Correction - Colegio Francia

Correction
Exercice I
A et B désigne deux événements d’un espace probabilisé tels que :
( ) 0,2 ; ( / ) 0,6 et ( / ) 0,5p B p A B p A B  
Calculer
( ) ; ( ) ; ( ) ; ( / ) ;p A B p A B p A B p A B
()
( / ) 0,6
()
( ) 0,6 ( ) 0,6 0,2 0,12
p A B
p A B pB
p A B p B
()
( / ) ()
( ) 0,5 ( ) 0,5 0,8 0,4
p A B
p A B pB
p A B p B
On sait que
( ) ( ) ( )p A B p A B p B
donc
( ) ( ) ( ) 0,2 0,12 0,08p A B p B p A B    
par suite :
( ) 0,08
( / ) 0,4
( ) 0,2
p A B
p A B pB
Exercice II
Partie I
2
15
10Card C  
1°)
2
2
11
()
10 10
C
p NN 
;
2
3
13
()
10 10
C
p BB 
2°)
11
32
13 2 6
() 10 10 10
CC
pB 
Avoir une blanche c’est obligatoirement avoir une noire. Et il y a deux
noires…
3°) Nous sommes dans un schéma de Bernouilli dans lequel les événements sont indépendants.
 Succès : S : « Tirer deux boules blanches d’un coup »
13
( ) ( ) 10 p S p BB
 Il y a n = 10 épreuves.
 On veut calculer k = 0 succès pour prendre son complémentaire.
Soit Y la variable aléatoire donnant le nombre de succès.
0 10
0
10 37
( 0) 0,0282
10 10
p Y C    
( 1) 1 ( 0) 0,9718p Y p Y    

4°) Les trois cas possibles sont :
BB : on perd 5+5 =10 € plus les 2 € de mise de départ soit une perte de 12 €.
BN : on gagne 10 – 5 = 5 € moins les 2 € de mise soit un gain de 3 €.
NN : on gagne 10 + 10 = 20 € moins les 2 € de mise soit un gain de 18 €.
I = { – 12 ; + 3 ; + 18 }
Loi de probabilité :
X = xk
X = – 12
X = + 3
X = + 18
pk = p(X=k)
3
10
6
10
1
10
3
11
i
ip
pkxk
36
10
18
10
18
10
3
1
36 18 18 0
10 10 10
ii
ipx
E(X) = O donc le jeu est équitable. Allez vous y jouer ?
Partie II
1°)
22
2 5 5 100card C C   
Tirer exactement deux boules blanches, revient à :
OU
OU
- Tirer les deux B dans U1.
- Tirer une B dans U1 et une B dans U2.
- Tirer les deux B dans U2.
1 2 1 2 1 2
2 2 1 1 1 1 2 2
2 2 3 2 2 3 3 3
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
10 10 10 10 10 10
1 36 9
100 100 100
46
100
p BB p BB p NN p BN p BN p NN p BB
C C C C C C C C
2°) Cette probabilité n’est pas celle d’obtenir une blanche dans U2 puisqu’on a obtenu une blanche dans U1.
C’est à dire
26
()
10
p BN 
.
En fait, il faut calculer :
1
1()
( / ) ()
p B U BB
p B U BB p BB
c’est à dire le rapport entre la probabilité d’avoir obtenu 2 blanches dont
une et une seule dans U1 et la probabilité d’avoir obtenu 2 blanches.
12
1( ) ( ) 0,36
( / ) 0,7826
( ) 0,46
p BN p BN
p B U BB p BB
Exercice III
Soit X une variable aléatoire définie par : pour tout k  {1 ; 2 ; 3 ; … ; 100} P(X = k) = ln (ak).
Donner la valeur de a à 10-4 près.

100 100
11
100
1
100
1
( ) 1 ln 1
ln 1
ln 1
k
kk
k
k
p X k a
ka
ak
1
5050
100 101
ln 1
2
1
ln 5050
1,0002
a
a
ae