Évaluation Maths Terminale : récurrence et sommes télescopiques

Terminale spécialité mathématiques — entraînement approfondi Page 1
ÉVALUATION D’APPROFONDISSEMENT
Récurrence • Sommes télescopiques • Limites
Durée conseillée : 1 h 45 Barème : /20 Niveau : Terminale spé — préparation ambitieuse
Consignes. Toute réponse doit être justifiée. Les résultats admis dans une question peuvent être réutilisés
ensuite. Une rédaction précise est attendue, notamment pour l’hérédité et les passages à la limite.
Le problème : une suite construite par récurrence
On considère la suite (un) définie par u0 = 1 et, pour tout entier naturel n,
un+1 = un + 1/(un + 1).
L’objectif est d’étudier sa croissance, puis d’exploiter une somme télescopique pour déterminer précisément
son comportement asymptotique.
Partie A — Comprendre la dynamique de la suite (5 points)
1. Calculer u1 et u2. Montrer que, pour tout n, un ≥ 1. (1 pt)
2. Montrer que la suite (un) est strictement croissante. En déduire qu’elle admet soit une limite finie, soit tend
vers +∞. (1 pt)
3. En raisonnant par l’absurde, montrer que (un) ne peut pas converger vers une limite finie. (1,5 pt)
4. En déduire la limite de un. Expliquer pourquoi cette conclusion ne donne pas encore un équivalent de un.
(1,5 pt)
Partie B — Une somme télescopique cachée (6 points)
5. En développant le carré de un+1, établir l’identité exacte
un+12 − un2 = 2un/(un+1) + 1/(un+1)2. (1 pt)
6. Réécrire le membre de droite sous la forme 2 − 2/(un+1) + 1/(un+1)2, puis sommer l’égalité de k = 0 à n −
1. (1,5 pt)
7. Établir l’identité
un2 = 1 + 2n − 2Σk=0n−1 1/(uk+1) + Σk=0n−1 1/(uk+1)2.
Expliquer précisément pourquoi la somme des différences se télescope. (1,5 pt)
8. En utilisant uk ≥ 1, encadrer un2 par deux expressions simples en fonction de n. (2 pt)

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Partie C — Limite asymptotique (6 points)
9. Montrer que, pour tout k, 1 ≤ uk+12 − uk2 ≤ 2. En déduire un encadrement de un2. (1 pt)
10. En utilisant un → +∞, montrer que un+12 − un2 tend vers 2. Expliquer pourquoi il faut encore un argument
pour en déduire la limite de un2/n. (2 pt)
11. À l’aide de l’identité télescopique et du théorème de Cesàro (ou d’une démonstration directe du principe
des moyennes), démontrer que un2/n → 2, puis en déduire un équivalent de un. (2 pt)
12. Déterminer la limite de un/√n et interpréter ce résultat en une phrase. (1 pt)
Partie D — Affiner l’estimation (3 points)
13. Posons Sn = Σk=0n−1 1/(uk+1)2. En exploitant les résultats précédents, montrer que Sn = O(ln n), puis en
déduire l’encadrement asymptotique un2 = 2n + O(ln n). (3 pt)
Bonus non noté. Peut-on obtenir une estimation plus précise que O(ln n) pour Sn ? Proposer une piste argumentée, même
incomplète.