Cours 1

Fonction Exponentielle
Cours
Remarques
Définition :
On appelle fonction exponentielle la fonction réciproque de la fonction logarithme
Népérien notée « exp » définie par :
exp :
 0, 
x ex
La fonction exp est ainsi toujours strictement positive.
conséquences
 exp '(x)  expx
 0. La fonction exp est ainsi continue
et strictement croissante de
sur 0,  ; il en découle que :
 e0  1 et e1  e.  e  2, 718... 
 Pour tous réels a et b on a:
 a  b  exp(a)  exp(b).
 a  b  exp(a)  exp(b).
 Pour tout réel a et tout réel positif b on a:
ln(b)  a  b  ea .
Propriétés algébriques :
Pour tous réels a et b on a:
 ea .eb  eab
eb
 eba
a
e
1
 a  e a
e
 (ea )r  ear ; r 



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e e
a
n
a
2
a
n
e )  e ; n
a
et n  2.
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Fonction Exponentielle
Cours
Limites :
 lim  ex   
x 
 lim  ex   0
x 
 epx 
 lim  q    , p et q des entiers naturels non nuls.
x  x


 lim  x qepx   0
x 
 ex  1 
 lim
 1
x 0
x


 ex 
En particulier
lim     ,
x  x
 
et lim  xex   0
x 
Dérivée de f(x) = eU(x)
Théorème
Soit U une fonction dérivable sur un intervalle I.
La fonction définie par f(x)= eU(x) est dérivable sur I et on a :
f’(x)= U’(x).eU(x)
Corollaire :
Soit U une fonction dérivable sur un intervalle I.
Une primitive de la fonction x
définie par x eU(x) .
U’(x).eU(x) sur I est la fonction
Exponentielle de base a :
Soit un réel a > 0. Pour tout réel b, on pose ab = eb.ln(a)
Propriétés :
Pour tous nombres réels strictement positifs a et b et tous réels c et d
on a :
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Fonction Exponentielle
c d
a
 a
 a
c d
 a .a
c
d
c d
a
c.d
ac
 d
a
Cours
 a .b   a.b 
c
c
c
ac  a 
 c  
b b
c
Définition :
Soit a un réel strictement positif. La fonction f : x
fonction exponentielle de base a.
ax est appelée
Conséquences :
Soit a un réel strictement positif. La fonction f : x
ax est dérivable sur
et on a: f'(x)  lna.ax
Il en découle que :
Soit a un réel strictement positif. Une primitive de f : x
ax sur
ax
est la fonction f'(x)  .
lna
Retenons aussi que :
Pour tout nombre réel strictement positif a, on a
 Si a  1
alors lim  ax    et lim  ax   0.
x 
x 
 Si 0  a  1 alors lim  a   0 et lim  ax   .
x
x 
x 
Fonctions puissances :
Définition :
Soit r un rationnel. On appelle fonction puissance r la fonction
er.lnx , x  0.
x
Conséquences :
 Si r  0
alors lim  xr    et lim  xr   0.
 Si r  0
alors lim  x   0 et lim  xr   .
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x 
x 0
r
x 
x 0
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Fonction Exponentielle
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Théorème :
Soit r un rationnel, la fonction x
xr est dérivable sur
et sa dérivée est est la fonction x
r.xr 1  c; c  .
*

Corollaire :
Soit r un rationnel et r  1, les primitives sur
1 r 1
sont les fonctions : x
.x  c; c  .
r 1
*

de la fonction x
xr
Théorème :
Soit r un rationnel strictement positif, on a:
 lnx 
 lim  r   0
x  x


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 lim  x .lnx   0
r
x 0
 ex 
 lim  r   
x  x
 
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