Correction Exercice I A et B désigne deux événements d’un espace probabilisé tels que : p( B) 0,2 ; p( A / B) 0,6 et p( A / B ) 0,5 Calculer p( A B) ; p( A B ) ; p( A B) ; p( A / B) ; p( A B ) 0,6 p( B ) B ) 0,6 p( B ) 0,6 0, 2 0,12 p( A / B ) p( A p( A / B ) p( A B ) p( B ) p( A B ) 0,5 p( B ) 0,5 0,8 0, 4 B) p( A B) p( B) donc p( A p( A B ) 0,08 0, 4 par suite : p( A / B ) p( B ) 0, 2 On sait que p( A B) p( B) p( A B) 0,2 0,12 0,08 Exercice II Partie I Card 1 C52 10 C22 1 C2 3 ; p1 ( BB) 3 10 10 10 10 1 1 C C2 3 2 6 2°) p1 ( B ) 3 Avoir une blanche c’est obligatoirement avoir une noire. Et il y a deux 10 10 10 noires… 3°) Nous sommes dans un schéma de Bernouilli dans lequel les événements sont indépendants. Succès : S : « Tirer deux boules blanches d’un coup » 3 p( S ) p1 ( BB ) 10 Il y a n = 10 épreuves. On veut calculer k = 0 succès pour prendre son complémentaire. Soit Y la variable aléatoire donnant le nombre de succès. 0 10 7 0 3 p(Y 0) C10 0,0282 10 10 p(Y 1) 1 p(Y 0) 0,9718 1°) p1 ( NN ) 4°) Les trois cas possibles sont : BB : on perd 5+5 =10 € plus les 2 € de mise de départ soit une perte de 12 €. BN : on gagne 10 – 5 = 5 € moins les 2 € de mise soit un gain de 3 €. NN : on gagne 10 + 10 = 20 € moins les 2 € de mise soit un gain de 18 €. I = { – 12 ; + 3 ; + 18 } Loi de probabilité : X = xk X = – 12 pk = p(X=k) 3 10 pkxk 36 10 X=+3 6 10 18 10 X = + 18 1 10 18 10 3 p i 1 i 1 3 px i 1 i i 36 18 18 0 10 10 10 E(X) = O donc le jeu est équitable. Allez vous y jouer ? Partie II 1°) card 2 C52 C52 100 Tirer exactement deux boules blanches, revient à : - Tirer les deux B dans U1. OU - Tirer une B dans U1 et une B dans U2. OU - Tirer les deux B dans U2. p( BB ) p1 ( BB ) p2 ( NN ) p1 ( BN ) p2 ( BN ) p1 ( NN ) p2 ( BB ) C22 C22 C31 C21 C21 C31 C32 C32 10 10 10 10 10 10 1 36 9 100 100 100 46 100 2°) Cette probabilité n’est pas celle d’obtenir une blanche dans U2 puisqu’on a obtenu une blanche dans U1. 6 C’est à dire p2 ( BN ) . 10 En fait, il faut calculer : p( B U1 BB ) p( B U1 / BB) c’est à dire le rapport entre la probabilité d’avoir obtenu 2 blanches dont p( BB ) une et une seule dans U1 et la probabilité d’avoir obtenu 2 blanches. p( B U1 / BB ) p1 ( BN ) p2 ( BN ) 0,36 0,7826 p( BB) 0, 46 Exercice III Soit X une variable aléatoire définie par : pour tout k {1 ; 2 ; 3 ; … ; 100} P(X = k) = ln (ak). Donner la valeur de a à 10-4 près. 100 100 p( X k ) 1 ln a k 1 k 1 k 1 100 k ln a 1 k 1 100 ln a k 1 k 1 100 101 1 2 1 ln a 5050 ln a ae 1 5050 1,0002