3 - compacite.

Master 2 Agrégation, Mathématiques, Université de Nice Sophia-Antipolis,
UE3 - 3 - Compacité.
Exercice 1 (Questions préliminaires)
1) Rappeler la définition d’un compact dans le cadre topologique.
2) Montrer que si a < b sont des réels, alors [a, b] est un compact de R.
Dans la suite, nous nous plaçons dans un espace métrique.
3) Montrer que dans un espace métrique, tout compact est fermé et borné.
4) Montrer que les parties compactes de R sont les parties fermées et bornées.
5) Montrer que tout produit fini de compacts est compact.
6) Pour Rn muni de la norme k(x1 , · · · , xn )k∞ = sup |xk |, alors une partie de Rn est compacte
k=1,···,n
si et seulement si elle est fermée et bornée.
Exercice 2 (Equivalence des normes en dimension finie)
1) Soit E = Rn et N une norme quelconque sur Rn .
a) Montrer que |N(x) − N(y)| ≤ Ckx − yk∞ pour x, y ∈ Rn .
b) Montrer que S = {x ∈ Rn ; kxk∞ = 1} est compacte et que N y atteint sa borne inférieure.
c) En déduire que N et k·k∞ sont équivalentes sur Rn et que toutes les normes sont équivalentes
sur Rn .
2) Soit E un e.v.n. de dimension finie n sur R. Montrer que toutes les normes sont équivalentes
sur E.
Exercice 3 (Dans un e.v.n. de dim finie, compact équivaut à fermé, borné)
Soit E un e.v.n. de dimension finie n sur R.
1) Montrer que tout compact de E est fermé, borné.
2) Montrer la réciproque en utilisant l’équivalence des normes.
3) Donner un contre-exemple en dimension infinie.
Exercice 4 (Distance à un ensemble et compacité)
Soit (E, d) un espace métrique.
1) Soient K, C deux compacts. Montrer qu’il existe k ∈ K, c ∈ C tels que d(K, C) = d(k, c).
2) a) Soient K un compact et F un fermé tels que K ∩ F = ∅. Montrer que d(K, F ) > 0.
b) Dans le cas d’un espace de dimension finie, montrer qu’alors d(K, F ) est atteint.
3) Donner un exemple avec F et G fermés, F ∩ G = ∅ et d(F, G) = 0.
Exercice 5 (Topologie de A + B et compacité)
Soit E un espace vectoriel topologique.
Soit A fermé et B compact de E, alors A + B est fermé.
Exercice 6 (Précompacité)
Soit (E, d) un espace métrique. L’espace E est dit précompact si pour tout ε > 0, il existe un
recouvrement fini de E par des boules ouvertes de rayon ε.
Montrer qu’un espace précompact et complet est compact.
Exercice 7 (Borel-Lebesgue et premier Théorème de Dini)
Soit (fn ) une suite croissante de fonctions continues définies sur un espace métrique compact
K et à valeurs dans R. Si la suite (fn )n converge simplement vers une fonction f continue sur K,
alors la convergence est uniforme.
√
Application : montrer que t 7→ t est limite uniforme de polynômes sur [0, 1]. (Utiliser la
1
suite P0 = 0, Pn+1 (t) = Pn (t) + (t − Pn2 (t)).)
2
Exercice 8 (Heine et second Théorème de Dini)
Soit (fn ) une suite de fonctions croissantes et continues définies sur [0, 1] et à valeurs dans R.
Si la suite (fn )n converge simplement vers une fonction f continue sur [0, 1], alors la convergence
est uniforme.
Exercice 9 (Application de Dini en probabilité : Théorème de Glivenko-Cantelli)
Soit X1 , X2 , · · · une suite de v.a.r. indépendantes et identiquement distribuées, définies sur le
même espace probabilisé (Ω, A, P). Notons F la fonction de répartition commune des Xi . Pour
n
1X
t ∈ R, n ∈ N∗ , posons Fn (t) =
1IX ≤t .
n k=1 k
Nous cherchons à montrer que p.s., sup |Fn (t) − F (t)| → 0.
n→+∞
t∈R
1) Montrer que pour tout t ∈ R fixé, Fn (t) → F (t) p.s.
n→+∞
2) Notons F ← (u) = inf{x ; F (x) ≥ u}. Montrer que F ← (u) ≤ x ⇔ u ≤ F (x) pour tout x ∈ R,
u ∈ [0, 1].
3) Soit Y une v.a.r. de fonction de répartition G et soit U une v.a.r. de loi U(0,1) . Montrer que
G (U) a même loi que Y .
←
4) En déduire qu’il suffit de montrer la propriété dans le cas particulier de lois uniformes sur
[0, 1].
5) Montrer le résultat grâce à la loi des grands nombres et le Théorème de Dini.
Exercice 10 (Idéaux de C(compact, R))
Soit (E, d) un espace métrique compact.
1) Soit I un idéal de C(E, R) différent de C(E, R). Montrer qu’il existe x ∈ X tel que f (x) = 0
pour tout f ∈ I.
2) Montrer que les idéaux maximaux de C(E, R) sont les Ix = {f ∈ C(E, R) ; f (x) = 0}.
Références : Gourdon, Kirillov-Gvichian, Nourdin, Pommellet