cours 2010

Analyse fonctionnelle.
Master M1. Ann´ee 2010/2011.
Richard Zekri
13 septembre 2010

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Table des mati`eres
1 Espaces m´etriques complets. 5
1.1 Rappels sur les distances et les suites de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Espacesfonctionnels. ............................. 6
2 Les th´eor`emes de Hahn-Banach. 13
2.1 Ensembles inductifs et lemme de Zorn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Th´eor`eme de Hahn-Banach du type prolongement. . . . . . . . . . . . . . 14
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Chapitre 1
Espaces m´etriques complets.
1.1 Rappels sur les distances et les suites de Cauchy
D´efinition 1.1.1 Soit Eun ensemble. Une distance sur Eest une application d:
E×E→R+, telle que :
1. ∀x∈E, y ∈E, d(x, y)=0 ⇐⇒ x=y. (ds´epare les points de E.)
2. ∀x∈E, y ∈E, z ∈E, d(x, z)≤d(x, y) + d(y, z).(In´egalit´e triangulaire.)
Une distance d, sur un ensemble E, d´efinit une topologie, dont les ouverts sont les
r´eunions des boules ouvertes B(x, ) = {y∈E/d(x, y)< }, centr´ees en un point x∈E
quelconque, de rayon  > 0 quelconque. Muni de cette topologie, Eest appel´e un espace
m´etrique. On utilise les notations (E, d) ou Epour le d´esigner.
D´efinition 1.1.2 Soit (E, d)un espace m´etrique. Une suite de Cauchy dans Eest
une suite de points (xn)n∈N, contenue dans E, et satisfaisant le crit`ere de Cauchy :
∀ > 0,∃N∈N/∀p, q > N, d(xp, xq)< .
D´efinition 1.1.3 Soit (E, d)un espace m´etrique. On dit qu’une suite (xn)n∈N, de points
de E, converge vers un point x∈E, si d(xn, x)→0,ntendant vers l’infini. C’est `a
dire :
∀ > 0,∃N∈N/∀n > N, d(xn, x)< .
L’in´egalit´e triangulaire montre que toute suite convergente est une suite de Cauchy. La
r´eciproque n’est pas toujours vraie. Il faut pour cela que l’espace Eposs`ede la propri´et´e
d’ˆetre un espace complet.
Exemple 1.1.4 Soit E=Cc(N), l’espace des fonctions `a support fini sur N. On munit
Ede la distance : d(f, g) = Max{|f(p)−g(p)|, p ∈N},∀f, g ∈E.On d´efinit, pour
chaque entier naturel n, la fonction fn∈E, par :
1. fn(0) = 0.
2. fn(p) = 1/p si p≤n.
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