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PCSI1 LES NOMBRES COMPLEXES - résumé de cours 2016-2017
LES NOMBRES COMPLEXES
I - Le corps des nombres complexes : ℂ
Les nombres complexes sont les nombres s’écrivant 𝑥+𝑖𝑦, où 𝑥et 𝑦sont des réels (𝑥∈ℝ,𝑦∈ℝ)
et 𝑖une quantité vérifiant l’égalité 𝑖2=−1.
Cette écriture est unique sous cette forme : autrement dit, si 𝑥+𝑖𝑦 =𝑥′+𝑖𝑦′avec 𝑥, 𝑦, 𝑥′, 𝑦′
réels, alors nécessairement 𝑥=𝑥′et 𝑦=𝑦′. Attention, on «n’identifie pas» si le caractère réel des
quantités n’est pas assuré : par exemple, −1+0.𝑖 = 0 + 𝑏.𝑖 est vrai pour 𝑏=𝑖 /∈ℝ.
L’ensemble des nombres réels est noté ℂ={𝑧=𝑥+𝑖𝑦 ∣𝑥∈ℝ, 𝑦 ∈ℝ}.
Si 𝑧=𝑥+𝑖𝑦 (avec 𝑥,𝑦réels), on note
𝑥=Re(𝑧)et 𝑦=Im(𝑧)(parties réelle et imaginaire du nombre complexe 𝑧).
Calculs dans ℂ: si 𝑧=𝑥+𝑖𝑦 et 𝑧′=𝑥′+𝑖𝑦′alors
𝑧+𝑧′= (𝑥+𝑥′) + 𝑖(𝑦+𝑦′)et 𝑧𝑧′= (𝑥𝑥′−𝑦𝑦′) + 𝑖(𝑥𝑦′+𝑥′𝑦).
Muni de ces lois, on dit que l’ensemble ℂ, muni des lois +et ×est un corps. L’ensemble ℂcontient ℝ
(le corps des nombres réels) : un nombre réel est un nombre complexe (réciproque fausse en général,
bien entendu).
Parmi les complexes, les nombres de la forme 𝑦.𝑖 (avec 𝑦réel) sont appelés des imaginaires purs.
Dans le plan muni d’un repère orthonormé direct (𝑂, ⃗𝑒1, ⃗𝑒2), si 𝑀est un point de coordonnées (𝑥, 𝑦),
on dit que 𝑧=𝑧𝑀=𝑥+𝑖𝑦 est l’affixe du point 𝑀. Dans ce cas, la longueur 𝑂𝑀 =
−−→
𝑂𝑀
i.e la
norme du vecteur −−→
𝑂𝑀, vaut 𝑂𝑀 =𝑥2+𝑦2. On a la même définition pour un vecteur ⃗𝑣 =𝑥⃗𝑒1+𝑦 ⃗𝑒2
du plan. On note 𝑀(𝑧)(ou ⃗𝑣(𝑧)).
Remarque : l’affixe du vecteur −→
𝐴𝐵 est 𝑧−→
𝐴𝐵 =𝑧𝐵−𝑧𝐴, et sa norme
−→
𝐴𝐵
=∣𝑧𝐵−𝑧𝐴∣.
II - Module et conjugué d’un nombre complexe
Si 𝑧=𝑥+𝑖𝑦 (avec 𝑥,𝑦réels), alors on note
∙¯𝑧=𝑥−𝑖𝑦 : le conjugué du complexe 𝑧(c’est un complexe).
∙ ∣𝑧∣=𝑥2+𝑦2: le module du nombre complexe 𝑧(c’est un réel positif : ∣𝑧∣ ∈ ℝ+).
Remarque 1 :𝑧ׯ𝑧= (𝑥+𝑖𝑦)(𝑥−𝑖𝑦) = 𝑥2+𝑦2: ainsi, ∣𝑧∣2=𝑧¯𝑧.
Remarque 2 :
𝑧+ ¯𝑧= (𝑥+𝑖𝑦)+(𝑥−𝑖𝑦) = 2𝑥= 2Re(𝑧)et 𝑧−¯𝑧= (𝑥+𝑖𝑦)−(𝑥−𝑖𝑦)=2𝑖𝑦 = 2𝑖Im(𝑧).
On en tire les caractérisations suivantes : si 𝑧est un nombre complexe, alors
(𝑧est un réel)⇔(Im(𝑧)=0)⇔(𝑧−¯𝑧= 0)⇔(¯𝑧=𝑧)
–1/8– Lycée Faidherbe, Lille