Exponentielle et logarithme Terminale S Courbes représentatives f (x) = exp(x) = ex définie sur R Fonction logarithme 4 à valeurs dans ] 0 ; +∞ [ 3 à valeurs dans R b e e0 = 1 f (x) = ln(x) définie sur ] 0 ; +∞ [ y= exp( x) Fonction exponentielle x) y = ln( 2 1 e = e ≈ 2, 718 ln(1) = 0 ln(e) = 1 b b 1 (ex )′ = ex 1 x′ u (ln(u))′ = u (ln(x))′ = b (eu )′ = u′ eu −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 e3 4 5 −1 lim ex = 0+ lim ex = +∞ x→−∞ lim ln(x) = −∞ −2 x→0+ x→+∞ lim ln(x) = +∞ −3 x→+∞ Propriétés des exponentielles Propriétés des logarithmes a, b et n sont des réels : ✧ Produit : ea × eb = ea+b 1 = e−a ✧ Inverse : ea ea = ea−b ✧ Quotient : eb ✧ Puissance : (ea )n = ean √ 1 ✧ Racine carrée : e2 = e a et b sont des réels strictement positifs, n est un réel : ✧ Produit : ln(ab) = ln(a) + ln(b) 1 = − ln(a) ✧ Inverse : ln a a = ln(a) − ln(b) ✧ Quotient : ln b ✧ Puissance : ln (an ) = n ln(a) √ 1 ✧ Racine carrée : ln ( a) = ln(a) 2 Lien exponentielle et logarithme La fonction exponentielle (de base e) et la fonction logarithme (népérien) sont des fonctions réciproques : leurs courbes représentatives sont symétriques par rapport à la première bissectrice (y = x) ✧ ln(exp x) = x ln(ex ) = x ✧ exp(ln x) = x eln(x) = x ✧ exp x = y ⇐⇒ x = ln(y) ex = y ⇐⇒ x = ln(y) y ✧ x = exp(y ln(x)) xy = ey ln(x) Équations et d’inéquations avec des exponentielles Équations et d’inéquations avec des logarithmes u, v sont des réels, λ est un réel strictement positif : ✧ eu = ev ⇐⇒ u = v eu = λ ⇐⇒ u = ln(λ) u, v sont des réels strictement positifs, λ est un réel : ✧ ln(u) = ln(v) ⇐⇒ u = v ln(u) = λ ⇐⇒ u = eλ ✧ eu > ev ⇐⇒ u > v ✧ eu ≤ ev ⇐⇒ u ≤ v eu > λ ⇐⇒ u > ln(λ) ✧ ln(u) > ln(v) ⇐⇒ u > v eu ≤ λ ⇐⇒ u ≤ ln(λ) ✧ ln(u) ≤ ln(v) ⇐⇒ u ≤ v ✧ eu ≤ 0 impossible et eu > 0 toujours vrai ln(u) > λ ⇐⇒ u > eλ ln(u) ≤ λ ⇐⇒ u ≤ eλ ✧ ln(u) ≤ 0 ⇐⇒ 0 < u ≤ 1 et ln(u) > 0 ⇐⇒ u > 1 Croissance comparée et limites particulières lim xex = 0 x→−∞ ex = +∞ x→+∞ x lim ex − 1 =1 x→0 x lim lim x ln(x) = 0 x→0+ lim x→+∞ ln(x) =0 x lim x→0 ln(1 + x) =1 x
