Applications continues

Chapitre 2
Applications continues
On verra que la continuit´e est essentiellement une notion topologique, non
reserv´ee sp´ecialement aux espaces m´etriques. Par contre, dans le dernier sous-
paragraphe, on expliquera quelques notions li´ees `a la continuit´e mais plutˆot
sp´ecifiques dans le cas lin´eaire entre deux espaces vectoriels norm´es.
2.1 Applications continues d’espaces m´etriques
Pour la continuit´e d’une application entre deux espaces m´etriques, on com-
mence par la d´efinition “simple” suivante.
D´efinition 2.1.1 Soient (E, dE) et (F, dF). Une application f:E→Fest dite
continue en asi x→a⇒f(x)→f(a).
Exemple 2.1.2 Soit a∈Eet (E, d) un espace m´etrique. L’application x7→
d(a, x) est continue de Edans [0,∞[.
Th´eor`eme 2.1.3 Soit f:E→Fet soit b=f(a).fest continue en assi pour
tout V∈ Vb, on a f−1(V)∈ Va.
Corollaire 2.1.4 (Caract´erisation d’une application continue) Les trois
conditions ci-dessous sont ´equivalentes.
(i) f:E→Fest contionue en tout point de E.
(ii) Pour tout ouvert Ude (F, dF),f−1(U)est un ouvert de (E, dE).
(iii) Pour tout ferm´e Wde (F, dF),f−1(W)est un ferm´e de (E, dE).
Comme application, on notera que si f,gsont des applications num´eriques
continues sur un espace m´etrique (E, d), alors {x∈E:f(x)≤g(x)}est un
ferm´e de E,{x∈E:f(x)< g(x)}est un ouvert de E.
Comme dans le cas classique, on peut montrer que la compos´ee de deux
applications continues reste continue.
D´efinition 2.1.5 (a) On appelle hom´eomorphisme toute application “bicon-
tinue” en ce sens que f´etablit une bijection entre les espaces donn´es et
que fet son inverse sont toutes continues.
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14 CHAPITRE 2. APPLICATIONS CONTINUES
(b) Deux espaces sont dits hom´eomorphes s’il existe un hom´eomorphisme entre
eux.
Exemple 2.1.6 Une isom´etrie est, par d´efinition, une application d’un espace
m´etrique dans lui-mˆeme conservant la m´etrique de tout couple de points :
d(f(x), f(y)) = d(x, y). On peut v´erifier que toute isom´etire est un hom´e-
omrophisme.
Proposition 2.1.7 Deux distances d1et d2sur Esont topologiquement ´equi-
valents ssi l’application identit´e est un hom´eomorphisme entre (E, d1)et (E, d2).
Applications lipschitziennes
Une application f: (E, dE)→(F, dF) est dite lipschitzienne s’il existe une
constante C > 0 telle que, pour tout (x, y)∈E2,dF(f(x), f (y)) ≤CdE(x, y).
Lorsque la constante Cpeut ˆetre choisie <1 et que E=F, on dit que fest
une application contractante. Il est facile de dmontrer le
Th´eor`eme 2.1.8 Toute application lipschitzienne est continue et, en particu-
lier, uniform´ement continue en ce sens que pour tout ² > 0, il existe η > 0tel
que, pour tous x,y∈E,dE(x, y)< η ⇒dF(f(x), f (y)) < ².
La proposition 2.1.7 ci-dessus peut alors ˆetre renforc´ee de la fa¸con suivante :
Proposition 2.1.9 Deux distances d1et d2sur Esont ´equivalents ssi l’appli-
cation identit´e est un hom´eomorphisme lipschitzien entre (E, d1)et (E, d2).
2.2 Applications continues d’espaces topologiques
Soient (E, U) et (F, W) des espaces topologiques.
D´efinition 2.2.1 Une application f: (E, U)→(F, W) est dite continue en
a∈Esi, pour tout voisinage Wde f(a), f−1(W) est un voisinage de a.
Proposition 2.2.2 Soit f: (E, U)→(F, W),a∈Eet b=f(a). Les condi-
tions suivantes sont ´equivalentes.
(i) fest continue en a∈E.
(ii) Pour tout W∈ Wb, il existe U∈ Uaavec U⊂f−1(W).
On remarquera que U⊂f−1(W)⇔f(U)⊂W.
Th´eor`eme 2.2.3 (Caract´esation d’une application continue) Une appli-
cation f: (E, U)→(F, W)est continue en tout point de Essi l’image r´eciproque
d’un ouvert par fest un ouvert.
Remarque 2.2.4 L’image d’un ouvert par une application continue n’est pas
n´ecessairement un ouvert ! ! !
Corollaire 2.2.5 Soit Xun sous-ensemble non vide de (E, U)et soit ιl’appli-
cation qui “injecte” Xdans E:ι(x) = xpour tout x∈X. Alors ιest continue
de (X, UX)dans (E, U).

2.3. APPLICATIONS LIN ´ EAIRES CONTINUES 15
D´efinition 2.2.6 Une application f: (E, U)→(F, W) est appel´ee hom´eo-
morphisme si fest une bijection et f,f−1sont continues partout. Si c’est le
cas, les espace topologiques (E, U), (F, W) sont dits hom´eomorphes .
Th´eor`eme 2.2.7 Suppposons que f: (E, U)→(F, W)est une bijection. Alors
fest un hom´emorphisme ssi fest une application continue et ouverte (en ce
sens que l’image d’un ouvert est un ouvert).
Remarque 2.2.8 Si Econtient plus de deux ´el´ements, l’application ”identit´e”
x7→ x, (E, G)→(E, D) n’est continue nulle part lorsque Gest la topologie
grossi`ere et D, discr`ete. Pourtant cette mˆeme application est continue de (E, D)
vers (E, G).
2.3 Applications lin´eaires continues d’espaces vec-
toriels norm´es
Une grande nouveaut´e est qu’une application lin´eaire d’espaces vectoriels
norm´es n’est pas n´ecessairement continue si l’espace au d´epart est de dimension
infinie, vu l’exemple ci-dessous :
Exemple 2.3.1 L’application lin´eaire
f: (C0([0,1],R),k k1)→R, φ 7→ f(φ) = φ(0)
n’est continue nulle part dans (C0([0,1],R),k k1).
En effet, on peut observer que
Th´eor`eme 2.3.2 Soit f:(E, k kE)→(F, k kF)une application lin´eaire entre
deux espaces vectoriels norm´es. Soit x0∈Eun ´el´ement quelconque. Les condi-
tions suivantes sont ´equivalentes.
(i) fest continue sur E.
(ii) fest continue en 0∈E.
(iii) fest continue en x0.
(iv) Il existe C0>0tel que kf(x)kF≤C0kxkEpour tout x∈E.
(v) On a supx∈E,kxkE=1 kf(x)kF<∞.
Corollaire 2.3.3 Si Eest de dimension finie, alors toute application lin´eaire
d´efinie sur Eest continue.
Dans le cas g´en´eral, lorsque f: (E, k kE)→(F, k kF) est une application
lin´eaire continue, on d´efinit la norme de f, not´ee kfk, par la relation suivante :
kfk= sup
x∈E,kxkE=1
kf(x)kF.
On dira que fest born´ee (sur la sph`ere unit´e) si kfk<∞. D’o`u l’´equivalence
entre dire que fest continue et dire que fest born´ee ou encore dire que fest
lipschitzienne.