Cours 1

Fonction Exponentielle
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Définition :
On appelle fonction exponentielle la fonction réciproque de la fonction logarithme
Népérien notée « exp » définie par :
01
2 718
0
0
0
1
x
exp: ,
xe
La fonction est ainsi toujours strictement positive.
exp '(x) expx . La fonction est ainsi continue
et strictement croissante de sur , ; il en découleq
conséquenc
ue:
exp
exp
e et e e.
Po
,
e
e ...
s
a
ur tous réels a et b on a:
a b exp(a) exp(b).
a b exp(a) exp(b).
Pour tout réel a et tout réelpositif b on a:
ln(b) a b e .
Propriétés algébriques :
2
1
2
a b a b
b
ba
a
a
a
a r ar
a
a
a
a
nn
Pour tous réels a et b on a:
e .e e
ee
e
e
e
(e ) e ; r
ee
e ) e ; n et n .
Remarques

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Limites :
0
0
0
11
0
x
x
x
x
px
q
x
q px
x
x
x
x
x
xx
lim e
lim e
e
lim , p et q des entiers naturels non nuls.
x
lim x e
e
lim x
e
En particulier lim , et lim xe
x
Dérivée de f(x) = eU(x)
Théorème
Soit U une fonction dérivable sur un intervalle I.
La fonction définie par f(x)= eU(x) est dérivable sur I et on a :
f’(x)= U’(x).eU(x)
Corollaire :
Soit U une fonction dérivable sur un intervalle I.
Une primitive de la fonction
x
U’(x).eU(x) sur I est la fonction
définie par
x
eU(x) .
Exponentielle de base a :
Soit un réel a > 0. Pour tout réel b, on pose ab = eb.ln(a)
Propriétés :
Pour tous nombres réels strictement positifs a et b et tous réels c et d
on a :

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c
cc
dc
c d c d c c.d c d c c
dc
a a a
a a .a a a a a .b a.b
a b b
Définition :
x
Soit a un réel strictement positif. La fonction f : x a est appelée
fonction exponentielle de base a.
Conséquences :
x
x
Soit a un réel strictement positif. La fonction f : x a est dérivable sur
et on a: f'(x) lna .a
Il en découle que :
x
x
Soit a un réel strictement positif. Une primitive de f : x a sur
a
est la fonction f'(x) .
lna
Retenons aussi que :
10
0 1 0
xx
xx
xx
xx
Pour tout nombre réel strictement positif a, on a
Si a alors lim a et lim a .
Si a alors lim a et lim a .
Fonctions puissances :
Définition :
Soit r un rationnel. On appelle fonction puissance r la fonction
0
r.lnx
x e , x .
Conséquences :
0
0
00
00
rr
xx
rr
xx
Si r alors lim x et lim x .
Si r alors lim x et lim x .

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Théorème :
1
r*
r
Soit r un rationnel, la fonction x x est dérivable sur
et sa dérivée est est la fonction x r.x c; c .
Corollaire :
1
1
11
*r
r
Soit r un rationnel et r , les primitives sur de la fonction x x
sont les fonctions: x .x c; c .
r
Théorème :
0
00
x
r
rr
xx
x
Soit r un rationnel strictement positif, on a:
lnx e
lim lim x .lnx lim
xx