3 - compacite.

Master 2 Agr´egation, Math´ematiques, Universit´e de Nice Sophia-Antipolis,
UE3 - 3 - Compacit´e.
Exercice 1 (Questions pr´eliminaires)
1) Rappeler la d´efinition d’un compact dans le cadre topologique.
2) Montrer que si a < b sont des r´eels, alors [a, b] est un compact de R.
Dans la suite, nous nous pla¸cons dans un espace m´etrique.
3) Montrer que dans un espace m´etrique, tout compact est ferm´e et born´e.
4) Montrer que les parties compactes de Rsont les parties ferm´ees et born´ees.
5) Montrer que tout produit fini de compacts est compact.
6) Pour Rnmuni de la norme k(x1,···, xn)k∞= sup
k=1,···,n |xk|, alors une partie de Rnest compacte
si et seulement si elle est ferm´ee et born´ee.
Exercice 2 (Equivalence des normes en dimension finie)
1) Soit E=Rnet Nune norme quelconque sur Rn.
a) Montrer que |N(x)−N(y)| ≤ Ckx−yk∞pour x, y ∈Rn.
b) Montrer que S={x∈Rn;kxk∞= 1}est compacte et que Ny atteint sa borne inf´erieure.
c) En d´eduire que Net k·k∞sont ´equivalentes sur Rnet que toutes les normes sont ´equivalentes
sur Rn.
2) Soit Eun e.v.n. de dimension finie nsur R. Montrer que toutes les normes sont ´equivalentes
sur E.
Exercice 3 (Dans un e.v.n. de dim finie, compact ´equivaut `a ferm´e, born´e)
Soit Eun e.v.n. de dimension finie nsur R.
1) Montrer que tout compact de Eest ferm´e, born´e.
2) Montrer la r´eciproque en utilisant l’´equivalence des normes.
3) Donner un contre-exemple en dimension infinie.
Exercice 4 (Distance `a un ensemble et compacit´e)
Soit (E, d) un espace m´etrique.
1) Soient K, C deux compacts. Montrer qu’il existe k∈K,c∈Ctels que d(K, C) = d(k, c).
2) a) Soient Kun compact et Fun ferm´e tels que K∩F=∅. Montrer que d(K, F )>0.
b) Dans le cas d’un espace de dimension finie, montrer qu’alors d(K, F ) est atteint.
3) Donner un exemple avec Fet Gferm´es, F∩G=∅et d(F, G) = 0.
Exercice 5 (Topologie de A+Bet compacit´e)
Soit Eun espace vectoriel topologique.
Soit Aferm´e et Bcompact de E, alors A+Best ferm´e.
Exercice 6 (Pr´ecompacit´e)
Soit (E, d) un espace m´etrique. L’espace Eest dit pr´ecompact si pour tout ε > 0, il existe un
recouvrement fini de Epar des boules ouvertes de rayon ε.

Montrer qu’un espace pr´ecompact et complet est compact.
Exercice 7 (Borel-Lebesgue et premier Th´eor`eme de Dini)
Soit (fn) une suite croissante de fonctions continues d´efinies sur un espace m´etrique compact
Ket `a valeurs dans R. Si la suite (fn)nconverge simplement vers une fonction fcontinue sur K,
alors la convergence est uniforme.
Application : montrer que t7→ √test limite uniforme de polynˆomes sur [0,1]. (Utiliser la
suite P0= 0, Pn+1(t) = Pn(t) + 1
2(t−P2
n(t)).)
Exercice 8 (Heine et second Th´eor`eme de Dini)
Soit (fn) une suite de fonctions croissantes et continues d´efinies sur [0,1] et `a valeurs dans R.
Si la suite (fn)nconverge simplement vers une fonction fcontinue sur [0,1], alors la convergence
est uniforme.
Exercice 9 (Application de Dini en probabilit´e : Th´eor`eme de Glivenko-Cantelli)
Soit X1, X2,···une suite de v.a.r. ind´ependantes et identiquement distribu´ees, d´efinies sur le
mˆeme espace probabilis´e (Ω,A,P). Notons Fla fonction de r´epartition commune des Xi. Pour
t∈R,n∈N∗, posons Fn(t) = 1
n
n
X
k=1
1IXk≤t.
Nous cherchons `a montrer que p.s., sup
t∈R|Fn(t)−F(t)| →
n→+∞0.
1) Montrer que pour tout t∈Rfix´e, Fn(t)→
n→+∞F(t) p.s.
2) Notons F←(u) = inf{x;F(x)≥u}. Montrer que F←(u)≤x⇔u≤F(x) pour tout x∈R,
u∈[0,1].
3) Soit Yune v.a.r. de fonction de r´epartition Get soit Uune v.a.r. de loi U(0,1). Montrer que
G←(U) a mˆeme loi que Y.
4) En d´eduire qu’il suffit de montrer la propri´et´e dans le cas particulier de lois uniformes sur
[0,1].
5) Montrer le r´esultat grˆace `a la loi des grands nombres et le Th´eor`eme de Dini.
Exercice 10 (Id´eaux de C(compact,R))
Soit (E, d) un espace m´etrique compact.
1) Soit Iun id´eal de C(E, R) diff´erent de C(E, R). Montrer qu’il existe x∈Xtel que f(x) = 0
pour tout f∈ I.
2) Montrer que les id´eaux maximaux de C(E, R) sont les Ix={f∈C(E, R) ; f(x) = 0}.
R´ef´erences : Gourdon, Kirillov-Gvichian, Nourdin, Pommellet