6 Trigonométrie

6 Trigonométrie
6.1 Cercle trigonométrique
6.1.1 Enroulement de la droite numérique autour du cercle
Définition : Le cercle trigonométrique est le cercle de centre O
et de rayon 1, muni d’un sens de parcours appelé sens direct et
correspondant au sens inverse des aiguilles de la montre (sens antihoraire).
On note C le cercle trigonométrique de centre O et (O ; I,J) un repère
‘ soit un angle droit
orthonormé direct (c’est-à-dire tel que l’angle IOJ
et tel qu’une rotation d’un quart de tour autour de O amène le point
I sur le point J : sens direct).
Si K est le point de coordonnées (1 ; 1), on munit la droite (IK)
du repère (I ; K) et on enroule la droite (IK) autour du cercle C ;
ainsi à tout point d’abscisse x sur la droite (IK) correspond un point
M sur le cercle C : M est appelé le point image du nombre réel
x.
J
x
M
K
C
O
1 rad
I
Propriété : • Si x et x′ sont deux nombres tels que x′ − x = 2kπ, où k est un nombre entier relatif,
alors x et x′ ont le même point image.
• Si M est le point image du nombre réel x, alors M est aussi le point image de tous les nombres
réels de la forme x′ = x + 2kπ, où k ∈ Z.
Preuve : Le périmètre du cercle trigonométrique est égal à 2π, donc ajouter, ou retrancher, 2π à un nombre est équivalent
à faire un tour dans le sens direct, ou dans le sens horaire, suivant le signe de k. 6.1.2 Le radian
Définition : Sur le cercle trigonométrique C, le radian est la mesure d’un angle au centre qui intercepte
sur le cercle C un arc de longueur égale au rayon (c’est-à-dire 1).
Le symbole du radian est rad.
Conversion d’unité : 180° = π rad.
’ = x rad.
Exemple : Sur le cercle trigonométrique ci-dessus M est le point image du réel x, alors IOM
π
‘ = rad, c’est-à-dire un angle droit.
IOJ
2
‘′ = π rad, c’est-à-dire un angle plat.
Si I ′ est le symétrique de I par rapport à O, alors IOI
π
π
• 45° = 45 ×
= rad.
180
4
π
π
= rad.
• 30° = 30 ×
180
6
π
π
• 60° = 60 ×
= rad.
180°
3
6.1.3 Sinus et Cosinus d’un nombre réel
Définition : Soit x un nombre réel et M le point image de x sur le cercle trigonométrique.
Le cosinus de x, noté cos x, est l’abscisse de M ; le sinus de x, noté sin x, est l’ordonnée de M , donc
le point a pour coordonnées : M (cos x ; sin x).
26
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prog 2010
π
π
π
a pour image le point J(0 ; 1), donc cos = 0 et sin = 1.
2
2
2
• I ′ (−1 ; 0), symétrique de I par rapport à O, permet d’écrire cos πÅ= −1
ã et sin π =Å0. ã
3π
3π
• J ′ (0 ; −1), symétrique de J par rapport à O, permet d’écrire cos
= 0 et sin
= −1.
2
2
Exemple : • Le nombre réel
Propriétés : Pour tout nombre réel x et tout nombre entier relatif k :
• −1 6 cos x 6 1,
−1 6 sin x 6 1
• cos(x + 2kπ) = cos x
et
cos2 x + sin2 x = 1
et
sin(x + 2kπ) = sin x
Angles remarquables :
x
0
cos x
1
sin x
0
π
6
√
3
2
1
2
π
4
√
2
2
√
2
2
π
3
1
2
√
3
2
π
2
π
0
−1
1
0
6.2 Angles orientés
Définition : Soient M et N les images respectives des réels x et x′ sur le
cercle trigonométrique de centre O.
On appelle angle orienté, l’angle de mesures x′ − x + 2kπ, où k est un
nombre entier relatif.
On note cet angle :
Ä−−→ −−→ä
OM ; ON = x′ − x + 2kπ, où k ∈ Z
N
J
M
x′
x
O
I
Ä−−→ −−→ä
ou encore OM ; ON = x′ − x.
Propriété : O étant le centre du cercle trigonométrique C,
−
→
→
u et −
v étant deux vecteurs non nuls tels que :
−→ → −−→
−
→
u = OA et −
v = OB
soit M l’intersection de la demi-droite [OA) avec le cercle C et N l’intersection de [OB) avec C, alors :
Ä−−→ −−→ä
→
→
(−
u ;−
v ) = OM ; ON
N
J
A
B
M
O
I
→
→
Définition : On appelle mesure principale de l’angle orienté (−
u ;−
v ) la mesure en radian appartenant
à l’intervalle ] − π ; π].
Propriété : La mesure principale d’un angle est unique.
Preuve : Pour tout réel x, il n’existe qu’une seule valeur entière k telle que −π < x + 2kπ 6 π. Propriété des angles orientés :
→
→
→
→
•−
u et −
v sont colinéaires et de même sens si, et seulement si, (−
u ;−
v ) = 0;
−
→
−
→
−
→
→
• u et v sont colinéaires et de sens contraire si, et seulement si, ( u ; −
v ) = π.
math4bac
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→
→
→
Relation de Chasles : Pour tous vecteurs −
u, −
v et −
w non nuls :
→
→
→
→
→
−
(−
u ;−
v ) + (−
v ;−
w ) = (−
u ;→
w)
−
−
→ −→
π
Exemple : ABC est un triangle équilatéral tel que (AB ; AC) = , H est le milieu
3
de
[BC]. ä Ä
Ä
ä
Ä−
ä
−−→ −−→
−
→ −−→
−−→ −→
π
π
AB ; AH = AH ; AC = et AH ; BC = ;
6
2
Ä−
Ä−−→ −→ä 2π
−
→ −−→ä
π
BA ; BC = − et CB ; AC =
.
3
3
A
B
C
H
6.3 Angles associés
Propriétés : Pour tout nombre réel x :
(1) cos(−x) = cos x
et
(2) cos(π − x) = − cos x
sin(−x) = − sin x
et
sin(π − x) = sin x
(3) cos(x + π) = − cos x et
sin(x + π) = − sin x
π
π
− x = sin x et sin
− x = cos x
(4) cos
2
2
π
π
(5) cos x +
= − sin x et
sin x +
= cos x
2
2
J
(1)
x
O
J
(2)
−x
O
O
I
J
(5)
x
−x
O
x
I
J
(4)
π
x
−x
I
J
(3)
x
I
O
x
I
6.4 Équations trigonométriques
Théorème : L’équation trigonométrique cos x = cos a a pour solutions :
x = a + 2kπ
et
x = −a + 2kπ
où k ∈ Z.
Preuve : cos(−a) = cos a et cos(a + 2kπ) = cos a, où k ∈ Z. math4bac
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π
a pour solutions :
3
Exemples : • L’équation cos x = cos
x=
prog 2010
π
+ 2kπ
3
et
x=−
π
+ 2kπ, où k ∈ Z
3
• L’équation cos 2x = 1 a pour solutions 2x = 0 + 2kπ, où k ∈ Z ; en effet on remarque que cos 0 = 1 ;
alors les solutions sont x = kπ, où k ∈ Z.
Théorème : L’équation trigonométrique sin x = sin a a pour solutions :
x = a + 2kπ
et
x = π − a + 2kπ
où k ∈ Z.
Preuve : sin(π − a) = sin a et sin(a + 2kπ) = sin a, où k ∈ Z. Exemples : • L’équation sin x = sin
x=
π
a pour solutions :
4
π
+ 2kπ
4
et
x=π−
π
3π
+ 2kπ =
+ 2kπ, où k ∈ Z
4
4
π
π
• L’équation sin 3x = 1 a pour solutions 3x = +2kπ = π − +2kπ,
2
2
π
où k ∈ Z ; en effet on remarque que sin = 1 ;
2
2π
π
alors les solutions sont x = + k , où k ∈ Z.
6
3
Les mesures principales de ces solutions sont représentées sur le cercle
trigonométrique ci-contre :
π
− ;
2
π
6
et
J
π
6
5π
6
O
I
5π
6
ces mesures correspondent respectivement à k = −1, k = 0 et k = 1.
−
π
2
Cas particulier : équation du type
πsin x= cos a (ou cos x = sin a).
En utilisant l’égalité cos a = sin
− a on peut transformer l’équation en
2
π
sin x = sin
− a , de solutions :
2
π
π
π
x = − a + 2kπ et x = π −
− a + 2kπ = + a + 2kπ, où k ∈ Z
2
2
2
π
− a on transforme l’équation en
De même pour cos x = sin a, en utilisant l’égalité sin a = cos
2
π
cos x = cos
− a , de solutions :
2
π
π
π
x = − a + 2kπ et x = −
− a + 2kπ = a − + 2kπ, où k ∈ Z
2
2
2
6.5 Formule d’addition
Théorème : Pour tous réels a et b :
cos(a + b) =
sin(a + b) =
math4bac
cos a cos b − sin a sin b
sin a cos b + cos a sin b
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prog 2010
−
→ −−→
Preuve : Soit M le point du cercle C tel que (OI ; OM) = a ;
π
−−→ −−→
−−→ −
−
→
N sur C tel que (OM ; ON ) = b et P sur C tel que (OM ; OP ) = .
2
−−→
Alors (O ; M,P ) est un repère orthonormé direct dans lequel on peut écrire ON =
−−→
−
−
→
cos b OM + sin b OP .
−−→
−
→
−→
Or dans (O ; I,J) on a : OM = cos a OI + sin a OJ
−
→
−
→
−
→
−→
−
−
→
et OP = cos(a + π2 ) OI + sin(a + π2 ) OJ = − sin a OI + cos a OJ,
ce qui permet d’écrire :
−−→
−
→
−→
−
→
−→
ON = cos b(cos a OI + sin a OJ) + sin b(− sin a OI + cos a OJ)
−
→
−→
= (cos a cos b − sin a sin b) OI + (sin a cos b + cos a sin b) OJ
−
→ −−→
−
→ −−→
−−→ −−→
−−→
−
→
−→
or (OI,ON) = (OI,OM) + (OM ,ON) = a + b, donc ON = cos(a + b) OI + sin(a + b) OJ,
N
J
P
M
b
a
O
I
ce qui prouve que cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b et sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b. Théorème : Pour tous réels a et b :
cos(a − b) =
sin(a − b) =
cos a cos b + sin a sin b
sin a cos b − cos a sin b
Preuve : On sait que pour tout réel b : cos(−b) = cos b et sin(−b) = − sin b ; en utilisant le premier théorème et en remplaçant b par son opposé, on obtient ces deux dernières relations. 5π
π
et cos
.
Exemple : Calcul des valeurs exactes de sin
12
12
π
π
π
En remarquant que
= − on peut écrire :
12
3
4
√
√
√
√ √
π
π
π
π
π
3
2 1
2
2( 3 − 1)
sin
= sin cos − cos sin =
×
− ×
=
12
3
4
3
4
2
2
2
2
4
3π
2π
π
π
5π
=
+
= + on obtient :
De même en remarquant que
12
12
12
4
6
√
√
√
√ √
5π
π
π
π
π
2
3
2 1
2( 3 − 1)
cos
= cos cos − sin sin =
×
−
× =
12
4
6
4
6
2
2
2
2
4
π
5π
on peut remarquer que
et
sont des angles complémentaires,
12
2
Ç √ √
å
5π
2( 3 − 1)
π
= cos
=
.
ce qui confirme bien l’égalité observée ci-dessus : sin
12
12
4
Théorème : Pour tous réels a (formules de duplication) :
cos 2a =
sin 2a =
cos2 a − sin2 a = 2 cos2 a − 1 = 1 − 2 sin2 a
2 sin a cos a
Preuve : On utilise les formule d’addition ci-dessus avec b = a :
cos 2a = cos a cos a − sin a sin a = cos2 a − sin2 a et
sin 2a = sin a cos a + cos a sin a = 2 sin a cos a
puis la relation cos2 a + sin2 a = 1 qui donne : sin2 a = 1 − cos2 a, et cos2 a = 1 − sin2 a
cos 2a = cos2 a − (1 − cos2 a) = 2 cos2 a − 1 et cos 2a = 1 − sin2 a − sin2 a = 1 − 2 sin2 a . π
π
et cos .
8
8
√
2
π
π
π
π
On sait que 2 × = et cos = sin =
,
8
4
4
4
2
Exemple : Calcul des valeurs exactes de sin
√
2
√
1 + cos 2a
2+ 2
2
2
2
2 π
or cos 2a = 2 cos a − 1, donc cos a =
, puis cos
=
=
;
2
8
2
p4
√
2+ 2
π
π
π
π
;
de plus comme 0 < < , alors cos > 0, ce qui permet d’écrire : cos =
8
2
8
8
2√
2
√
1−
2− 2
1 − cos 2a
2
2 π
2
2
, puis sin
=
=
;
on sait aussi que cos 2a = 1 − 2 sin a, donc sin a =
2
8 p 2√
4
π
π
π
2− 2
π
.
de plus comme 0 < < , alors sin > 0, ce qui permet d’écrire : sin =
8
2
8
8
2
1+
math4bac
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