6 Trigonométrie

6 Trigonométrie
6.1 Cercle trigonométrique
6.1.1 Enroulement de la droite numérique autour du cercle
O
C
I
JK
x
M
1 rad
Définition : Le cercle trigonométrique est le cercle de centre O
et de rayon 1, muni d’un sens de parcours appelé sens direct et
correspondant au sens inverse des aiguilles de la montre (sens anti-
horaire).
On note Cle cercle trigonométrique de centre Oet (O;I,J) un repère
orthonormé direct (c’est-à-dire tel que l’angle ‘ IOJ soit un angle droit
et tel qu’une rotation d’un quart de tour autour de Oamène le point
Isur le point J: sens direct).
Si Kest le point de coordonnées (1 ; 1), on munit la droite (IK)
du repère (I;K) et on enroule la droite (IK) autour du cercle C;
ainsi à tout point d’abscisse xsur la droite (IK) correspond un point
Msur le cercle C:Mest appelé le point image du nombre réel
x.
Propriété :•Si xet x′sont deux nombres tels que x′−x= 2kπ, où kest un nombre entier relatif,
alors xet x′ont le même point image.
•Si Mest le point image du nombre réel x, alors Mest aussi le point image de tous les nombres
réels de la forme x′=x+ 2kπ, où k∈Z.
Preuve : Le périmètre du cercle trigonométrique est égal à 2π, donc ajouter, ou retrancher, 2πà un nombre est équivalent
à faire un tour dans le sens direct, ou dans le sens horaire, suivant le signe de k.
6.1.2 Le radian
Définition : Sur le cercle trigonométrique C, le radian est la mesure d’un angle au centre qui intercepte
sur le cercle Cun arc de longueur égale au rayon (c’est-à-dire 1).
Le symbole du radian est rad.
Conversion d’unité : 180° = πrad.
Exemple : Sur le cercle trigonométrique ci-dessus Mest le point image du réel x, alors ’ IOM =xrad.
‘
IOJ =π
2rad, c’est-à-dire un angle droit.
Si I′est le symétrique de Ipar rapport à O, alors ‘ IOI′=πrad, c’est-à-dire un angle plat.
•45° = 45 ×π
180 =π 4rad.
•30° = 30 ×π
180 =π 6rad.
•60° = 60 ×π
180° =π 3rad.
6.1.3 Sinus et Cosinus d’un nombre réel
Définition : Soit xun nombre réel et Mle point image de xsur le cercle trigonométrique.
Le cosinus de x, noté cos x, est l’abscisse de M; le sinus de x, noté sin x, est l’ordonnée de M, donc
le point a pour coordonnées : M(cos x; sin x).
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Exemple :•Le nombre réel π
2a pour image le point J(0 ; 1), donc cos π 2= 0 et sin π 2= 1.
•I′(−1 ; 0), symétrique de Ipar rapport à O, permet d’écrire cos π=−1 et sin π= 0.
•J′(0 ; −1), symétrique de Jpar rapport à O, permet d’écrire cos Å3π
2ã= 0 et sin Å3π 2ã=−1.
Propriétés : Pour tout nombre réel xet tout nombre entier relatif k:
• −16cos x61, −16sin x61 et cos2x+ sin2x= 1
•cos(x+ 2kπ) = cos xet sin(x+ 2kπ) = sin x
Angles remarquables :
x0π
6
π
4
π
3
π
2π
cos x1√3
2
√2
2
1
20−1
sin x01
2
√2
2
√3
21 0
6.2 Angles orientés
Définition : Soient Met Nles images respectives des réels xet x′sur le
cercle trigonométrique de centre O.
On appelle angle orienté, l’angle de mesures x′−x+ 2kπ, où kest un
nombre entier relatif.
On note cet angle :
Ä−−→
OM ;−−→ ON ä=x′−x+ 2kπ, où k∈Z
ou encore Ä−−→
OM ;−−→
ON ä=x′−x.
O I
J
M
x
N
x′
Propriété :Oétant le centre du cercle trigonométrique C,
−→
uet −→ vétant deux vecteurs non nuls tels que :
−→
u=−→ OA et −→ v=−−→ OB
soit Ml’intersection de la demi-droite [OA) avec le cercle Cet Nl’inter-
section de [OB) avec C, alors :
(−→ u;−→ v) = Ä−−→
OM ;−−→
ON ä
O I
J
A
M
B
N
Définition : On appelle mesure principale de l’angle orienté (−→ u;−→ v) la mesure en radian appartenant
à l’intervalle ] −π;π].
Propriété : La mesure principale d’un angle est unique.
Preuve : Pour tout réel x, il n’existe qu’une seule valeur entière ktelle que −π < x + 2kπ 6π.
Propriété des angles orientés :
•−→ uet −→ vsont colinéaires et de même sens si, et seulement si, (−→ u;−→ v) = 0 ;
•−→ uet −→ vsont colinéaires et de sens contraire si, et seulement si, (−→ u;−→ v) = π.
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Relation de Chasles : Pour tous vecteurs −→ u,−→ vet −→ wnon nuls :
(−→ u;−→ v) + (−→ v;−→ w) = (−→ u;−→ w)
A
B C
H
Exemple :ABC est un triangle équilatéral tel que (−−→ AB ;−→ AC) = π
3,Hest le milieu
de [BC].
Ä−−→
AB ;−−→ AHä=Ä−−→ AH ;−→ ACä=π
6et Ä−−→
AH ;−−→ BCä=π
2;
Ä−−→
BA ;−−→ BCä=−π
3et Ä−−→
CB ;−→ ACä=2π
3.
6.3 Angles associés
Propriétés : Pour tout nombre réel x:
(1) cos(−x) = cos xet sin(−x) = −sin x
(2) cos(π−x) = −cos xet sin(π−x) = sin x
(3) cos(x+π) = −cos xet sin(x+π) = −sin x
(4) cos π
2−x= sin xet sin π 2−x= cos x
(5) cos x+π
2=−sin xet sin x+π 2= cos x
O
(1)
I
J
x
−xO
(2)
I
J
x
−x
O
(3)
I
J
x
π
O
(4)
I
J
x
−x
O
(5)
I
J
x
x
6.4 Équations trigonométriques
Théorème : L’équation trigonométrique cos x= cos aa pour solutions :
x=a+ 2kπ et x=−a+ 2kπ
où k∈Z.
Preuve : cos(−a) = cos aet cos(a+ 2kπ) = cos a, où k∈Z.
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Exemples :•L’équation cos x= cos π
3a pour solutions :
x=π
3+ 2kπ et x=−π 3+ 2kπ, où k∈Z
•L’équation cos 2x= 1 a pour solutions 2x= 0 + 2kπ, où k∈Z; en effet on remarque que cos 0 = 1 ;
alors les solutions sont x=kπ, où k∈Z.
Théorème : L’équation trigonométrique sin x= sin aa pour solutions :
x=a+ 2kπ et x=π−a+ 2kπ
où k∈Z.
Preuve : sin(π−a) = sin aet sin(a+ 2kπ) = sin a, où k∈Z.
Exemples :•L’équation sin x= sin π
4a pour solutions :
x=π
4+ 2kπ et x=π−π 4+ 2kπ =3π 4+ 2kπ, où k∈Z
O I
J
−π
2
π
6
5π
6
•L’équation sin 3x= 1 a pour solutions 3x=π
2+2kπ =π−π 2+2kπ,
où k∈Z; en effet on remarque que sin π
2= 1 ;
alors les solutions sont x=π
6+k2π 3, où k∈Z.
Les mesures principales de ces solutions sont représentées sur le cercle
trigonométrique ci-contre :
−π
2;π 6et 5π 6
ces mesures correspondent respectivement à k=−1, k= 0 et k= 1.
Cas particulier : équation du type sin x= cos a(ou cos x= sin a).
En utilisant l’égalité cos a= sin π
2−aon peut transformer l’équation en
sin x= sin π
2−a, de solutions :
x=π
2−a+ 2kπ et x=π−π 2−a+ 2kπ =π 2+a+ 2kπ, où k∈Z
De même pour cos x= sin a, en utilisant l’égalité sin a= cos π
2−aon transforme l’équation en
cos x= cos π
2−a, de solutions :
x=π
2−a+ 2kπ et x=−π 2−a+ 2kπ =a−π 2+ 2kπ, où k∈Z
6.5 Formule d’addition
Théorème : Pour tous réels aet b:
cos(a+b) = cos acos b−sin asin b
sin(a+b) = sin acos b+ cos asin b
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O I
J
M
a
N
b
P
Preuve : Soit Mle point du cercle Ctel que (−→ OI ;−−→ OM) = a;
Nsur Ctel que (−−→ OM ;−−→ ON) = bet Psur Ctel que (−−→ OM ;−−→ OP ) = π
2.
Alors (O;M,P ) est un repère orthonormé direct dans lequel on peut écrire −−→ ON =
cos b−−→ OM + sin b−−→ OP .
Or dans (O;I,J ) on a : −−→ OM = cos a−→ OI + sin a−→ OJ
et −−→ OP = cos(a+π
2)−→
OI + sin(a+π
2)−→
OJ =−sin a−→ OI + cos a−→ OJ,
ce qui permet d’écrire :
−−→
ON = cos b(cos a−→ OI + sin a−→ OJ) + sin b(−sin a−→ OI + cos a−→ OJ)
= (cos acos b−sin asin b)−→ OI + (sin acos b+ cos asin b)−→ OJ
or (−→ OI,−−→ ON) = (−→ OI,−−→ OM) + (−−→ OM ,−−→ ON) = a+b, donc −−→ ON = cos(a+b)−→ OI + sin(a+b)−→ OJ,
ce qui prouve que cos(a+b) = cos acos b−sin asin bet sin(a+b) = sin acos b+ cos asin b.
Théorème : Pour tous réels aet b:
cos(a−b) = cos acos b+ sin asin b
sin(a−b) = sin acos b−cos asin b
Preuve : On sait que pour tout réel b: cos(−b) = cos bet sin(−b) = −sin b; en utilisant le premier théorème et en rempla-
çant bpar son opposé, on obtient ces deux dernières relations. 
Exemple : Calcul des valeurs exactes de sin π
12 et cos 5π 12 .
En remarquant que π
12 =π 3−π 4on peut écrire :
sin π
12 = sin π 3cos π 4−cos π 3sin π 4=√3 2×√2 2−1 2×√2 2=√2(√3−1) 4
De même en remarquant que 5π
12 =3π 12 +2π 12 =π 4+π 6on obtient :
cos 5π
12 = cos π 4cos π 6−sin π 4sin π 6=√2 2×√3 2−√2 2×1 2=√2(√3−1) 4
on peut remarquer que π
12 et 5π 2sont des angles complémentaires,
ce qui confirme bien l’égalité observée ci-dessus : sin π
12 = cos 5π 12 Ç=√2(√3−1) 4å.
Théorème : Pour tous réels a(formules de duplication) :
cos 2a= cos2a−sin2a= 2 cos2a−1 = 1 −2 sin2a
sin 2a= 2 sin acos a
Preuve : On utilise les formule d’addition ci-dessus avec b=a:
cos 2a= cos acos a−sin asin a= cos2a−sin2aet sin 2a= sin acos a+ cos asin a= 2 sin acos a
puis la relation cos2a+ sin2a= 1 qui donne : sin2a= 1 −cos2a, et cos2a= 1 −sin2a
cos 2a= cos2a−(1 −cos2a) = 2 cos2a−1 et cos 2a= 1 −sin2a−sin2a= 1 −2 sin2a . 
Exemple : Calcul des valeurs exactes de sin π
8et cos π 8.
On sait que 2 ×π
8=π 4et cos π 4= sin π 4=√2 2,
or cos 2a= 2 cos2a−1, donc cos2a=1 + cos 2a
2, puis cos2π 8=
1 + √2
2
2=2 + √2 4;
de plus comme 0 <π
8<π 2, alors cos π 8>0, ce qui permet d’écrire : cos π 8=p2 + √2 2;
on sait aussi que cos 2a= 1 −2 sin2a, donc sin2a=1−cos 2a
2, puis sin2π 8=
1−√2
2
2=2−√2 4;
de plus comme 0 <π
8<π 2, alors sin π 8>0, ce qui permet d’écrire : sin π 8=p2−√2 2.
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bac – 30 – v1.618