les nombres complexes

LES NOMBRES COMPLEXES
Table des matières
1 Écriture algébrique d’un nombre complexe
2
1.1
Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2
Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.3
Somme, produit et inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.4
Équation dans C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2 Représentation géométrique d’un nombre complexe
4
2.1
Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.2
Somme et opposé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.3
Conjugué d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.3.1
Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.3.2
Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.4
Opérations ROC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.5
Module d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.5.1
Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.5.2
Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
3 Écriture trigonométrique d’un nombre complexe
7
3.1
Définition d’un argument d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
3.2
Remarque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
3.3
Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
3.4
Définition de l’écriture trigonométrique d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
3.5
Théorème : écritures trigonométrique et algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
3.6
Théorème : l’argument du produit est égal la somme des arguments. ROC . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
3.7
Théorème : l’argument d’un quotient est égal la différence des arguments. ROC . . . . . . . . . . . . . . . .
8
3.8
Formule de Moivre. ROC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
4 Écriture exponentielle d’un nombre complexe
10
4.1
Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
4.2
Remarque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
4.3
Formules d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1
Les nombres complexes
Lycée Marie Curie de Tarbes
→
→
Dans ce chapitre le plan est rapporté à un repère orthonormal (O; −
e1 , −
e2 )
1
Écriture algébrique d’un nombre complexe
1.1
Définitions
– L’ensemble des nombres de la forme a + i b , où a et b sont des réels et i est tel que i2 = −1 , est appelé ensemble des
nombres complexes. On le note C.
Les propriétés des opérations addition et multiplication dans R se prolongent dans C.
– L’écriture z = a + i b est la forme algébrique du nombre complexe z.
a est la partie réelle de z, b sa partie imaginaire.
On note Ré(z) = a,
Im(z) = b.
R est une partie de C, R contient les nombres complexes dont la partie imaginaire b est nulle.
– Tout nombre complexe dont la partie réelle a est nulle est appelé nombre imaginaire pur.
Exemple 1
z = −3 + 2 i,
1.2
Ré(z) = −3,
Im(z) = 2
Propriétés
– Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire.
– 0 est considéré la fois comme un réel et un imaginaire pur.
1.3
Somme, produit et inverse
Soient z = a + i b et z ′ = a′ + i b′ deux nombres complexes.
z + z ′ = (a + a′ ) + i (b + b′ ) ,
z × z ′ = (aa′ − bb′ ) + i (ab′ + a′ b) ,
(z 6= 0),
1
b
a
.
−i 2
= 2
z
a + b2
a + b2
Démonstration 1
– z × z ′ = (a + i b)(a′ + i b′ ) = aa′ + i ab′ + i a′ b + i2 bb′ = aa′ − bb′ + i(ab′ + a′ b)
1
a−ib
a −ib
1
a−ib
a−ib
–
= 2
= 2
=
=
= 2
2
2
z
a+ib
(a + i b)(a − i b)
a − (ib)
a − (−1)b
a + b2
Exemple 2
1
√ est
La forme algébrique de :
3+i 3
1.4
√
√
1
3−i 3
1
3
√ =
= −i
.
9
+
3
4
12
3+i 3
Équation dans C
Théorème
a z 2 + b z + c = 0 . où a, b et c sont des réels, a non nul, ∆ = b2 − 4ac
est le discriminant.
−b
l’équation admet un unique solution : z =
.
2a
√
√
−b + ∆
−b − ∆
et z2 =
.
l’équation admet deux solutions réelles : z1 =
2a
2a
√
√
−b + i −∆
−b − i −∆
et z2 =
.
l’équation admet deux solutions complexes : z1 =
2a
2a
Soit l’équation
– Si ∆ = 0
– Si ∆ > 0
– Si ∆ < 0
Géométrie 1
Page 2
Francis Rignanese
Les nombres complexes
Lycée Marie Curie de Tarbes
Démonstration 2
"
#
"
#
2
2
2
2
b
b
b
b
c
4ac
c
b
=a z+
=a z+
− 2+
− 2+ 2
a z2 + b z + c = a z2 + z +
a
a
2a
4a
a
2a
4a
4a
#
"
#
"
2
2
b
b2 − 4ac
∆
b
=a z+
−
− 2 .
Donc a z 2 + b z + c = a z +
2a
4a2
2a
4a
"
2 #
b
2
– Si ∆ = 0 alors a z + b z + c = a z +
2a
2
b
b
= 0 ou z = −
Et a étant non nul on doit avoir z +
2a
2a

√ 2 

√ !2 
2
2
∆
∆ 
b
b


– Si ∆ > 0 alors a z 2 + b z + c = a  z +
−
−
 = a z +
2
2a
4a
2a
2a
√ !2
2
∆
b
−
= 0 ou
Et a étant non nul on doit avoir z +
2a
2a
!
!
√
√
−b + ∆
−b − ∆
z−
=0
Ou encore z −
2a
2a
√
2
– Si ∆ < 0, alors ∆ = i −∆
2 √
2
b
i −∆
Et a étant non nul on doit avoir z +
−
= 0 ou
2a √
2a
√
−b + i −∆
−b − i −∆
z−
=0
Ou encore z −
2a
2a
√ !
√ !
∆
∆
b
b
z+
=0
z+
+
−
2a
2a
2a
2a
√
√
b
i −∆
i −∆
b
z+
=0
+
−
z+
2a
2a
2a
2a
Exemple 3
France juin 2007
On considère l’équation :
(E)
z 3 − (4 + i)z 2 + (13 + 4i)z − 13i = 0
où z est un nombre complexe.
1. Démontrer que le nombre complexe i est solution de cette équation.
2. Déterminer les nombres réels a, b et c tels que, pour tout nombre complexe z on ait :
z 3 − (4 + i)z 2 + (13 + 4i)z − 13i = (z − i) az 2 + bz + c .
3. En déduire les solutions de l’équation (E).
Soit (E) l’équation z 3 − (4 + i)z 2 + (13 + 4i)z − 13i = 0.
1. On a : i3 − (4 + i)i2 + (13 + 4i)i − 13i = −i + 4 + i − 4 + 13i − 13i = 0 donc i est solution de (E).
2. (z − i)(az 2 + bz + c) = az 3 + (b − ai)z 2 + (c − bi)z − ic.
Deux
polynômes sont égauxsi et seulement si les coefficients






a
= 1
a
= 1








a



 c

 b − ai = −4 − i
= 13
⇔
⇔
b



 b−i

 c − bi = 13 + 4i
= −4 − i








c




13 − bi = 13 + 4i
−ic
= −13i
sont égaux. On obtient le système :
=
1
=
−4
=
13
donc z 3 − (4 + i)z 2 + (13 + 4i)z − 13i = (z − i)(z 2 − 4z + 13).
3. L’équation (E) s’écrit (z − i)(z 2 − 4z + 13) = 0.
Dans C, un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des facteurs est nul.
Géométrie 1
Page 3
Francis Rignanese
Les nombres complexes
Lycée Marie Curie de Tarbes
(a) z − i = 0 ⇔ z = i
(b) z 2 − 4z + 13 = 0.
∆ = −36 = (6i)2 < 0. Il y a deux racines complexes conjuguées
4 − 6i
= 2 − 3i et 2 + 3i.
2
L’ensemble des solutions est : S = {i ; 2 − 3i ; 2 + 3i}
2
Représentation géométrique d’un nombre complexe
2.1
Définitions
Soit M un point de coordonnées (x; y).
Le nombre complexe z = x + i y est appel affixe du point M.
M (z)
y
Le point M est appelé image du nombre complexe z.
b
b
On note M(z) le point d’affixe z.
→
−
e2
Remarques
−−→
– Le nombre complexe z est aussi l’affixe du vecteur OM .
−−→
– Le vecteur OM est aussi l’image du nombre complexe z.
→
→
– Le plan muni du repère orthonormal direct (O; −
e1 , −
e2 ) est appel plan com-
b
b
O
→
−
e1
x
plexe.
2.2
Somme et opposé
1. Soit M et P deux points d’affixe z = x + i y et z ′ = x′ + i y ′ .
−→ −−→ −−−→
Le point S défini par OS = OM + OM ′ a pour affixe z + z ′ .
−→
−−→
2. Le point T défini par OT = −OM a pour affixe −z.
−−−→
3. l’affixe du vecteur M M ′ est z ′ − z.
b
M(z)
b
b
→
−
e2
S(z + z ′ )
M ′ (z ′ )
b
O
→
−
e1
b
T (−z)
Exemple 4
La réunion 2007
√
√
A, B, C désignent les points d’affixes respectives a = −2 3, b = 3 − 3i et c = 2i.
On désigne par E le barycentre du système {(A ; 1) ; (C ; 3)}.
Établir l’affixe du point E .
√
√
−−→
−−→ 1 −→
1
3
1
3 3
3
OA + 3OC ⇔ zE = × a + × c = × (−2 3) + × 2 i = −
+ i.
Par définition OE =
4
4
4
4
4
2
2
2.3
2.3.1
Conjugué d’un nombre complexe
Définitions
Le conjugué du nombre complexe z = x + i y est le nombre complexe z = x − iy .
Géométrie 1
Page 4
Francis Rignanese
Les nombres complexes
2.3.2
Lycée Marie Curie de Tarbes
Propriétés
– z + z = 2 × Ré(z),
z − z = 2 i × Im(z).
– z est un nombre rel si et seulement si z = z . z est un imaginaire pur si et seulement si z = −z.
– Si z = x + i y alors zz = x2 + y 2 .
2.4
Opérations ROC
Théorème
Soient les nombres complexes z = x + i y et z ′ = x′ + i y ′ .
– z + z ′ = z + z ′ , z − z ′ = z − z ′,
1
1
=
–
z
z
z
z
= ′
–
z′
z
– λ tant un rel, (λ × z) = λ × z
z × z ′ = z × z ′.
n
– (z n ) = (z) , n entier naturel.
Démonstration 3
On pose z = x + i y,
z ′ = x′ + i y ′ .
– z + z ′ = (x + i y) + (x′ + i y ′ ) = (x + x′ ) + i (y + y ′ ),
et z + z ′ = (x − i y) + (x′ − i y ′ ) = (x + x′ ) − i (y + y ′ ) = z + z ′
– z − z ′ = (x + i y) − (x′ + i y ′ ) = (x − x′ ) + i (y − y ′ ),
et z − z ′ = (x − i y) − (x′ − i y ′ ) = (x − x′ ) − i (y − y ′ ) = z − z ′
– z × z ′ = (xx′ − yy ′ ) + i (xy ′ + x′ y)
y
1
x
1
−i 2
=
= 2
–
2
z
x+iy
x +y
x + y2
–
z
z′
=
et z × z ′ = (x − i y)(x′ − i y ′ ) = (xx′ − yy ′ ) − i (xy ′ + x′ y) = (z × z ′ )
et
1
x
y
1
x+iy
= 2
+i 2
=
=
= 2
2
2
z
x−iy
x +y
x +y
x + y2
1
z
1
1
z
1
=z× ′ = ′
z× ′ =z×
′
z
z
z
z
– (λ × z) = λ × z = λ × z, λ étant réel : λ = λ.
n
– Montrons par récurrence la propriété : Pn : (z n ) = (z)
• Pour n = 0,
(z 0 ) = 10 = 1 = 1
0
et (z) = 1
n
• On suppose la propriété vraie au rang n, autrement dit : (z n ) = (z)
.
Montrons qu’elle est vraie au rang suivant n + 1.
(z n+1 ) = (z n × z) = (z n ) × z = (z)n × z = (z)n+1
• La propriété est vraie au rang O, et si elle est vraie au rang n elle est aussi au rang n + 1.
Elle est donc vraie pour tout n entier naturel.
Exemple 5
France juin 2006
→
→
On considère le plan complexe P rapporté à un repère orthonormal direct (O; −
e1 , −
e2 ).
M est un point du plan P distinct de O et des points d’affixes 1 et i. On admet de même que M ′ est distinct de ces trois
points.
z′ − 1
1
Établir l’égalité ′
=
z −i
i
Géométrie 1
z−1
z+i
z−1
= −i
.
z−i
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Les nombres complexes
Lycée Marie Curie de Tarbes
Pour tout z 6= 0 :
1
1−z
−1
z−1
1−z
1 z−1
1−z
1 z−1
1 z−1
z′ − 1
z
z
=
= ×
= −i
=
=
=
=
×
=
1
1−iz
z′ − i
1 − iz
i(−i − z)
i
z+i
i
i z−i
z−i
z−i
−i
z
z
2.5
2.5.1
Module d’un nombre complexe
Définition
Soit M un point du plan d’affixe z. On appelle module du nombre complexe z la distance OM . On le note |z| = OM .
2.5.2
•
•
•
•
Propriétés
Soit M et M ′ deux points d’affixes respectives les nombres complexes z et z ′ .
p
Si z = x + i y alors |z| = x2 + y 2
√
|z| = |z| , z × z = x2 + y 2 =⇒ |z| = z × z
z
1
1
|z|
′
′
|z × z | = |z| × |z |, =
, ′ = ′ .
z
|z|
z
|z |
M M ′ = |z ′ − z|.
• |z + z ′ | ≤ |z| + |z ′ |
• |z n | = |z|n ,
n entier naturel.
Démonstration 4
• Si z = x + i y
alors le point M pour coordonnes (x; y) et donc |z| = OM =
p
x2 + y 2
• z × z = (x + i y)(x − i y) = x2 − (i y)2 = x2 − (−y 2 ) = x2 + y 2
√
• Nous avons vu que |z| = z × z,
q
q
p
p
√
d’où |z × z ′ | = zz ′ × (zz ′ ) = z × z ′ × z × z ′ = (z × z) × (z ′ × z ′ ) = z × z × z ′ × z ′ = |z| × |z ′ |
r
s
r
1
1
1
1
1
1 1
1
=
×
× =
=√
=
De même =
z
z
z
z
z
z×z
|z|
z×z
z 1
1
1 |z|
′ = z × ′ = |z| × ′ = |z| × ′ = ′ .
z
z
z
|z |
|z |
• |z + z ′ | ≤ |z| + |z ′ |
Soit les points M et M’ d’affixes respectives z et z ′ .
b
M
b
M
′
P est le symétrique de M’ par rapport l’origine du repère O.
P a donc pour affixe −z ′ .
b
On a ainsi P M ≤ P O + OM . Mais P O = OM ′ d’o P M ≤ OM ′ + OM .
O
Autrement dit |z + z ′ | ≤ |z| + |z ′ |.
b
P
• On démontre par récurrence la propriété :|z n | = |z|n ,
– Si n = 0, z 0 = 1 et |z|0 = 1
n entier naturel.
Géométrie 1
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Les nombres complexes
Lycée Marie Curie de Tarbes
– On suppose la propriété vraie au rang n autrement dit, |z n | = |z|n
On a alors z n+1 = |z n × z| = |z n | × |z| = |z|n × |z| = |z|n+1
– On a montré que la propriété est vraie au rang 0 et qui si elle est vraie au rang n elle est aussi au rang n + 1.
Cette propriété est donc vraie pour tout n entier naturel.
−−−→
• L’affixe du vecteur M M ′ est z ′ − z d’où M M ′ = |z ′ − z|.
Exemple 6
Polynésie juin 2006
On appelle A et B les points du plan d’affixes respectives a = 1 et b = −1. On considère l’application f qui, à tout point
M différent du point B, d’affixe z, fait correspondre le point M ′ d’affixe z ′ définie par
z′ =
z−1
z+1
1. Déterminer les points invariants def c’est-à-dire les points M tels que M = f (M ).
2. Montrer que, pour tout nombre complexe z différent de −1, (z ′ − 1) (z + 1) = −2.
3. En déduire une relation entre |z ′ − 1| et |z + 1| , pour tout nombre complexe z différent de −1.
4. Traduire ces deux relations en termes de distances.
z−1
⇐⇒ z(z + 1) = z − 1 ⇐⇒ z 2 + z = z − 1 ⇐⇒ z 2 = −1 ⇐⇒ z = i ou z = −i.
z+1
Les points invariants par f sont les deux points d’affixes i et −i
z−1−z−1
z−1
′
(z + 1) = z − 1 − z − 1 = −2.
− 1 (z + 1) =
2. z 6= −1, (z − 1)(z + 1) =
z+1
z+1
3. L’égalité de ces deux complexes entraı̂ne l’égalité de leurs modules
1. Si z 6= −1, z =
Soit (z ′ − 1)(z + 1)| = | − 2| ⇐⇒ |z ′ − 1| × |z + 1| = 2 ⇐⇒ AM ′ × BM = 2.
3
Écriture trigonométrique d’un nombre complexe
3.1
Définition d’un argument d’un nombre complexe
Soit M un point d’affixe le nombre complexe z non nul.
On appelle argument de z tous les réels θ, mesure en radians de
−−→
→
l’angle −
e1 ; OM .
On note arg(z) = θ + 2kπ, k ∈ Z ou arg(z) = θ [2π] (modulo [2π] ).
b
M
→
−
e2
θ
Autrement dit, un nombre complexe non nul a une infinité d’arguments.
b
Si θ est l’un d’entre eux, tout autre argument de z s’crit θ + 2kπ.
O
→
−
e1
On dit aussi qu’un argument de z est défini modulo 2π.
3.2
Remarque
−−→
−
suppose M 6= 0.
Le nombre complexe 0 n’a pas d’argument car la définition arg(z) = →
e1 ; OM
Géométrie 1
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Les nombres complexes
3.3
Lycée Marie Curie de Tarbes
Propriétés
1. Si z est un rel strictement positif alors arg(z) = 0
b
2. Si z est un rel strictement négatif alors arg(z) = π [2π].
π
[π].
3. Si z est un imaginaire pur non nul alors arg(z) =
2
4. Si arg(z) = θ [2π] alors arg(−z) = θ + π [2π]
5. Si arg(z) = θ
3.4
alors arg (z) = −θ
[2π]
A
[2π].
[2π].
→
−
e2
θ
θ+π
b
O
→
−
e1
−θ
Bb
b
C
Définition de l’écriture trigonométrique d’un nombre complexe
Tout nombre complexe z non nul, de module r et dont un argument est θ, peut
s’écrire z = r (cos(θ) + i sin(θ)) .
y
Cette écriture est appelée écriture trigonométrique du nombre complexe z.
b
M (z)
r
N
3.5
Théorème : écritures trigonométrique et algébrique
b
sin(θ)
Soit z = x + i y un nombre complexe non nul.
On a z = |z| (cos(θ) + i sin(θ))
x
et
avec cos(θ) = p
x2 + y 2
Réciproquement :
si z = r (cos(θ) + i sin(θ)) , r > 0
Démonstration 5
p
z = x + i y = x2 + y 2
3.6
x
θ
b
O
y
sin(θ) = p
x2 + y 2
cos(θ)
x
.
alors |z| = r et arg(z) = θ [2π].
y
p
+p
x2 + y 2
x2 + y 2
!
= |z|(cos θ + i sin θ)
Théorème : l’argument du produit est égal la somme des arguments. ROC
Soit z de module r et d’argument θ, z ′ de module r′ et d’argument θ′ deux nombres complexes non nuls.
arg(z × z ′ ) = arg(z) + arg(z ′ )
.
Démonstration 6
On écrit
z = r(cos θ + i sin θ) et z ′ = r′ (cos θ′ + i sin θ′ )
On a alors z × z ′ = r(cos θ + i sin θ) × r′ (cos θ′ + i sin θ′ ) = r r′ (cos θ + i sin θ) × (cos θ′ + i sin θ′ )
D’o z × z ′ = r r′ (cos θ cos θ′ + i cos θ sin θ′ + i sin θ cos θ′ − sin θ sin θ′ )
Soit z × z ′ = r r′ [cos θ cos θ′ − sin θ sin θ′ + i(sin θ cos θ′ + cos θ sin θ′ )] = r r′ [cos(θ + θ′ ) + i sin(θ + θ′ )]
Autrement dit multiplier deux nombres complexes non nuls revient multiplier les modules et ajouter les arguments.
3.7
Théorème : l’argument d’un quotient est égal la différence des arguments. ROC
Soit z et z ′ deux nombres complexes non nuls.
z
1
= −arg(z) et arg ′ = arg(z) − arg(z ′ ) .
On a arg
z
z
Géométrie 1
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Les nombres complexes
Lycée Marie Curie de Tarbes
Démonstration 7
1
1
= arg(1)
= 1 et donc arg z ×
z
z
1
1
Or arg z ×
= arg(z) + arg
et arg(1) = 0.
z
z
1
=0
Et donc arg(z) + arg
z
1
1
′
• On a arg(z × z ) = arg(z) ×
= arg(z) − arg(z ′ )
= arg(z) + arg
z′
z
• z×
3.8
Formule de Moivre. ROC
Soit z = r(cos θ + i sin θ) et n un entier naturel. On a z n = rn (cos(n θ) + i sin(n θ)) .



•
|z n | = |z|n


Autrement dit



 • arg (z n ) = n × arg(z)
Démonstration 8
On démontre par récurrence la propriété :
• Si
n = 0,
z n = rn (cos(n θ) + i sin(n θ)).
z 0 = 1 et rn (cos(n θ) + i sin(n θ)) = r0 (cos(0) + i sin(0)) = 1
• On suppose la propriété vraie au rang n autrement dit, z n = rn (cos(n θ) + i sin(n θ)), ou
|z n | = |z|n ,
et
arg (z n ) = n × arg(z)
* z n+1 = |z n × z| = |z n | × |z| = |z|n × |z| = rn × r = rn+1 .
* arg z n+1 = arg (z n × z) = arg (z n ) + arg(z) = n × arg(z) + arg(z) = (n + 1) × arg(z).
* Autrement dit z n+1 = rn+1 [cos ((n + 1) θ) + i sin ((n + 1) θ)].
• On a montré que la propriété est vraie au rang 0 et qui si elle est vraie au rang n elle est aussi au rang n + 1. Cette
propriété est donc vraie pour tout n entier naturel
Exemple 7
La réunion sept 2007
Soit les nombres complexes :
z1 =
√
√
2 + i 6, z2 = 2 + 2i
et
Z=
z1
.
z2
1. Écrire Z sous forme algébrique.
2. Donner les modules et arguments de z1 , z2 et Z.
π
π
et sin .
3. En déduire cos
12
12
4. Écrire sous forme algébrique le nombre complexe Z 2007 .
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
2 2 + i 2 6 − 2 2ı − 2 i2 6
(2 − 2 i)( 2 + i 6)
2 6+2 2
2 6−2 2
2+i 6
=
=
=
+i
.
2
2
2+
8
8
8
√ 2i √
√ 2 +√2
6+ 2
6− 2
Et donc Z =
+i
.
4
4
z1
=
1. Z =
z2
Géométrie 1
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Les nombres complexes
Lycée Marie Curie de Tarbes
√
√
√
√
√
2 + i 6, |z1 | = 2 +!6 = 8 = 2 2.
√
√
√ !
√
√
2
6
3
1
√ +i √
D’o z1 = 2 2
=2 2
.
+i
2
2
2 2
2 2
√
π
1
3
et sin θ =
. Soit θ =
[2π].
Et donc cos θ =
2 p
2√
3
√
2
2
– z2 = 2 + 2i, |z2 | = 2 + 2 = 8 = 2 2.
√
√ !
√ !
√
√
√
2
2
2
2
1
2
√ +i √
=2 2 √ +i√
=2 2
D’o z2 = 2 2
.
+i
2
2
2 2
2 2
2
2
√
√
π
2
2
et sin θ =
. Soit θ =
[2π].
Et donc cos θ =
2
2
4
√
z1
|z1 |
2 2
– Z = , donc |Z| =
= √ = 1.
z2
|z
|
2 2
2
z1
π π
π
Et arg(Z) = arg
= arg(z1 ) − arg(z2 ) = − =
[2π].
z2
3
4
12
√
√
π √6 + √2
π
6− 2
+ i sin
=
+i
.
3. Z = cos
12
12
4
4
π √6 + √2
π √6 − √2
Et donc cos
=
=
et sin
.
12
4
12
4 π
π
+ i sin 2007 ×
.
4. D’après la formule de Moivre : Z 2007 = cos 2007 ×
12
12
2007 π
1992 π 15 π
15 π
5π
Or
=
+
= 166 π +
= 83 × 2 π +
.
12
12 12
4
12
5π
5π
Et donc Z 2007 = cos
+ i sin
4
4
√
√
π
π
π
π
5π
2
2
5π
= cos π +
= − cos
=−
= sin π +
= − sin
=−
, sin
Or cos
4 √
4
4
2
4
4
4
2
√
2
2
2007
D’o Z
=−
−i
2
2
2. – z1 =
4
Écriture exponentielle d’un nombre complexe
On considère la fonction f définie sur R et valeurs dans C par f (θ) = cos θ + i sin θ, θ rel.
Ainsi f (θ + θ′ ) = cos(θ + θ′ ) + i sin(θ + θ′ ).
f (θ) a pour module 1 et argument θ
f (θ′ ) a pour module 1 et argument θ′
f (θ) × f (θ′ ) a pour module 1 et argument θ + θ′
Mais aussi f (θ + θ′ ) a pour module 1 et argument θ + θ′
Donc f (θ + θ′ ) = f (θ) × f (θ′ ) (même module et même argument)
De plus f (0) = cos 0 + i sin 0 = 1.
La fonction f vérifie les propriétés d’une fonction exponentielle, soit f (θ) = eiθ .
4.1
Définition
– Le nombre complexe de module 1 et dont un argument est θ est not eiθ .
– Si z est un nombre complexe de module r et d’argument θ on écrit z = r eiθ .
Autrement dit
Géométrie 1
eiθ = cos θ + i sin θ
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Francis Rignanese
Les nombres complexes
4.2
Lycée Marie Curie de Tarbes
Remarque
1. ei 0 = 1,
e
iπ
2
′
= i,
e
= −1,
e
iπ
4
√
√
2
2
=
+i
.
2
2
′
eiθ
= ei(θ−θ )
eiθ′
n
eiθ = ei n θ .
′
2. eiθ × eiθ = ei(θ+θ ) ,
3. Formule de Moivre :
4.3
iπ
Formules d’Euler

 eiθ = cos θ + i sin θ
donne
 e−iθ = cos θ − i sin θ
cos θ =
eiθ + e−iθ
2
et sin θ =
eiθ − e−iθ
2i
Exemple 8
Antilles juin 2005
Soit A le point d’affixe 1 ; soit B le point d’affixe −1.
Soit f l’application du plan P privé de O dans P qui :
à tout point M d’affixe z distinct de O associe le point M ′ = f (M ) d’affixe z ′ =
−1
.
z
π
1. Soit E le point d’affixe ei 3 ; on appelle E ′ son image par f . Déterminer l’affixe de E ′ sous forme exponentielle, puis
sous forme algébrique.
2. Soit K le point d’affixe 2ei
5π
6
et K ′ l’image de K par F .
Déterminer l’affixe de K ′ sous forme exponentielle, puis sous forme algébrique..
3. On désigne par R un point d’affixe 1 + eiθ où θ ∈] − π ; π[. R appartient au cercle C3 de centre A et de rayon 1.
z−1
.
z
En déduire que : |z ′ + 1| = |z ′ |.
(a) Montrer que z ′ + 1 =
(b) Si on considère maintenant les points d’affixe 1 + eiθ où θ ∈] − π ; π[, montrer que leurs images sont situées sur
une droite. On pourra utiliser le résultat du a..
′
1. L’affixe E est −
′
2. L’affixe de K est
1
π
ei 3
=−
−1
2ei
3. (a) On a : z ′ + 1 =
5π
6
−1
1
iπ
3
π
e−i 3
=
= −e
−1
2e−i
+1=
5π
6
iπ i π
3
=e e
i 4π
3
= e
√
3
1
=− −i
2
2
√
−1 i 5π
1 iπ i 5π
1 i 11π
3 1
=
e 6 = e e 6 = e 6 =
− i
2
2
2
2
2
z−1
. Donc |z ′ + 1| =
|z − 1|
z
z
|z|
Comme R est un point du cercle de centre A, d’affixe 1, et de rayon 1, alors :
1
1
′
= = |z ′ |
|z − 1| = 1 ⇔ |z − 1| = 1 ⇔ |z − 1| = 1. Donc, |z + 1| =
|z| z (b) Comme |z ′ + 1| = |z ′ |, alors BR’=OR’ car B a pour affixe -1, donc R’ appartient la médiatrice du segment [OB].
Ainsi l’image de R, point distinct de O, appartenant au cercle C3 de centre A et de rayon 1 est sur une droite : la
médiatrice du segment [OB] .
Géométrie 1
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