les nombres complexes

LES NOMBRES COMPLEXES
Table des mati`eres
1´ Ecriture alg´ebrique d’un nombre complexe 2
1.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Somme, produit et inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.4 ´ Equation dans C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Repr´esentation g´eom´etrique d’un nombre complexe 4
2.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Somme et oppos´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3 Conjugu´e d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3.2 Propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.4 Op´erations ROC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.5 Module d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.5.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.5.2 Propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3´ Ecriture trigonom´etrique d’un nombre complexe 7
3.1 D´efinition d’un argument d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.2 Remarque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.3 Propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.4 D´efinition de l’´ecriture trigonom´etrique d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.5 Th´eor`eme : ´ecritures trigonom´etrique et alg´ebrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.6 Th´eor`eme : l’argument du produit est ´egal la somme des arguments. ROC ................... 8
3.7 Th´eor`eme : l’argument d’un quotient est ´egal la diff´erence des arguments. ROC ................ 8
3.8 Formule de Moivre. ROC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4´ Ecriture exponentielle d’un nombre complexe 10
4.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.2 Remarque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.3 Formules d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1

Les nombres complexes Lyc´ee Marie Curie de Tarbes
Dans ce chapitre le plan est rapport´e `a un rep`ere orthonormal (O;−→ e1,−→ e2)
1´ Ecriture alg´ebrique d’un nombre complexe
1.1 D´efinitions
– L’ensemble des nombres de la forme a+i b , o`u aet bsont des r´eels et iest tel que i2=−1 , est appel´e ensemble des
nombres complexes. On le note C.
Les propri´et´es des op´erations addition et multiplication dans Rse prolongent dans C.
– L’´ecriture z=a+i b est la forme alg´ebrique du nombre complexe z.
aest la partie r´eelle de z,bsa partie imaginaire.
On note R´e(z) = a, Im(z) = b.
Rest une partie de C,Rcontient les nombres complexes dont la partie imaginaire best nulle.
– Tout nombre complexe dont la partie r´eelle aest nulle est appel´e nombre imaginaire pur.
Exemple 1
z=−3 + 2 i, R´e(z) = −3, Im(z) = 2
1.2 Propri´et´es
– Deux nombres complexes sont ´egaux si et seulement si ils ont la mˆeme partie r´eelle et la mˆeme partie imaginaire.
– 0 est consid´er´e la fois comme un r´eel et un imaginaire pur.
1.3 Somme, produit et inverse
Soient z=a+i b et z′=a′+i b′deux nombres complexes.
z+z′= (a+a′) + i(b+b′), z ×z′= (aa′−bb′) + i(ab′+a′b),(z6= 0),1
z=a a2+b2−ib a2+b2.
D´emonstration 1
–z×z′= (a+i b)(a′+i b′) = aa′+i ab′+i a′b+i2bb′=aa′−bb′+i(ab′+a′b)
–1
z=1 a+i b =a−i b (a+i b)(a−i b)=a−i b a2−(ib)2=a−i b a2−(−1)b2=a−i b a2+b2
Exemple 2
La forme alg´ebrique de : 1
3 + i√3est 1 3 + i√3=3−i√3
9 + 3 =1 4−i√3 12 .
1.4 ´ Equation dans C
Th´eor`eme
Soit l’´equation a z2+b z +c= 0 . o`u a, b et csont des r´eels, anon nul, ∆ = b2−4ac est le discriminant.
– Si ∆ = 0 l’´equation admet un unique solution : z=−b
2a.
– Si ∆ >0 l’´equation admet deux solutions r´eelles : z1=−b−√∆
2aet z2=−b+√∆ 2a.
– Si ∆ <0 l’´equation admet deux solutions complexes : z1=−b−i√−∆
2aet z2=−b+i√−∆ 2a.
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Les nombres complexes Lyc´ee Marie Curie de Tarbes
D´emonstration 2
a z2+b z +c=az2+b
az+c a=a"z+b 2a2
−b2
4a2+c a#=a"z+b 2a2
−b2
4a2+4ac 4a2#
Donc a z2+b z +c=a"z+b
2a2
−b2−4ac
4a2#=a"z+b 2a2
−∆
4a2#.
– Si ∆ = 0 alors a z2+b z +c=a"z+b
2a2#
Et a´etant non nul on doit avoir z+b
2a2
= 0 ou z=−b
2a
– Si ∆>0alors a z2+b z +c=a
z+b
2a2
−√∆2
4a2
=a
z+b
2a2
− √∆
2a!2
Et a´etant non nul on doit avoir z+b
2a2
− √∆
2a!2
= 0 ou z+b
2a+√∆ 2a! z+b 2a−√∆ 2a!= 0
Ou encore z−−b−√∆
2a! z−−b+√∆ 2a!= 0
– Si ∆<0,alors ∆ = i√−∆2
Et a´etant non nul on doit avoir z+b
2a2
−i√−∆
2a2
= 0 ou z+b
2a+i√−∆ 2az+b 2a−i√−∆ 2a= 0
Ou encore z−−b−i√−∆
2az−−b+i√−∆ 2a= 0
Exemple 3
France juin 2007
On consid`ere l’´equation :
(E)z3−(4 + i)z2+ (13 + 4i)z−13i= 0
o`u zest un nombre complexe.
1. D´emontrer que le nombre complexe i est solution de cette ´equation.
2. D´eterminer les nombres r´eels a, b et ctels que, pour tout nombre complexe zon ait :
z3−(4 + i)z2+ (13 + 4i)z−13i= (z−i)az2+bz +c.
3. En d´eduire les solutions de l’´equation (E).
Soit (E) l’´equation z3−(4 + i)z2+ (13 + 4i)z−13i = 0.
1. On a : i3−(4 + i)i2+ (13 + 4i)i −13i = −i + 4 + i −4 + 13i −13i = 0 donc iest solution de (E).
2. (z−i)(az2+bz +c) = az3+ (b−ai)z2+ (c−bi)z−ic.
Deux polynˆomes sont ´egaux si et seulement si les coefficients sont ´egaux. On obtient le syst`eme :
a= 1
b−ai = −4−i
c−bi = 13 + 4i
−ic=−13i
⇔
a= 1
c= 13
b−i = −4−i
13 −bi = 13 + 4i
⇔
a= 1
b=−4
c= 13
donc z3−(4 + i)z2+ (13 + 4i)z−13i = (z−i)(z2−4z+ 13).
3. L’´equation (E) s’´ecrit (z−i)(z2−4z+ 13) = 0.
Dans C, un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des facteurs est nul.
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Les nombres complexes Lyc´ee Marie Curie de Tarbes
(a) z−i = 0 ⇔z= i
(b) z2−4z+ 13 = 0.
∆ = −36 = (6i)2<0. Il y a deux racines complexes conjugu´ees 4−6i
2= 2 −3i et 2 + 3i.
L’ensemble des solutions est : S={i ; 2 −3i ; 2 + 3i}
2 Repr´esentation g´eom´etrique d’un nombre complexe
2.1 D´efinitions
Soit M un point de coordonn´ees (x;y).
Le nombre complexe z=x+i y est appel affixe du point M.
Le point M est appel´e image du nombre complexe z.
On note M(z) le point d’affixe z.
Remarques
– Le nombre complexe zest aussi l’affixe du vecteur −−→ OM .
– Le vecteur −−→ OM est aussi l’image du nombre complexe z.
– Le plan muni du rep`ere orthonormal direct (O;−→ e1,−→ e2) est appel plan com-
plexe.
x
y
O−→
e1
−→
e2
M(z)
2.2 Somme et oppos´e
1. Soit M et P deux points d’affixe z=x+i y et z′=x′+i y′.
Le point S d´efini par −→ OS =−−→ OM +−−−→ OM ′a pour affixe z+z′.
2. Le point T d´efini par −→ OT =−−−→ OM a pour affixe −z.
3. l’affixe du vecteur −−−→ MM′est z′−z.
O−→
e1
−→
e2
M(z)M′(z′)
S(z+z′)
T(−z)
Exemple 4
La r´eunion 2007
A, B, C d´esignent les points d’affixes respectives a=−2√3, b =√3−3i et c= 2i.
On d´esigne par E le barycentre du syst`eme {(A ; 1) ; (C ; 3)}.
´
Etablir l’affixe du point E .
Par d´efinition −−→ OE =1
4−→
OA + 3−−→ OC⇔zE=1
4×a+3 4×c=1 4×(−2√3) + 3 4×2i=−√3 2+3 2i.
2.3 Conjugu´e d’un nombre complexe
2.3.1 D´efinitions
Le conjugu´e du nombre complexe z=x+i y est le nombre complexe z=x−iy .
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Les nombres complexes Lyc´ee Marie Curie de Tarbes
2.3.2 Propri´et´es
–z+z= 2 ×R´e(z), z −z= 2 i×Im(z).
–zest un nombre rel si et seulement si z=z.zest un imaginaire pur si et seulement si z=−z.
– Si z=x+i y alors zz=x2+y2.
2.4 Op´erations ROC
Th´eor`eme
Soient les nombres complexes z=x+i y et z′=x′+i y′.
–z+z′=z+z′, z −z′=z−z′, z ×z′=z×z′.
–1
z=1 z
–z
z′=z
z′
–λtant un rel, (λ×z) = λ×z
– (zn) = (z)n,nentier naturel.
D´emonstration 3
On pose z=x+i y, z′=x′+i y′.
–z+z′= (x+i y) + (x′+i y′) = (x+x′) + i(y+y′),et z+z′= (x−i y) + (x′−i y′) = (x+x′)−i(y+y′) = z+z′
–z−z′= (x+i y)−(x′+i y′) = (x−x′) + i(y−y′),et z−z′= (x−i y)−(x′−i y′) = (x−x′)−i(y−y′) = z−z′
–z×z′= (xx′−yy′) + i(xy′+x′y)et z×z′= (x−i y)(x′−i y′) = (xx′−yy′)−i(xy′+x′y) = (z×z′)
–1
z=1 x+i y =x x2+y2−iy x2+y2et 1 z=1 x−i y =x+i y x2+y2=x x2+y2+iy x2+y2=1 z
–z
z′=z×1 z′=z×1 z′=z×1
z′=z
z′
–(λ×z) = λ×z=λ×z, λ ´etant r´eel : λ=λ.
– Montrons par r´ecurrence la propri´et´e : Pn:(zn) = (z)n
•Pour n= 0,(z0) = 10= 1 = 1 et (z)0= 1
•On suppose la propri´et´e vraie au rang n, autrement dit :(zn) = (z)n.
Montrons qu’elle est vraie au rang suivant n+ 1.
(zn+1) = (zn×z) = (zn)×z= (z)n×z= (z)n+1
•La propri´et´e est vraie au rang O, et si elle est vraie au rang nelle est aussi au rang n+ 1.
Elle est donc vraie pour tout nentier naturel.
Exemple 5
France juin 2006
On consid`ere le plan complexe Prapport´e `a un rep`ere orthonormal direct (O;−→ e1,−→ e2).
Mest un point du plan Pdistinct de O et des points d’affixes 1 et i. On admet de mˆeme que M′est distinct de ces trois
points.
´
Etablir l’´egalit´e z′−1
z′−i=1 iz−1 z+i=−iz−1 z−i.
G´eom´etrie 1 Page 5 Francis Rignanese