A) = |^, et
Pour que cette probabilité soit supérieure ou égale a O, 5, il faut que
>
In 2
"- 2(ln6-ln5) " '
D'où la valeur minimale n — 2.