La fonction logarithme.

LOGARITHME NEPERIEN
1°) La fonction ln.
Après avoir dressé le tableau de variation de la fonction exp, en utilisant le corollaire du théorème des valeurs
intermédiaires, on démontre:
Th et déf 1 :
1. Pour tout réel t strictement positif, l'équation exp (x) = t admet une solution unique dans IR.
2. Il existe une fonction notée ln définie sur ]0 ; + ∞ [ qui, à tout réel t strictement positif, associe l'unique réel x tel
que exp(x) = t. Cette fonction est appelée fonction logarithme népérien.
+∞
exp
+∞
ln t = x
t = exp(x)
si t >0,
x = ln(t) ⇔ t = exp(x) ou x = ln(t) ⇔ t = e x
-∞
ln
0
On dit que la fonction exp est une bijection de IR dans ]0 ; + ∞[.
On dit que la fonction ln est une bijection de ]0 ; + ∞[ dans IR .
On dit que la fonction ln est la bijection réciproque de la fonction exp et que la fonction exp est la bijection réciproque de
la fonction ln.
Th 2
Pour tout x > 0 , e ln (x) = x.
Pour tout réel x ln ( e x ) = x.
ln(x) = ln(y) ⇔ x = y
ln (1) = 0.
ln(e) = 1
Th 3 : Dans un repère orthonormal, les courbes C représentative de la fonction ln et C ' représentative de la
fonction exp sont symétriques par rapport à la droite d'équation y = x.
y = exp(x)
y =ln(x)
o
x
2°) Relations fonctionnelles.
Th 4 1. Pour tout réel x et tout réel y strictement positifs : ln (x y) = ln(x) + ln (y).
1
2. Pour tout réel x > 0, ln   = – ln (x).
x
x
3. Pour tout réel x et tout réel y strictement positifs : ln ( ) = ln(x) – ln (y).
y
p
4. Pour tout réel x > 0 et tout entier relatif p, ln (x ) = p ln (x).
1
5. Pour tout réel x > 0 : ln ( x ) = ln (x).
2
exercice:
a) Résoudre dans IR exp(x) = 25.
exp(x) = 25 ⇔ x = ln(25) = ln (5 2) = 2 ln (5).
b) Résoudre dans IR l'équation ln (x) = ln (2) + 1
on a ln (x) = ln (2) + ln (e) = ln (2 e)
donc x = 2 e.
c) Résoudre dans IR l'équation ln (x + 2) = ln ( x – 3) + ln (4).
domaine de validité : il faut x + 2 > 0 et x – 3 > 0 donc x > -2 et x > 3
finalement, il faut x > 3.
l'équation est équivalente à ln (x + 2) – ln ( x – 3) = ln (4).
donc à
x + 2
x+2
ln 
= ln (4) puis à
=4

x–3
 x –3 
puis à x + 2 = 4 (x – 3) ;
14
14
solution acceptée car
> 3.
3
3
x + 2 = 4 x – 12 etc…
x + 2 = 4 x – 12 ; - 3 x = - 14 et finalement x =
remarque : il aurait été plus rapide d'écrire ln (x + 2) = ln ( 4x – 12) donc
d) Résoudre dans IR : ln( x² + 3) – ln ( 2 x – 3) = ln ( x + 1).
il faut d'abord x² + 3 > 0 c'est-à-dire x² > -3
toujours vrai
3
et 2 x – 3 > 0 c'est-à-dire 2 x > 3 c'est-à-dire x >
2
et aussi x + 1 > 0 c'est-à-dire x > -1
-1
3/2
il faudra donc x >
3
2
méthode: on se ramène à ln a = ln b.
x² + 3
x² + 3
ln
= ln (x +1)
on a donc
= x +1.
2x –3
2x –3
x² + 3 = ( 2 x – 3) ( x + 1)
x² + 3 = 2 x² + 2 x – 3 x – 3 ou 0 = x² – x – 6
3
∆ = 25, x1 = 3 et x2 = -2 mais il fallait x >
2
donc S = {3}
e) Résoudre dans IR l'inéquation ln x > -7
la fonction exp étant strictement croissante, cette inéquation est équivalente à e ln x > e – 7
donc à
x > e –7
S = ]e – 7 ; + ∞[
3°) Dérivabilité de la fonction ln.
a) Fonction dérivée.
Th 5 : La fonction ln est continue et dérivable sur ]0 ; + ∞ [ et pour tout x > 0,
Th 6 : La fonction ln est strictement croissante sur ] 0 ; + ∞ [.
Pour tous réels a > 0 et b > 0 : ln (a) > ln (b) ⇔ a > b
ln (a) = ln (b) ⇔ a = b
Pour tout réel a > 0 : ln (a) > 0 ⇔ a > 1 ; ln (a) < 0 ⇔ 0 < a < 1.
1
ln ' (x) = .
x
ex: résoudre dans IR l'inéquation e - 3 x + 5 > 8.
la fonction ln étant strictement croissante, cette inéquation est équivalente à ln (e - 3 x + 5) > ln (8).
-3 x + 5 > ln (8)
-3 x > ln (8) – 5 donc x <
S = ]- ∞ ;
5 – ln (8)
3
5 – ln (8)
[
3
Corollaire : Soit I un intervalle de IR. Si u est une fonction dérivable sur I et strictement positive sur I, alors la
u'(x)
fonction composée f = ln ° u est dérivable sur I et pour tout réel x de I, f '(x) =
.
u(x)
ex : f (x) = ln (2 x – 4)
2 x – 4 > 0 sur I = ]2 ; + ∞[ on pose u(x) = 2 x – 4 avec u'(x) = 2.
u'(x)
2
1
f ' (x) =
=
=
.
u(x) 2 x – 4 x – 2
b) Approximation affine au voisinage de 1.
En écrivant que la dérivée de la fonction ln en 1 vaut
1
= 1, on démontre :
1
ln (1 + h)
ln (x)
= 1 ou lim
= 1.
h→ 0
h
x→ 1 x – 1
Pour tout réel h > - 1 , ln (1 + h) = h + h ε (h) avec lim ε (h) = 0
Th 7 : lim
h→ 0
ou pour tout réel x > 0, ln (x) = x – 1 + (x – 1) ε (x) avec lim ε (x) = 0
donc ln (1 + h) ≈ h, pour h proche de 0.
x→ 1
ex : ln (1.01) = ln (1 + 0,01) ≈ 0,01
avec la calculette, on lit ln (1,01) ≈ 0.009950330853, l'erreur est de l'ordre de 0,000 05.
ln (0.98) = ln (1 – 0,02) ≈ - 0,02
avec la calculette, on lit ln (0,98) ≈ -0.02020270732 , l'erreur est de l'ordre de 0,000 2.
4°) Limites.
Th 8 : lim l n (x) = + ∞ ;
x→ +∞
lim ln (x) = – ∞ ;
x→ 0
l n (x)
=0 ;
x→ +∞ x
lim
ln (x)
n = ;
x→ +∞ x
lim x ln (x) = 0.
x→ 0
lim x n ln (x) = 0.
Pour tout entier naturel n non nul, lim
x→ 0
.
on retiendra " en + ∞ et en 0, x n l'emporte sur ln x "
exercice déterminer lim (x – ln x).
x → +∞
C'est une forme indéterminée " ∞ – ∞ ".
on mettra x en facteur :
x – ln x = x ( 1 –
quand x → + ∞
1 → 1
ln x
ln x
→ 0
(1–
) →1
x
x
ln x
).
x
lim ( x – ln x) = + ∞
x → +∞
x → + ∞
5°) Tableau de variation.
0
x
(ln x)' =
1
y = exp(x)
+∞
1
+
x
+∞
y =ln(x)
j
oi
ln
–∞
0
x
e
lim ln (x) = – ∞ donc la droite d'équation y = x est asymptote verticale
x→0
à la courbe.
6°) Relation fonctionnelle caractéristique.
Si la fonction f est définie par f (x) = ln (x), alors f (a b) = f (a) + f (b).
Si la fonction f est définie par f (x) = k ln (x), k étant un réel,
alors f (a b) = k ln (a b) = k [ln (a) + ln (b)]= k ln (a) + k ln (b) = f (a) + f (b).
on se demande s'il existe d'autres fonctions qui vérifient cette propriété.
Th 9 : Les fonctions dérivables f qui vérifient f (a b) = f (a) + f (b) pour tous réels a et b strictement positifs sont
les fonctions f définies par f (x) = k ln (x) , k étant un réel.
7°) Logarithme décimal
ln (10 ²) = 2 ln (10) ;
ln (10 ²) 2 ln (10)
=
=2 ;
ln (10)
ln (10)
ln (10 3) = 3 ln (10) ;
ln (10 3)
=3 ;
ln (10)
si n ∈ ZZ, ln (10 n) = n ln (10)
ln (10 n)
si n ∈ ZZ,
=n.
ln (10)
Déf : On appelle fonction logarithme décimal la fonction , notée log, définie sur ]0 ; + ∞ [ par log (x) =
ln x
.
ln 10
log 10 = 1 et pour tout entier relatif n, log (10 n) = n.
Th 10 : La fonction logarithme décimal a les mêmes propriétés algébriques que la fonction ln, le même sens de
variation et les mêmes limites aux bornes de ]0 ; + ∞ [.