Densité de probabilité

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Densité de probabilité
Méthode
exemple 1 : soit
f:x!x
5
!
"
#$
%
&
4
pour tout
x!0 ; 5
[ ]
Montrer que f est une densité de probabilité sur
I=0 ; 5
[ ]
Correction :
 f est une fonction polynôme donc f est continue sur
I=0 ; 5
[ ]
 Pour tout
x!0 ; 5
[ ]
:
x
5
!
"
#$
%
&
4
'0
, f positive sur
I=0 ; 5
[ ]
x
5
!
"
#$
%
&
4
dx
0
5
'=1
54x4dx
0
5
'
=1
54!x 5
5
"
#
$%
&
'
0
5
=55
55=1
f est continue et positive sur
I=0 ; 5
[ ]
avec
f x
( )
dx
0
5
!=1
f est donc une densité de probabilité sur
I=0 ; 5
[ ]
exemple 2 : Déterminer le réel a pour que la fonction f , définie par
f x
( )
=1
x
, soit une
densité de probabilité sur
1 ; a
[ ]
.
Correction :
On a
f x
( )
dx
1
a
!!!=!1
qui équivaut à :
!1
x
dx
1
a
!!=!1
ln x
[ ]
1
a=1
ln a!ln1 =1
a=e
f est donc une densité de probabilité sur
1 ; e
[ ]
Pour que f soit une densité de probabilité sur
a;b
[ ]
, f doit vérifier
les propriétés suivantes :
f continue et positive sur
a;b
[ ]
f x
( )
dx
a
b
!=1