les nombres complexes

PCSI1 LES NOMBRES COMPLEXES - résumé de cours 2016-2017
LES NOMBRES COMPLEXES
I - Le corps des nombres complexes : ℂ
Les nombres complexes sont les nombres s’écrivant 𝑥+𝑖𝑦, où 𝑥et 𝑦sont des réels (𝑥∈ℝ,𝑦∈ℝ)
et 𝑖une quantité vérifiant l’égalité 𝑖2=−1.
Cette écriture est unique sous cette forme : autrement dit, si 𝑥+𝑖𝑦 =𝑥′+𝑖𝑦′avec 𝑥, 𝑦, 𝑥′, 𝑦′
réels, alors nécessairement 𝑥=𝑥′et 𝑦=𝑦′. Attention, on «n’identifie pas» si le caractère réel des
quantités n’est pas assuré : par exemple, −1+0.𝑖 = 0 + 𝑏.𝑖 est vrai pour 𝑏=𝑖 /∈ℝ.
L’ensemble des nombres réels est noté ℂ={𝑧=𝑥+𝑖𝑦 ∣𝑥∈ℝ, 𝑦 ∈ℝ}.
Si 𝑧=𝑥+𝑖𝑦 (avec 𝑥,𝑦réels), on note
𝑥=Re(𝑧)et 𝑦=Im(𝑧)(parties réelle et imaginaire du nombre complexe 𝑧).
Calculs dans ℂ: si 𝑧=𝑥+𝑖𝑦 et 𝑧′=𝑥′+𝑖𝑦′alors
𝑧+𝑧′= (𝑥+𝑥′) + 𝑖(𝑦+𝑦′)et 𝑧𝑧′= (𝑥𝑥′−𝑦𝑦′) + 𝑖(𝑥𝑦′+𝑥′𝑦).
Muni de ces lois, on dit que l’ensemble ℂ, muni des lois +et ×est un corps. L’ensemble ℂcontient ℝ
(le corps des nombres réels) : un nombre réel est un nombre complexe (réciproque fausse en général,
bien entendu).
Parmi les complexes, les nombres de la forme 𝑦.𝑖 (avec 𝑦réel) sont appelés des imaginaires purs.
Dans le plan muni d’un repère orthonormé direct (𝑂, ⃗𝑒1, ⃗𝑒2), si 𝑀est un point de coordonnées (𝑥, 𝑦),
on dit que 𝑧=𝑧𝑀=𝑥+𝑖𝑦 est l’affixe du point 𝑀. Dans ce cas, la longueur 𝑂𝑀 =
−−→
𝑂𝑀
i.e la
norme du vecteur −−→ 𝑂𝑀, vaut 𝑂𝑀 =𝑥2+𝑦2. On a la même définition pour un vecteur ⃗𝑣 =𝑥⃗𝑒1+𝑦 ⃗𝑒2
du plan. On note 𝑀(𝑧)(ou ⃗𝑣(𝑧)).
Remarque : l’affixe du vecteur −→ 𝐴𝐵 est 𝑧−→
𝐴𝐵 =𝑧𝐵−𝑧𝐴, et sa norme 
−→
𝐴𝐵
=∣𝑧𝐵−𝑧𝐴∣.
II - Module et conjugué d’un nombre complexe
Si 𝑧=𝑥+𝑖𝑦 (avec 𝑥,𝑦réels), alors on note
∙¯𝑧=𝑥−𝑖𝑦 : le conjugué du complexe 𝑧(c’est un complexe).
∙ ∣𝑧∣=𝑥2+𝑦2: le module du nombre complexe 𝑧(c’est un réel positif : ∣𝑧∣ ∈ ℝ+).
Remarque 1 :𝑧ׯ𝑧= (𝑥+𝑖𝑦)(𝑥−𝑖𝑦) = 𝑥2+𝑦2: ainsi, ∣𝑧∣2=𝑧¯𝑧.
Remarque 2 :
𝑧+ ¯𝑧= (𝑥+𝑖𝑦)+(𝑥−𝑖𝑦) = 2𝑥= 2Re(𝑧)et 𝑧−¯𝑧= (𝑥+𝑖𝑦)−(𝑥−𝑖𝑦)=2𝑖𝑦 = 2𝑖Im(𝑧).
On en tire les caractérisations suivantes : si 𝑧est un nombre complexe, alors
(𝑧est un réel)⇔(Im(𝑧)=0)⇔(𝑧−¯𝑧= 0)⇔(¯𝑧=𝑧)
–1/8– Lycée Faidherbe, Lille

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et
(𝑧est un imaginaire pur)⇔(Re(𝑧) = 0)⇔(𝑧+ ¯𝑧= 0)⇔(¯𝑧=−𝑧)
∙Si Ωest un point d’affixe 𝜔, et 𝑟un réel strictement positif, alors l’ensemble des points 𝑀(𝑧)
tels que ∣𝑧−𝜔∣=𝑟(i.e 
−−→
Ω𝑀
= Ω𝑀=𝑟)est le cercle de centre Ω, rayon 𝑟(on obtient le
disque correspondant avec ∣𝑧−𝜔∣⩽𝑟).
Propriétés : pour (𝑧, 𝑧′)∈ℂ2, on a
∙(𝑧= 0) ⇔(Re(𝑧) = Im(𝑧) = 0) ⇔(∣𝑧∣= 0)
∙ ∣𝑧∣=∣¯𝑧∣
∙𝑧+𝑧′= ¯𝑧+¯ 𝑧′,𝑧×𝑧′= ¯𝑧ׯ 𝑧′
∙ ∣𝑧×𝑧′∣=∣𝑧∣×∣𝑧′∣
∙si 𝑧∕= 0, alors 1
𝑧=¯𝑧 𝑧¯𝑧=¯𝑧 ∣𝑧∣2
∙ATTENTION : l’égalité ∣𝑧+𝑧′∣=∣𝑧∣+∣𝑧′∣est FAUSSE en général.
III - L’inégalité triangulaire et ses conséquences
Pour tout (𝑧, 𝑧′)∈ℂ2, on a l’inégalité
∣𝑧+𝑧′∣⩽∣𝑧∣+∣𝑧′∣
La preuve sera faite en cours. Elle utilise notamment les résultats simples suivants :
∙Si 𝑎et 𝑏sont des réels positifs, alors on a l’équivalence (𝑎⩽𝑏)⇔(𝑎2⩽𝑏2).
∙Si 𝑧est un nombre complexe, on a : Re(𝑧)⩽∣Re(𝑧)∣⩽∣𝑧∣.
Conséquences de l’inégalité triangulaire : pour tout (𝑧, 𝑧′)∈ℂ2, on a
∙ ∣𝑧∣−∣𝑧′∣⩽∣𝑧+𝑧′∣⩽∣𝑧∣+∣𝑧′∣
∙ ∣𝑧∣−∣𝑧′∣⩽∣𝑧−𝑧′∣⩽∣𝑧∣+∣𝑧′∣
∙d’où ∣ ∣𝑧∣−∣𝑧′∣ ∣ ⩽∣𝑧±𝑧′∣⩽∣𝑧∣+∣𝑧′∣
∙pour tout 𝜔∈ℂ:∣𝑧−𝑧′∣⩽∣𝑧−𝜔∣+∣𝑧′−𝜔∣
∙pour tout entier 𝑛⩾2pour tous 𝑧1, 𝑧2, . . . , 𝑧𝑛dans ℂ:∣𝑧1+𝑧2+⋅⋅⋅+𝑧𝑛∣⩽∣𝑧1∣+∣𝑧2∣+⋅⋅⋅+∣𝑧𝑛∣.
Cas d’égalité dans l’inégalité triangulaire : pour tout (𝑧, 𝑧′)∈ℂ2, on a
(∣𝑧+𝑧′∣=∣𝑧∣+∣𝑧′∣)⇔𝑧= 0 ou 𝑧′= 0 ou 𝑧′
𝑧est un réel positif
On a aussi : (∣𝑧+𝑧′∣=∣𝑧∣+∣𝑧′∣)⇔(𝑧= 0 ou 𝑧′= 0 ou arg(𝑧) = arg(𝑧′)[2𝜋]) .
Le cas d’égalité correspond donc au cas où, soit l’un des vecteurs ⃗𝑣(𝑧)ou ⃗ 𝑣′(𝑧′)est nul, soit ces deux
vecteurs sont colinéaires et de même sens.
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IV - Une formule TRES importante (somme des termes d’une suite géométrique)
Si 𝑞est une constante complexe, et 𝑛un entier naturel, alors
𝑛
𝑘=0
𝑞𝑘= 1 + 𝑞+𝑞2+𝑞3+⋅⋅⋅ +𝑞𝑛=
𝑛+ 1 si 𝑞= 1
1−𝑞𝑛+1
1−𝑞si 𝑞∕= 1
V - Une autre formule importante (formule du binôme de Newton)
Factorielle d’un entier naturel :
∙0! = 1 (convention)
∙si 𝑛⩾1:𝑛! = 1 ×2×3× ⋅⋅⋅ × 𝑛=
𝑛
𝑘=1
𝑘
∙Propriété : (𝑛+ 1)! = (𝑛+ 1) ×𝑛!d’où (𝑛+ 1)!
𝑛!=𝑛+ 1 . De même : (𝑛+ 1)! 𝑛+ 1 =𝑛!.
Coefficient binomial 𝑛
𝑘, «𝑘parmi 𝑛» :
∙Pour des entiers vérifiant 0⩽𝑘⩽𝑛, on pose 𝑛
𝑘=𝑛! 𝑘!(𝑛−𝑘)! .
Il représente le nombre de façons de choisir 𝑘éléments dans un ensemble à 𝑛éléments.
Remarque : par convention, si 0⩽𝑘⩽𝑛n’est pas vérifié, on pose 𝑛
𝑘= 0 .
∙Propriétés : 𝑛
𝑘=𝑛 𝑛−𝑘et 𝑛 𝑘=𝑛 𝑘𝑛−1 𝑘−1(si 1⩽𝑘⩽𝑛).
∙𝑛
0=𝑛 𝑛= 1,𝑛 1=𝑛,𝑛 2=𝑛(𝑛−1) 2.1,𝑛 3=𝑛(𝑛−1)(𝑛−2) 3.2.1.
Formule générale : 𝑛
𝑘=𝑛 𝑘×𝑛−1 𝑘−1×𝑛−2 𝑘−2× ⋅⋅⋅ × 𝑛−𝑘+ 2 2×𝑛−𝑘+ 1 1.
Exemples : 17
3=17 3×16 2×15 1.
∙si 0⩽𝑘⩽𝑛−1:𝑛
𝑘+𝑛 𝑘+ 1=𝑛+ 1 𝑘+ 1(«formule de Pascal»).
On en déduit la construction du triangle de Pascal :
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
, etc....
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∙«Formule du binôme de Newton ».
Si 𝑎et 𝑏sont des nombres complexes, et 𝑛un entier naturel, alors :
(𝑎+𝑏)𝑛=
𝑛
𝑘=0 𝑛
𝑘𝑎𝑘𝑏𝑛−𝑘=𝑛 0𝑏𝑛+𝑛 1𝑎𝑏𝑛−1+𝑛 2𝑎2𝑏𝑛−2+⋅⋅⋅ +𝑛 𝑛−1𝑎𝑛−1𝑏+𝑛 𝑛𝑎𝑛
i.e (𝑎+𝑏)𝑛=𝑏𝑛+𝑛𝑎𝑏𝑛−1+𝑛(𝑛−1)
2𝑎2𝑏𝑛−2+⋅⋅⋅ +𝑛(𝑛−1) 2𝑎𝑛−2𝑏2+𝑛𝑎𝑛−1𝑏+𝑎𝑛.
Remarque : 𝑎et 𝑏jouant des rôles symétriques dans l’expression (𝑎+𝑏)𝑛, on a également la
formule : (𝑎+𝑏)𝑛=
𝑛
𝑘=0 𝑛
𝑘𝑎𝑛−𝑘𝑏𝑘.
Quelques exemples : (𝑎+𝑏)2=𝑎2+ 2𝑎𝑏 +𝑏2,(𝑎+𝑏)3=𝑎3+ 3𝑎2𝑏+ 3𝑎𝑏2+𝑏3,
(𝑎+𝑏)4=𝑎4+ 4𝑎3𝑏+ 6𝑎2𝑏2+ 4𝑎𝑏3+𝑏4,(𝑎+𝑏)5=𝑎5+ 5𝑎4𝑏+ 10𝑎3𝑏2+ 10𝑎2𝑏3+ 5𝑎𝑏4+𝑏5,
(𝑎+𝑏)6=𝑎6+ 6𝑎5𝑏+ 15𝑎4𝑏2+ 20𝑎3𝑏3+ 15𝑎2𝑏4+ 6𝑎𝑏5+𝑏6,
(𝑎+𝑏)7=𝑎7+ 7𝑎6𝑏+ 21𝑎5𝑏2+ 35𝑎4𝑏3+ 35𝑎3𝑏4+ 21𝑎2𝑏5+ 7𝑎𝑏6+𝑏7...
Remarque : en remplaçant 𝑏par −𝑏dans cette dernière formule, on récupère :
(𝑎−𝑏)𝑛=
𝑛
𝑘=0 𝑛
𝑘(−1)𝑘𝑎𝑛−𝑘𝑏𝑘i.e
(𝑎−𝑏)𝑛=𝑎𝑛−𝑛𝑎𝑛−1𝑏+𝑛(𝑛−1)
2𝑎𝑛−2𝑏2+⋅⋅⋅+(−1)𝑛−2𝑛(𝑛−1) 2𝑎2𝑏𝑛−2+(−1)𝑛−1𝑛𝑎𝑏𝑛−1+(−1)𝑛𝑏𝑛.
Exemples :
(𝑎−𝑏)4=𝑎4−4𝑎3𝑏+ 6𝑎2𝑏2−4𝑎𝑏3+𝑏4,(𝑎−𝑏)5=𝑎5−5𝑎4𝑏+ 10𝑎3𝑏2−10𝑎2𝑏3+ 5𝑎𝑏4−𝑏5.
∙Un cas particulier :
(1 + 𝑧)𝑛=
𝑛
𝑘=0 𝑛
𝑘𝑧𝑘=𝑛 0+𝑛 1𝑧+𝑛 2𝑧2+⋅⋅⋅ +𝑛 𝑛−1𝑧𝑛−1+𝑛 𝑛𝑧𝑛i.e
(1 + 𝑧)𝑛= 1 + 𝑛𝑧 +𝑛(𝑛−1)
2𝑧2+⋅⋅⋅ +𝑛𝑧𝑛−1+𝑧𝑛.
Exemples : (1 + 𝑧)4= 1 + 4𝑧+ 6𝑧2+ 4𝑧3+𝑧4,(1 + 𝑧)5= 1 + 5𝑧+ 10𝑧2+ 10𝑧3+ 5𝑧4+𝑧5.
VI - Paramétrage du cercle trigonométrique
∙𝕌={𝑧∈ℂ∣ ∣𝑧∣= 1}=ensemble des nombres complexes de module 1.
∙(𝑧∈𝕌)⇔(il existe 𝑡∈ℝtel que 𝑧= cos(𝑡) + 𝑖sin(𝑡) = 𝑒𝑖𝑡 ).
Remarque : (𝑧∈𝕌)⇔(𝑧¯𝑧=∣𝑧∣2= 1 i.e ¯𝑧=1
𝑧).
∙Propriété : pour 𝑡et 𝑡′réels, on a 𝑒𝑖𝑡 =𝑒−𝑖𝑡 =1
𝑒𝑖𝑡 , et 𝑒𝑖(𝑡+𝑡′)=𝑒𝑖𝑡 ×𝑒𝑖𝑡′.
D’où l’on déduit les formules :
♥cos(𝑎+𝑏) = cos(𝑎) cos(𝑏)−sin(𝑎) sin(𝑏)et cos(𝑎−𝑏) = cos(𝑎) cos(𝑏) + sin(𝑎) sin(𝑏)
♥sin(𝑎+𝑏) = sin(𝑎) cos(𝑏) + sin(𝑏) cos(𝑎)et sin(𝑎−𝑏) = sin(𝑎) cos(𝑏)−sin(𝑏) cos(𝑎)
♥cos(2𝑥) = cos2(𝑥)−sin2(𝑥) = 2 cos2(𝑥)−1et sin(2𝑥) = 2 sin(𝑥) cos(𝑥)
–4/8– Lycée Faidherbe, Lille

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♥cos(𝑎) cos(𝑏) = 1
2(cos(𝑎+𝑏) + cos(𝑎−𝑏)) d’où cos(𝑝) + cos(𝑞) = 2 cos 𝑝+𝑞
2cos 𝑝−𝑞 2.
♥sin(𝑎) sin(𝑏) = −1
2(cos(𝑎+𝑏)−cos(𝑎−𝑏)) d’où cos(𝑝)−cos(𝑞) = −2 sin 𝑝+𝑞
2sin 𝑝−𝑞 2.
♥sin(𝑎) cos(𝑏) = 1
2(sin(𝑎+𝑏) + sin(𝑎−𝑏)) d’où sin(𝑝) + sin(𝑞) = 2 sin 𝑝+𝑞
2cos 𝑝−𝑞 2.
♥cos(𝑎) sin(𝑏) = 1
2(sin(𝑎+𝑏)−sin(𝑎−𝑏)) d’où sin(𝑝)−sin(𝑞) = 2 cos 𝑝+𝑞
2sin 𝑝−𝑞 2.
♥En définissant tan(𝑥) = sin(𝑥)
cos(𝑥)pour 𝑥∕=±𝜋 2[2𝜋], on a
tan(𝑎+𝑏) = tan(𝑎) + tan(𝑏)
1−tan(𝑎) tan(𝑏),tan(𝑎−𝑏) = tan(𝑎)−tan(𝑏) 1 + tan(𝑎) tan(𝑏),tan(2𝑥) = 2 tan(𝑥) 1−tan2(𝑥).
∙Formules d’Euler : cos(𝑡) = 𝑒𝑖𝑡 +𝑒−𝑖𝑡
2et sin(𝑡) = 𝑒𝑖𝑡 −𝑒−𝑖𝑡 2𝑖.
Application : linéarisation. Exemple : cos3(𝑡) = 1
4(cos(3𝑡) + 3 cos(𝑡)).
∙Factorisation d’une somme de deux complexes de module 1
𝑒𝑖𝑎 +𝑒𝑖𝑏 = 2 cos 𝑎−𝑏
2𝑒𝑖𝑎+𝑏
2et 𝑒𝑖𝑎 −𝑒𝑖𝑏 = 2𝑖sin 𝑎−𝑏
2𝑒𝑖𝑎+𝑏
2
D’où l’on tire : 1 + 𝑒𝑖𝑡 = 2 cos 𝑡
2𝑒𝑖𝑡
2et 1−𝑒𝑖𝑡 =−2𝑖sin 𝑡
2𝑒𝑖𝑡
2.
Puis 1 + cos(𝑡) = 2 cos2(𝑡
2)et 1−cos(𝑡) = 2 sin2(𝑡 2).
∙Formules de Moivre : pour tout entier 𝑛∈ℕet 𝑡réel,
(cos(𝑡) + 𝑖sin(𝑡))𝑛= cos(𝑛𝑡) + 𝑖sin(𝑛𝑡), i.e 𝑒𝑖𝑡𝑛=𝑒𝑖𝑛𝑡 !
Application (avec 𝑛= 3) : cos(3𝑡) = 4 cos3(𝑡)−3 cos(𝑡)et sin(3𝑡) = 3 sin(𝑡)−4 sin3(𝑡).
Rappel : pour tout réel 𝑡,1
𝑒𝑖𝑡 =𝑒−𝑖𝑡 =𝑒𝑖𝑡 .
∙Formules qu’il faut savoir retrouver : pour 𝑡réel et 𝑛∈ℕ,
𝑛
𝑘=0
cos(𝑘𝑡) = 1 + cos(𝑡) + ⋅⋅⋅ + cos(𝑛𝑡) = 
𝑛+ 1 si 𝑡= 0[2𝜋]
sin 𝑛+1
2𝑡
sin 𝑡
2cos 𝑛𝑡
2si 𝑡∕= 0[2𝜋]
𝑛
𝑘=1
sin(𝑘𝑡) = sin(𝑡) + sin(2𝑡) + ⋅⋅⋅ + sin(𝑛𝑡) = 
0si 𝑡= 0[2𝜋]
sin 𝑛+1
2𝑡
sin 𝑡
2sin 𝑛𝑡
2si 𝑡∕= 0[2𝜋]
Méthode : remarquer
𝑛
𝑘=0
cos(𝑘𝑡) = Re 𝑛
𝑘=0
𝑒𝑖𝑘𝑡=Re 𝑛
𝑘=0 𝑒𝑖𝑡𝑘, et
𝑛
𝑘=0
𝑞𝑘=⋅⋅⋅
∙Transformation 𝑎cos(𝑥) + 𝑏sin(𝑥)en 𝐴cos(𝑥−𝜑).
Méthode : on pose 𝐴=√𝑎2+𝑏2, puis 𝑎cos(𝑥) + 𝑏sin(𝑥) = 𝐴𝑎
𝐴cos(𝑥) + 𝑏 𝐴sin(𝑥), où
(𝑎
𝐴)2+ ( 𝑏 𝐴)2= 1, donc il existe 𝜑∈ℝtel que cos(𝜑) = 𝑎 𝐴et sin(𝜑) = 𝑏 𝐴.
Enfin : 𝑎cos(𝑥) + 𝑏sin(𝑥) = 𝐴[cos(𝜑) cos(𝑥) + sin(𝜑) sin(𝑥)] = 𝐴cos(𝑥−𝜑).
Remarque : il s’agit tout simplement de voir 𝑎cos(𝑥) + 𝑏sin(𝑥)comme la partie réelle du
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