M2 - Notes de cours Fibrés principaux et homotopie Soit - IMJ-PRG

M2 - Notes de cours
Fibr´es principaux et homotopie
Soit Gun groupe topologique.
Th´eor`eme. Soit ξ= (E, p, B)un G-fibr´e principal, disons `a droite.
Soit Xun espace topologique paracompact (voir ci-dessous) ; soient f0et f1
deux applications continues de Xdans B.
Si les applications f0et f1sont homotopes alors les G-fibr´es principaux
f∗
0ξet f∗ 1ξsont isomorphes.
Paracompacit´e
La notion de paracompacit´e est une g´en´eralisation de celle de compacit´e ; une motivation-
cl´e pour l’introduction de cette notion est qu’elle garantit l’existence de partitions de
l’unit´e.
Un espace topologique est dit paracompact s’il est s´epar´e, et si tout recouvrement ouvert
admet un raffinement (ouvert) localement fini. On rappelle qu’un recouvrement {Xi}
d’un espace topologique Xest dit localement fini si tout point de Xposs`ede un voisinage
disjoint de presque tous les Xi,i.e. de tous sauf pour un ensemble fini d’indices i.
Pour un espace topologique localement compact et localement connexe (par exemple une
vari´et´e de dimension finie), la paracompacit´e signifie que chaque composante connexe est
r´eunion d´enombrable de compacts.
Il est difficile d’exhiber des espaces topologiques qui ne soient pas paracompacts (et nous
ne chercherons pas `a le faire !). En effet :
– Un espace compact est paracompact.
– Un CW-complexe est paracompact.
– Un espace m´etrique est paracompact.
Soient i0et i1les deux inclusions x7→ (x, 0) et x7→ (x, 1) de Xdans X×[0,1] ;
par d´efinition les applications f0et f1sont homotopes s’il existe une applica-
tion continue F:X×[0,1] avec f0=F◦i0et f1=F◦i1. Il en r´esulte qu’il
suffit de (et qu’il faut) d´emontrer le th´eor`eme dans le cas B=X×[0,1],
f0= i0et f1= i1:
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Th´eor`eme-bis. Soient Xun espace topologique paracompact et ξun G-fibr´e
principal `a droite de base X×[0,1]. Alors les G-fibr´es principaux i∗
0ξet i∗ 1ξ
sont isomorphes.
On d´emontre en fait une variante de l’´enonc´e ci-dessus :
Th´eor`eme-ter. Soient Xun espace topologique paracompact et ξun G-fibr´e
principal `a droite de base X×[0,1] ; soit r : X×[0,1] →X×[0,1] l’application
(x, t)7→ (x, 1). Alors les G-fibr´es principaux ξet r∗ξsont isomorphes.
La version-ter implique la version-bis `a cause de l’´egalit´e i1= r ◦i0.
On d´emontre le th´eor`eme-ter `a l’aide des lemmes suivants (l’espace topo-
logique Xqui apparaˆıt dans leurs ´enonc´es n’a pas besoin d’ˆetre suppos´e
paracompact) :
Lemme 1. Soient a, b, c trois nombres r´eels avec a≤b≤c. Soit ξun
G-fibr´e principal `a droite de base X×[a, c]. Si les restrictions de ξ`a X×[a, b]
et X×[b, c]sont des G-fibr´es principaux `a droite triviaux alors il en est de
mˆeme pour ξ.
D´emonstration. Commen¸cons par deux rappels :
•Soit (Y, p, X) un G-fibr´e principal `a droite de base X; ce fibr´e est trivial
si et seulement si pposs`ede une section continue (en clair, s’il existe une
application continue s:X→Yavec p◦s= idX).
•Soit (Y, p, X) un G-fibr´e principal `a droite de base X. Il existe une unique
application continue
d : Y×XY→G
telle que l’on ait y1=y0.d(y0, y1) pour tout couple (y0, y1) dans Y×XY.
Venons-en maintenant `a la d´emonstration du lemme 1. Soient Yl’espace
total de ξet p:Y→X×[a, c] l’application structurelle.
Par hypoth`ese, on dispose de deux sections continues des restrictions de p,
sa,b :X×[a, b]→p−1(X×[a, b]) et sb,c :X×[b, c]→p−1(X×[b, c]. Si les
restrictions de sa,b et sb,c `a X× {b}) co¨ıncident alors on d´efinit une section
continue de psur X×[a, c] par recollement. On modifie donc sb,c de fa¸con `a
avoir cette co¨ıncidence : on remplace l’application sb,c par l’application
X×[b, c]→p−1(X×[b, c],(x, t)7→ sb,c(x, t).d(sb,c(x, b), sa,b(x, b))
(d d´esigne ci-dessus l’application p−1(X× {b})×X×{b}p−1(X× {b})→G
dont la d´efinition a ´et´e rappel´ee plus haut). 
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Lemme 2. Soit ξun G-fibr´e principal `a droite de base X×[0,1]. Alors
pour tout point xde Xil existe un voisinage ouvert Ude xdans Xtel que
la restriction de ξ`a U×[0,1] est triviale.
D´emonstration. Pour tout tdans [0,1] il existe un ouvert Utde Xet un
ouvert Itde [0,1] avec (x, t)∈Ut×Ittel que la restriction de ξ`a Ut×It
est triviale. D’apr`es le lemme d’uniformit´e de Lebesgue il existe un entier n
tel que chaque intervalle [k
n,k+1 n] (0 ≤k < n) soit contenu dans l’un des It,
disons [k
n,k+1 n]⊂Itk. On ach`eve en prenant U=Tn−1
k=0 Utket en appliquant
n−1 fois le lemme 1. 
Soient Xun espace topologique et f:X→Xune application continue ;
on appelle support de fet on note supp(f) la fermeture dans Xdu sous-
ensemble constitu´e des points xavec f(x)6=x.
Lemme 3. Soient ξun G-fibr´e principal `a droite de base Xet f:X→X
une application continue. On suppose qu’il existe un ouvert Ude Xqui
v´erifie les propri´et´es suivantes :
–f(U)⊂U;
–supp(f)⊂U;
– la restriction de ξ`a Uest un G-fibr´e principal `a droite trivial.
Alors les deux G-fibr´es principaux `a droite ξet f∗ξsont isomorphes.
D´emonstration. Commen¸cons par un rappel :
•Soient (Y, p, X) et (Z, q, X) deux G-fibr´es principaux `a droite de base X;
ces fibr´es sont isomorphes si et seulement il existe une application continue
G-´equivariante φ:Y→Zqui fait commuter le diagramme
Y Z
X.
-
φ
@@
@R
p
 q
Venons-en maintenant `a la d´emonstration du lemme 3. Soient Yl’espace
total de ξet p:Y→Xl’application structurelle. Par d´efinition l’espace
total de f∗ξest le sous-espace de X×Y, disons Z, constitu´e des couples (x, y)
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avec f(x) = p(y), l’action de Gsur Zest induite par l’action de Gsur Yet
la projection structurelle Z→Xpar la projection canonique X×Y→X.
Il nous faut exhiber une application continue G-´equivariante φ:Y→Zqui
commute avec les projections structurelles.
Soit sune section de psur U; on d´efinit l’application φ:Y→Zpar
recollement. On consid`ere les applications
ψ:U→Z , y 7→ (p(y), s(f(p(y))).d(y, s(p(y)))
et
χ:Y−p−1(supp(f)) , y 7→ (p(y), y).
On constate que ψet χco¨ıncident sur UT(Y−p−1(supp(f))) ; on d´efinit φ
en recollant ψet χ. Il n’est pas difficile de v´erifier que φposs`ede les propri´et´es
demand´ees. 
D´emonstration du th´eor`eme-ter dans le cas o`u l’espace topologique Xest
suppos´e compact
D’apr`es le lemme 2 il existe un recouvrement ouvert (Ui)i∈Ide Xtel que la
restriction de ξ`a Ui×[0,1] est triviale. Si Xest compact, alors on peut
supposer que ce recouvrement est fini : I={1,2, . . . , n}.
Soit (θi)i∈Iune enveloppe de l’unit´e subordonn´ee au recouvrement (Ui)i∈I.
Rappelons de quoi il s’agit : les θisont des applications continues X→[0,1] v´erifiant les
propri´et´es suivantes :
– le support de θiest contenu dans Ui(ici le support de θiest la fermeture de θ−1
i(]0,1]))
pour tout idans I;
– on a supi∈Iθi(x) = 1 pour tout xdans X.
La notion d’enveloppe de l’unit´e est intimement reli´ee `a celle de partition de l’unit´e. Si
l’on pose
αi(x) = θi(x)
Pj∈Iθj(x),
alors (αi)i∈Iest une partition de l’unit´e subordonn´ee au recouvrement (Ui)i∈I. R´eciproque-
ment, si (αi)i∈Iest une partition de l’unit´e subordonn´ee au recouvrement (Ui)i∈Iet si
l’on pose
θi(x) = αi(x)
supj∈Iαj(x),
alors (θi)i∈Iest une enveloppe de l’unit´e subordonn´ee au recouvrement (Ui)i∈I.
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Apr`es ce rappel, revenons `a la d´emonstration du th´eor`eme-ter. On note
fi:X×[0,1] →X×[0,1] l’application (continue) (x, t)7→ (x, sup(t, θi(x)).
On fait alors deux constatations :
– L’application r : X×[0,1] →X×[0,1] co¨ıncide avec l’application compos´ee
f1◦f2◦. . . ◦fn(l’ordre dans lequel on effectue la composition est en fait sans
importance car les ficommutent deux `a deux).
– Le fibr´e ξ, l’application fi:X×[0,1] →X×[0,1] et l’ouvert Ui×[0,1]
v´erifient les hypoth`eses du lemme 3.
On conclut en appliquant nfois le lemme 3. 
Soient Kl’un des corps Rou Cet nun entier naturel. En prenant G=
GLn(K) dans le th´eor`eme d’homotopie pour les fibr´es principaux on obtient
l’´enonc´e suivant :
Th´eor`eme. Soit ξun K-fibr´e vectoriel de base B.
Soit Xun espace topologique paracompact ; soient f0et f1deux applications
continues de Xdans B.
Si les applications f0et f1sont homotopes alors les K-fibr´es vectoriels
f∗
0ξet f∗ 1ξsont isomorphes.
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