La fonction logarithme.

LOGARITHME NEPERIEN
1°) La fonction ln.
Après avoir dressé le tableau de variation de la fonction exp, en utilisant le corollaire du théorème des valeurs
intermédiaires, on démontre:
Th et déf 1 :
1. Pour tout réel t strictement positif, l'équation exp (x) = t admet une solution unique dans IR.
2. Il existe une fonction notée ln définie sur ]0 ; +
∞
∞[ qui, à tout réel t strictement positif, associe l'unique réel x tel
que exp(x) = t. Cette fonction est appelée fonction logarithme népérien.
+
∞
exp +
∞
ln t = x t = exp(x) si t >0, x = ln(t)
⇔
⇔ t = exp(x) ou x = ln(t)
⇔
⇔ t = e x
-
∞
ln 0
On dit que la fonction exp est une bijection de IR dans ]0 ; +
∞
[.
On dit que la fonction ln est une bijection de ]0 ; +
∞
[ dans IR .
On dit que la fonction ln est la bijection réciproque de la fonction exp et que la fonction exp est la bijection réciproque de
la fonction ln.
Th 2 Pour tout x > 0 , e ln (x) = x.
Pour tout réel x ln ( e x ) = x.
ln(x) = ln(y)
⇔
⇔ x = y
ln (1) = 0.
ln(e) = 1
Th 3 : Dans un repère orthonormal, les courbes C représentative de la fonction ln et C ' représentative de la
fonction exp sont symétriques par rapport à la droite d'équation y = x.
2°) Relations fonctionnelles.
Th 4 1. Pour tout réel x et tout réel y strictement positifs : ln (x y) = ln(x) + ln (y).
2. Pour tout réel x > 0, ln 
1
x = – ln (x).
3. Pour tout réel x et tout réel y strictement positifs : ln ( x
y ) = ln(x) – ln (y).
4. Pour tout réel x > 0 et tout entier relatif p, ln (x p ) = p ln (x).
5. Pour tout réel x > 0 : ln ( x ) = 1
2 ln (x).
exercice:
a) Résoudre dans IR exp(x) = 25.
exp(x) = 25
⇔
x = ln(25) = ln (5 2) = 2 ln (5).
b) Résoudre dans IR l'équation ln (x) = ln (2) + 1
on a ln (x) = ln (2) + ln (e) = ln (2 e)
donc x = 2 e.
c) Résoudre dans IR l'équation ln (x + 2) = ln ( x – 3) + ln (4).
domaine de validité : il faut x + 2 > 0 et x – 3 > 0 donc x > -2 et x > 3
finalement, il faut x > 3.
l'équation est équivalente à ln (x + 2) – ln ( x – 3) = ln (4).
x
o
y = exp(x)
y =ln(x
)

donc à ln 
x + 2
x –3 = ln (4) puis à x + 2 x – 3 = 4
puis à x + 2 = 4 (x – 3) ; x + 2 = 4 x – 12 ; - 3 x = - 14 et finalement x = 14
3 solution acceptée car 14 3 > 3.
remarque : il aurait été plus rapide d'écrire ln (x + 2) = ln ( 4x – 12) donc x + 2 = 4 x – 12 etc…
d) Résoudre dans IR : ln( x² + 3) – ln ( 2 x – 3) = ln ( x + 1).
il faut d'abord x² + 3 > 0 c'est-à-dire x² > -3 toujours vrai
et 2 x – 3 > 0 c'est-à-dire 2 x > 3 c'est-à-dire x > 3
2
et aussi x + 1 > 0 c'est-à-dire x > -1
-1 3/2 il faudra donc x > 3
2
méthode: on se ramène à ln a = ln b.
ln x² + 3
2x –3 = ln (x +1) on a donc x² + 3 2x –3 = x +1.
x² + 3 = ( 2 x – 3) ( x + 1)
x² + 3 = 2 x² + 2 x – 3 x – 3 ou 0 = x² – x – 6
∆ = 25, x1 = 3 et x2 = -2 mais il fallait x > 3
2 donc S = {3}
e) Résoudre dans IR l'inéquation ln x > -7
la fonction exp étant strictement croissante, cette inéquation est équivalente à e ln x > e – 7
donc à x > e – 7 S = ]e – 7 ; +
∞
[
3°) Dérivabilité de la fonction ln.
a) Fonction dérivée.
Th 5 : La fonction ln est continue et dérivable sur ]0 ; +
∞
∞[ et pour tout x > 0, ln ' (x) = 1
x .
Th 6 : La fonction ln est strictement croissante sur ] 0 ; +
∞
∞[.
Pour tous réels a > 0 et b > 0 : ln (a) > ln (b)
⇔
⇔ a > b
ln (a) = ln (b)
⇔
⇔ a = b
Pour tout réel a > 0 : ln (a) > 0
⇔
⇔ a > 1 ; ln (a) < 0
⇔
⇔ 0 < a < 1.
ex: résoudre dans IR l'inéquation e - 3 x + 5 > 8.
la fonction ln étant strictement croissante, cette inéquation est équivalente à ln (e - 3 x + 5) > ln (8).
-3 x + 5 > ln (8)
-3 x > ln (8) – 5 donc x < 5 – ln (8)
3
S = ]-
∞
; 5 – ln (8)
3 [
Corollaire : Soit I un intervalle de IR. Si u est une fonction dérivable sur I et strictement positive sur I, alors la
fonction composée f = ln
°
° u est dérivable sur I et pour tout réel x de I, f '(x) = u'(x)
u(x).
ex : f (x) = ln (2 x – 4)
2 x – 4 > 0 sur I = ]2 ; +
∞
[ on pose u(x) = 2 x – 4 avec u'(x) = 2.
f ' (x) = u'(x)
u(x) = 2 2 x – 4 = 1 x – 2.
b) Approximation affine au voisinage de 1.
En écrivant que la dérivée de la fonction ln en 1 vaut 1
1 = 1, on démontre :
Th 7 : lim
h →→ 0 ln (1 + h) h = 1 ou lim x →→ 1 ln (x) x – 1 = 1.
Pour tout réel h > - 1 , ln (1 + h) = h + h εε(h) avec lim
h →→ 0 εε(h) = 0
ou pour tout réel x > 0, ln (x) = x – 1 + (x – 1) εε(x) avec lim
x →→ 1εε (x) = 0
donc ln (1 + h)
≈
≈ h, pour h proche de 0.

ex : ln (1.01) = ln (1 + 0,01)
≈
0,01
avec la calculette, on lit ln (1,01)
≈
0.009950330853, l'erreur est de l'ordre de 0,000 05.
ln (0.98) = ln (1 – 0,02)
≈
- 0,02
avec la calculette, on lit ln (0,98)
≈
-0.02020270732 , l'erreur est de l'ordre de 0,000 2.
4°) Limites.
Th 8 : lim
x →→ +
∞
∞ l n (x) = +
∞
∞ ; lim
x →→ 0ln (x) = –
∞
∞ ; lim
x →→ +
∞
∞
l n (x)
x = 0 ; lim
x →→ 0 x ln (x) = 0.
Pour tout entier naturel n non nul, lim
x →→ +
∞
∞ ln (x)
x n = ; lim x →→ 0 x n ln (x) = 0.
.
on retiendra " en +
∞
et en 0, x n l'emporte sur ln x "
exercice déterminer lim
x
→
+
∞
(x – ln x).
C'est une forme indéterminée "
∞
–
∞
".
on mettra x en facteur : x – ln x = x ( 1 – ln x
x ).
quand x
→
+
∞
1
→
1
ln x
x
→
0 ( 1 – ln x
x )
→
1lim
x
→
+
∞
( x – ln x) = +
∞
x
→
+
∞
5°) Tableau de variation.
x0 1 +
∞
(ln x)' = 1
x +
ln +
∞
0
–
∞
lim
x → 0ln (x) = –
∞
donc la droite d'équation y = x est asymptote verticale
à la courbe.
6°) Relation fonctionnelle caractéristique.
Si la fonction f est définie par f (x) = ln (x), alors f (a b) = f (a) + f (b).
Si la fonction f est définie par f (x) = k ln (x), k étant un réel,
alors f (a b) = k ln (a b) = k [ln (a) + ln (b)]= k ln (a) + k ln (b) = f (a) + f (b).
on se demande s'il existe d'autres fonctions qui vérifient cette propriété.
Th 9 : Les fonctions dérivables f qui vérifient f (a b) = f (a) + f (b) pour tous réels a et b strictement positifs sont
les fonctions f définies par f (x) = k ln (x) , k étant un réel.
7°) Logarithme décimal
ln (10 ²) = 2 ln (10) ; ln (10 3) = 3 ln (10) ; si n
∈
Z
Z
, ln (10 n) = n ln (10)
ln (10 ²)
ln (10) = 2 ln (10) ln (10) = 2 ; ln (10 3) ln (10) = 3 ; si n
∈
Z
Z
, ln (10 n)
ln (10) = n .
Déf : On appelle fonction logarithme décimal la fonction , notée log, définie sur ]0 ; +
∞
∞[ par log (x) = ln x
ln 10 .
log 10 = 1 et pour tout entier relatif n, log (10 n) = n.
Th 10 : La fonction logarithme décimal a les mêmes propriétés algébriques que la fonction ln, le même sens de
variation et les mêmes limites aux bornes de ]0 ; +
∞
∞[.
x
oi
j
y = exp(x)
y =ln(x)
e