Densité de probabilité

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Densité de probabilité
Pour que f soit une densité de probabilité sur [ a ; b ] , f doit vérifier
les propriétés suivantes :
f continue et positive sur [ a ; b ]
Méthode
! f ( x ) dx = 1
b
a
! x$
soit f : x ! # &
" 5%
exemple 1 :
4
pour tout x ![ 0 ; 5]
Montrer que f est une densité de probabilité sur I = [ 0 ; 5]
Correction :
 f est une fonction polynôme donc f est continue sur I = [ 0 ; 5]
4
! x$
 Pour tout x ![ 0 ; 5] : # & ' 0 , f positive sur I = [ 0 ; 5]
" 5%

4
5 1
! x$
4
'0 #" 5 &% dx = '0 54 x dx
5
5
" 1 x5%
55
= $ 4 ! ' = 5 =1
# 5 5 &0 5
f est continue et positive sur I = [ 0 ; 5] avec
f
! f ( x ) dx = 1
est donc une densité de probabilité sur I = [ 0 ; 5]
exemple 2 :
5
0
Déterminer le réel a pour que la fonction f , définie par f ( x ) =
densité de probabilité sur [1 ; a ] .
Correction :
On a
! f ( x ) dx !!=!1
a
1
1
dx !=!1
1 x
[ ln x ]1a = 1
ln a ! ln1 = 1
a=e
qui équivaut à :
!
a
!
f est donc une densité de probabilité sur [1 ; e ]
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1
, soit une
x
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