Chap. 02 NOMBRES COMPLEXES

Nombres complexes_chap02 PCSI
Chap. 02 NOMBRES COMPLEXES
Introduction
On a vu dans le premier chapitre comment le passage de l’ensemble des rationnels à l’ensemble des réels permettaient
de donner sens aux solutions de certaines équations tout en conservant les règles de calculs valables pour les rationnels.
Ces nombres réels ont en outre une réalisation géométrique, par exemple le réel 2 solution de l’équation x2 = 2 est
l’hypoténuse d’un triangle isocèle rectangle de côté 1.
Cependant des équations aussi simples que x2 + 1 = 0 n’ont pas de solutions dans . Rien n’empêche de créer une
variable qui serait soumise à cette relation mais c’est une chose de créer ainsi des nombres « imaginaires », c’en est une
autre de savoir faire du calcul avec, en conservant en plus les règles de calcul ordinaires. On ne voit pas très bien
d’emblée ce que pourraient représenter ces nombres imaginaires. Pourtant quand on cherche à résoudre une équation de
degré 3 ayant trois racines réelles et qu’on désire des formules générales comme celles qui existent pour les trinômes du
second degré, il faut passer par l’intermédiaire d’un trinôme qui n’a pas forcément de racine réelle. C’est d’ailleurs
comme cela que les nombres complexes ont été introduits historiquement avant que leur utilisation ne s’avère si féconde
tant en mathématiques qu’en physique. Il peut être utile cependant de décrire a priori une réalisation concrète de ces
nombres et aboutissant naturellement à la forme des nombres complexes tels qu’ils ont été un peu arbitrairement
présentés en Terminale.
On commence par des rappels de trigonométrie.
§1
Rappels trigonométriques
1.1
Rappels géométriques
1.1.1 Le plan muni d’une unité de longueur et d’un repère orthonormé
t t
(O, i , j ) est appelé plan euclidien et sera noté E2 .
→
1.1.2 Etant donné un point M du plan, le vecteur OM se
t
t
décompose sous la forme x i + y j .
Une telle écriture est unique.
→
t t
On dit que le couple (x, y) ∈ 2 est le couple de coordonnées cartésiennes du vecteur OM dans la base ( i , j ).
t t
On dit que le couple (x, y) ∈ 2 est le couple de coordonnées cartésiennes du point M dans le repère cartésien (O, i , j ).
1.1.3 La distance entre deux points A et B est le réel AB =
(xB − xA)2 + (yB − yA)2 où (xA , yA) et (xB , yB) sont les couples de
coordonnées respectives des points A et B.
1.2
Fonctions sinus et cosinus
1.2.1 Définition (cercle trigonométrique)
Le cercle trigonométrique ou cercle unité est l’ensemble des points du plan situés à distance 1 de l’origine O :
U = {(x, y) ∈ 2 / x2 + y2 = 1}
1.2.2 Soit t un réel positif représentant le temps. On parcourt le cercle trigonométrique dans le sens inverse des aiguilles
d’une montre (sens trigonométrique ou sens direct) à partir du point I de U de coordonnées (1,0) et à vitesse constante
égale à 1.
Notons M(t) la position au temps t sur U.
→
→
On dit que t est une mesure en radians du couple de vecteurs ( OI , OM(t)).
→
→
Le cosinus de l’angle ( OI , OM(t)), noté cos(t) est l’abscisse du point M(t).
- page 1 -
Nombres complexes_chap02 PCSI
→
→
Le sinus de l’angle ( OI , OM(t)), noté sin(t) est l’ordonnée du point M(t).
On définit de même cos(t) et sin(t) pour t < 0 en parcourant U, toujours à partir de I mais dans le sens des aiguilles
d’une montre. Dans ce cas, cos(t) et sin(t) sont respectivement l’abscisse et l’ordonnée du point occupé au temps |t|.
1.2.3 Si π désigne le demi-périmètre du cercle trigonométrique, on a donc (compléter le tableau) :
0
t
π
π/2
−π
− π/2
π/6
π/3
π/4
− π/6
− π/4
− π/3
2π/3
3π/4
2π
cos(t)
sin(t)
1.2.4 Par définition même, on a
∀ t ∈ , cos2(t) + sin2(t) = 1
1.2.5 Définition (vecteur radial)
→
t
t
Par définition de cosinus et sinus, le vecteur OM(t) s’écrit aussi cos(t) i + sin(t) j .
Pour tout réel θ, on note
t
t
t
→
→
uθ = cos(θ) i + sin(θ) j = OM(θ)
t
t
t
vθ = − sin(θ) i + cos(θ) j = OM(θ + π/2)
t
t
Les vecteurs uθ et vθ sont donc unitaires.
t
‹ En physique, ce vecteur est noté er , le « r » faisant référence au rayon. La notation mathématique a toutefois
l’avantage de faire explicitement référence à la mesure de l’angle.
1.3
Ecriture modulo
1.3.1 Définition
Soit a un nombre réel non nul. On dit que deux réels x et y sont égaux modulo a si x − y ∈ a où a = {ka , k ∈ }.
On note x ≡ y [a] ou simplement x = y [a] (lire « x égal à y modulo a).
x = y [a] ∃ k ∈ , x = y + ka
1.3.2 Exemples
π/2 = 3π/2 [π] , 5π/3 = − π/3 [2π]
2π/3 = π/6 [π/2]
x = 0 [π] x ∈ π ∃ k ∈ , x = kπ
1.3.3 Si x = y [a] alors pour tout réel c, on a cx = cy [ac].
‹ Par exemple, x = y [2π] x/2 = y/2 [π]
1.3.4 Définition
t
t
t
→
t
→
Etant donnés deux vecteurs non nuls u et v , on peut écrire u = OA et v = OB .
Le segment [OA] coupe U en un point de la forme M(tA) et le segment [OB]
coupe U en un point de la forme M(tB).
Plus précisément, les vecteurs
t
1 →
1 →
OA et
OB sont unitaires, de même
OA
OB
t
direction et même sens que u et v respectivement et on a
→
→
1 →
1 →
OA = OM(tA) et
OB = OM(tB).
OB
OA
Les réels tA et tB ne sont pas uniques mais seulement définis modulo 2π.
- page 2 -
Nombres complexes_chap02 PCSI
t t
On appelle mesure de l’angle orienté du couple de vecteurs ( u , v ), le réel tB − tA qui est défini modulo 2π.
t t
On note ( u , v ) = tB − tA [2π].
1.3.5 Remarques
t
→
t
→
1) On a tA = ( i ,OA ) [2π] , tB = ( i ,OB ) [2π].
2) Comme la mesure est définie modulo 2π, il existe une seule mesure située dans l’intervalle ]− π, π]. Cette mesure
t t
s’appelle mesure principale du couple ( u , v )
1.3.6 Exemples
t
1) cas des vecteurs uθ
t t
∀ θ ∈ , ( i , uθ ) = θ [2π]
t t
t
t
t t
∀ α ∈ , ∀ β ∈ , ∀ γ ∈ , (uα , uβ ) = β − α [2π] et (uα +γ , uβ +γ) = (uα , uβ ) [2π]
2) cas des triangles
→ →
→ →
Dans un triangle ABC rectangle en A, on a ( AB , AC ) = π/2 [2π] ou bien ( AB , AC ) = − π/2
[2π]. Dans le premier cas, on dit que le triangle est direct et dans le second cas, on dit que le
triangle est indirect.
→ →
De même, si ABC est équilatéral, on a ( AB , AC ) = ± π/3 [2π] et on parle de triangle équilatéral
direct ou indirect.
1.4
Relations trigonométriques de base
Toutes ces formules sont à connaître sans hésitation !
1.4.1 Les deux fonctions cosinus et sinus sont 2π-périodiques :
∀ t ∈ , cos(t + 2π) = cos(t) et sin(t + 2π) = sin(t)
t t
t t
1.4.2 On peut donc définir sans ambiguïté les réels, cos( u , v ) et sin( u , v ) pour un couple de vecteurs non nuls.
1.4.3 La fonction cosinus est paire sur et la fonction sinus est impaire sur :
∀ t ∈ , cos(− t) = cos(t) et sin(− t) = − sin(t)
1.4.4 ∀ t ∈ , cos(π − t) = − cos(t) et sin(π − t) = sin(t)
∀ t ∈ , cos(π + t) = − cos(t) et sin(π + t) = − sin(t)
1.4.5 Propriété (déphasage entre cos et sin)
∀ t ∈ , cos(π/2 − t) = sin(t) et sin(π/2 − t) = cos(t)
ou de façon équivalente,
∀ t ∈ , cos(π/2 + t) = − sin(t) et sin(π/2 + t) = cos(t)
Preuve (en classe)
- page 3 -
Nombres complexes_chap02 PCSI
1.4.6 Corollaire
t
t
∀ θ ∈ , vθ = u θ+π/2
t
t
Le vecteur vθ est donc le vecteur unitaire directement orthogonal à uθ .
Preuve
t
t
t
t
t
t
vθ = − sin(θ) i + cos(θ) j = cos(θ + π/2) i + sin(θ + π/2) j = u θ+π/2
1.4.7 Propriété (équations trigonométriques)
i) cos(a) = 0 a = π/2 [π] ; cos(a) = 1 a = 0 [2π] ; cos(a) = − 1 a = π [2π]
ii) sin(a) = 0 a = 0 [π] ; sin(a) = 1 a = π/2 [2π] ; sin(a) = − 1 a = − π/2 [2π]
iii) cos(a) = cos(b) a = ± b [2π]
iv) sin(a) = sin(b) a = b [2π] ou bien a = π − b [2π]
Preuve (en classe)
1.4.8 Pour tout réel t ≠ π/2 [π], on définit la tangente de t ; c’est le réel
sin(t)
tan(t) =
cos(t)
→
Avec les notations de 1.2.2, il s’agit de la pente de la droite (OM(t)).
1.5
Formules d’addition
1.5.1 Propriété
Pour tous réels a et b on a,
cos(a + b) = cos(a) cos(b) − sin(a) sin(b)
sin(a + b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b)
ce qui donne aussi :
cos(a − b) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b)
sin(a − b) = sin(a) cos(b) − cos(a) sin(b)
Preuve (en classe)
1.5.2 Corollaire (formules de duplication d’usage très courant)
∀ a ∈ , cos(2a) = cos2(a) − sin2(a) = 2cos2(a) − 1 = 1 − 2sin2(a)
∀ a ∈ , sin(2a) = 2sin(a)cos(a)
- page 4 -
Nombres complexes_chap02 PCSI
1.5.3 Propriété
Pour tous réels a et b tels que a ≠ π/2 [π] , b ≠ π/2 [π] et a + b ≠ π/2 [π], on a l’identité,
tan(a + b) =
tan(a) + tan(b)
1 − tan(a)tan(b)
Preuve (en classe)
1.5.4 Propriété
tan(a) = tan(b) a = b [π]
Preuve (en classe)
1.6
Coordonnées polaires
1.6.1 Définition
Soit M un point du plan euclidien distinct de l’origine. Le vecteur
t
t
1 t
OM est unitaire, donc de la forme uθ .
OM
t
On peut donc écrire OM = OM uθ .
t
t
On dit que (r , θ) est un couple de coordonnées polaires du vecteur u ≠ 0 (ou du point
t
t
M tel que OM = u ) si
t
t
u = r uθ , r > 0
t t
On a forcément d’une part, θ = ( i , u ) [2π], l’angle θ étant donc défini modulo 2π,
t
et d’autre part, r = || u || = OM.
t
t
θ s’appelle angle polaire de u (ou de M) et r s’appelle rayon polaire de u (ou de M).
1.6.2 Propriété (passage coordonnées cartésiennes - coordonnées polaires)
t
Soit u un vecteur non nul de coordonnées cartésiennes (x,y) et de coordonnées polaires (r, θ). Alors,
x = rcosθ
y = rsinθ
- page 5 -
Nombres complexes_chap02 PCSI
§2
Construction des nombres complexes
2.1
Recherche d’une réalisation des nombres « imaginaires »
De quels nombres imaginaires s’agit-il ? Ceux qui ne sont pas encore captés par l’ensemble , par exemple les
solutions de l’équation x2 = − 1 qui ne peuvent effectivement pas être réelles. On en cherche une réalisation qui
donnerait sens à ces nouveaux nombres et qui expliquerait les règles de calcul sur ces nombres.
Les nombres réels eux ont par exemple une réalisation géométrique : tout réel correspond à une position bien définie sur
la droite réelle car on peut ordonner les nombres réels.
Remarquons que les opérations et donc le calcul sur les réels, s’étendent aux vecteurs et aux fonctions :
On sait définir la somme de deux vecteurs et la multiplication d’un vecteur par un réel :
•
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
si u = x i + y j et v = x’ i + y’ j , alors u + v = (x + x’) i + (y + y’) j et a u = (ax) i + (ay) j
On verra a posteriori que les nombres complexes ont effectivement une réalisation géométrique dans le plan et que les
opérations sur les nombres complexes peuvent également se comprendre géométriquement. Mais pour cela, il nous
faudra définir auparavant la notion de transformation du plan.
On sait aussi définir la somme et le produit de deux fonctions f et g de dans :
•
en posant (f + g)(x) = f (x) + g(x) pour tout x réel, on définit une nouvelle fonction notée f + g .
•
en posant ( f g)(x) = f (x) × g(x) pour tout x réel, on définit une nouvelle fonction notée f g .
Cherchons donc plutôt un modèle fonctionnel pour nos nombres imaginaires. Pour cela, notons t une solution
« imaginaire » de l’équation x2 = − 1. Ainsi, t a le statut d’une variable mais soumise à la relation t2 = − 1. Les fonctions
les plus simples après les fonctions constantes sont les fonctions affines t # a + bt. Voyons ce que donnent les
opérations sur les fonctions lorsqu’on les applique à des fonctions affines de la variable t .
Si f (t) = a + bt et si g(t) = a’ + b’t , alors
•
pour la somme, ( f + g)(t) = (a + a’) + (b + b’)t et c’est encore une fonction affine en t .
•
quant au produit, on a : f (t) g(t) = (a + bt)( a’ + b’t) = aa’ + (ab’ + ba’)t + bb’t2 ≡ aa’ − bb’ + (ab’ + ba’)t
Ainsi, en faisant le produit f g « modulo » la relation t2 = − 1, on obtient encore une fonction affine en t.
Nos nombres imaginaires seraient ainsi les fonctions de la forme at + b avec les règles d’addition et de multiplication
qu’on vient d’énoncer. En quelque sorte, il s’agirait du premier étage d’un édifice dont le rez-de-chaussée serait
constitué des fonctions constantes. Se donner une fonction constante, c’est se donner un réel et les opérations sur les
fonctions constantes coïncident avec celles de . Autrement dit le rez-de-chaussée de l’immeuble n’est autre que !
Comme une fonction affine est représenté par un couple de points (a,b), donc correspond sans ambiguïté à un point du
plan, ce modèle fonctionnel donne naissance à un modèle géométrique. Mais l’idée reste la même : passer de la droite
réelle au plan, revient à dupliquer la droite et à gérer deux coordonnées a et b, que ce soit le coefficient directeur et
l’ordonnée à l’origine d’une fonction affine ou bien les deux coordonnées cartésiennes d’un point du plan.
Cette petite introduction devrait rendre moins énigmatique et arbitraire la définition des nombres complexes qui va être
parachutée au paragraphe suivant.
- page 6 -
Nombres complexes_chap02 PCSI
2.2
Définition de 2.2.1 Définition
On appelle ensemble des nombres complexes, noté , l'ensemble 2 muni des deux opérations suivantes :
(x , y) + (x' , y' ) = (x + x' , y + y' ) (addition des vecteurs)
(x , y) × (x' , y' ) = (xx' − yy' , xy' + x' y ) (multiplication de deux vecteurs)
t
Le complexe associé au vecteur j = (0,1), se note habituellement en mathématiques i.
‹
‹
Le symbole × est en général omis comme dans .
En physique, i désigne l'intensité; le nombre complexe correspondant au couple (0,1) est alors noté j alors qu'en
mathématique, j désigne le nombre complexe (− 1/2 , 3/2) !
2.2.2 Exemple
i2 = (0, 1) × (0, 1) = (− 1 , 0)
2.2.3 Lemme
Pour tout réel λ et tout complexe z = (x,y), on a (λ , 0) z = (λx , λy).
Pour z = i, on obtient (y , 0) i = (0 , y) ;
Pour λ = − 1, on obtient (−1 , 0) z = (− x , − y) qui est l'opposé de z, noté simplement − z.
2.2.4 Notations
i) Le nombre complexe (λ , 0) est simplement noté λ ; on a donc d'après 2.2.4, λ(x , y ) = (λx , λy) .
En particulier, le complexe (0,0) est noté simplement 0.
Sur le modèle de *, * désigne alors privé de 0 : * = \ {0}.
ii) La relation i2 = (− 1 , 0) de 2.2.2 devient i2 = − 1.
2.2.5 Propriété (écriture algébrique d’un complexe)
Tout nombre complexe z = (x,y) se décompose en
z = (x , 0) + (0 , y) = x (1,0) + y (0,1) = x + i y avec x, y réels
Cette écriture est unique et s'appelle l'écriture algébrique (ou cartésienne) de z
2.2.6 Propriété (des opérations)
Pour tous complexes z1, z2 et z3 , on a
i) z1 + z2 = z2 + z1 et z1 z2 = z2 z1 (commutativité)
ii) Lorsqu'on fait plusieurs additions (ou multiplications) successives, les parenthèses sont superflues (associativité) :
(z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3) et (z1 z2) z3 = z1 (z2 z3)
iii) z1(z2 + z3) = z1 z2 + z1 z3 (on dit que la multiplication dans est distributive sur l'addition).
Preuve
On écrit z1 = x1 + iy1 , z2 = x2 + iy2 , z3 = x3 + iy3.
ii) (z1 z2) z3 = (x1 x2 − y1 y2 + i(x1 y2 + x2 y1))(x3 + iy3)
= (x1 x2 − y1 y2)x3 − (x1 y2 + x2 y1)y3 + i((x1 x2 − y1 y2)y3 + (x1 y2 + x2 y1)x3)
z1 (z2 z3) = (x1 + iy1)( x2 x3 − y2 y3 + i(x2 y3 + y2 x3)) = …
iii) exercice.
2.2.7 Remarques
*
1) Grâce à (ii), on peut définir zn pour n ∈ .
2) Grâce à la distributivité, on retrouve aisément l’expression du produit :
- page 7 -
Nombres complexes_chap02 PCSI
(x + iy)(x’ + iy’) = xx’ + xi(iy’) + (iy)x’ + (iy)(iy’) = xx’ − yy’ + i(xy’ + x’y)
3) Grâce à (iii) et (i), les identités remarquables ont encore cours dans :
(z + z’)2 = z2 + z’2 + 2zz’ , (z − z’)2 = z2 + z’2 − 2zz’ , z2 − z’2 = (z − z’)(z + z’)
2.2.8 Exemple
Mettre (3 − 2i)2 (1 + 4i) sous forme algébrique.
2.3
Conjugaison
2.3.1 Définitions
Dans l'écriture algébrique z = x + i y, le réel x s'appelle la partie réelle de z et se
note Re(z) et le réel y s'appelle la partie imaginaire de z et se note Im(z).
Lorsque x = 0, on dit que z est imaginaire pur.
Lorsque y = 0, on dit que z est réel;
Ainsi, deux complexes sont égaux ssi ils ont même partie réelle et imaginaire.
Remarques
‹ Re(z) et Im(z) sont donc par définition dans .
‹ La notation Re z2 est ambiguë : Re (z2) ou bien Re(z)2 ? prendre par exemple z = i.
On identifie à la partie de constituée par les nombres complexes de partie imaginaire nulle. Pour ces nombres, les
opérations sur sont les opérations habituelles sur .
Le conjugué de z = x + i y est le nombre complexe z− = x − i y .
2.3.2 Propriété
∀ z, z' ∈ , Re(z + z’) = Re(z) + Re(z’)
∀ z ∈ , ∀ k ∈ , Re(kz) = kRe(z)
Preuve (exercice)
2.3.3 Propriétés du conjugué
(simple mais important pour les exercices)
z − z−
2i
−
−
ii) z ∈ z = z ; z imaginaire pur z = − z
i) ∀ z ∈ , Re(z) =
z + z−
et Im(z) =
2
−
iii) ∀ z ∈ , −z = z
∀ z, z' ∈ , z + z' = z + z' , z z' = z z'
Preuve
z − z−
= 2iy/2i = y = Im(z).
2i
ii) z ∈ y = 0 Im(z) = 0 ( z − z− )/2i = 0 z− = z
z imaginaire pur x = 0 Re(z) = (z + z− )/2 = 0 z− = − z
i)
z + z−
= 2x/2 = x = Re(z) et
2
iii) (en classe)
- page 8 -
Nombres complexes_chap02 PCSI
2.4
Module
2.4.1 Définition (plan complexe)
t t
Le plan euclidien E2 muni d'un repère orthonormé (O, i , j ) s'identifie à 2. Par conséquent, s'identifie aussi au plan
euclidien et à tout nombre complexe z = x + iy correspond le point M de coordonnées (x , y) dans E2 appelé image de z.
Réciproquement, à tout point M de E 2 correspond un seul nombre complexe z appelé affixe de M.
On parle alors du plan complexe.
2.4.2 Définition (module d'un nombre complexe)
On appelle module du nombre complexe z = x + i y, le nombre
positif
x2 + y2 Le module de z se note | z |.
Remarque
| z | = ( Re(z)2 + Im(z)2 = OM où le point M est l'image de z.
2.4.3 Propriétés du module
i) L'application z # | z | prolonge la valeur absolue de (d'où la notation).
ii) | z |2 = z z− et | z | = | −z |.
iii) ∀ z , z' ∈ , | z z' | = | z | | z' |
−
iv) ∀ z , z' ∈ , | z + z' |2 = | z |2 + | z' |2 + 2Re(z z' ).
Preuve (en classe)
2.4.4 Corollaire
| z | = 1 z z− = 1
2.4.5 Corollaire (règle du produit nul dans )
i) |z| = 0 ssi z = 0.
ii) z z' = 0 z = 0 ou z' = 0.
2.4.6 Corollaire (inverse d’un complexe)
Tout complexe non nul z possède un inverse, noté 1/z ou z− 1. Par définition, on a donc z ×
1
= 1.
z
1
z−
=
: l’inverse s’obtient en multipliant en haut et en bas par le conjugué.
z
|z|2
1
1
x − iy
cela donne notamment l’écriture algébrique de
: si z = x + iy , alors
= 2
.
z
z
x + y2
On a de plus,
Preuve
Pour z non nul, on a z −z = |z|2 ≠ 0 d’où z
z−
= 1.
|z|2
- page 9 -
Nombres complexes_chap02 PCSI
2.4.7 Propriété
∀ z ∈ , ∀ z' ∈ *, |
z
|z|
1
1
| =
et en particulier, | | =
.
z'
| z' |
z
|z|
Preuve
|z| = | (z/z') z' | = |z/z' | |z' | ...
2.4.8 Exemples
Ecriture algébrique de l’inverse de z = 1 + i , de z = (1 + 3i)2
2.4.9 Propriété (comportement du module vis à vis des puissances entières)
n
 z = z × z × … × z (n copies de z) pour n > 0
Pour tout complexe z non nul et tout entier n dans , on pose zn =  1 pour n = 0
 (1/z)− n pour n < 0
Les nombres de la forme zn jouissent des propriétés habituelles des puissances :
−−
1
zn
i) ∀ z ∈ , ∀ n, m ∈ , (zn)m = zn m , zn zm = zn + m , z− n = n , m = zn − m , z−n = zn
z
z
z n
z1n
ii) ∀ z1 , z2 ∈ , ∀ n ∈ , z1n z2n = (z1 z2)n et 
= ( 1 ) . z1z2z1 z2
n
z2
z2
Les propriétés du module s'étendent aux exposants entiers :
iii) ∀ z ∈ *, ∀ n ∈ , | zn | = | z | n .
Preuve
Propriétés purement algébriques, mêmes preuves que dans .
Par exemple, pour les modules, il faut prouver que pour tout n ∈ , | zn | = | z |n et | z− n | = | z | − n : la première se
prouve par récurrence et la deuxième, en remplaçant z par 1/z.
2.4.10 Inégalité triangulaire
Propriété
i ) ∀ z, z' ∈ , | z − z' | ≤ | z | + | z' | avec égalité ssi le segment de droite reliant les
images de z et z' contient l'origine.
ii ) On a aussi | | z | − | z' | | ≤ | z − z' | .
Preuve (en classe)
2.4.11 Définition (groupe des unités)
L'ensemble U = {z ∈ / | z | = 1} = {z ∈ / z z− = 1} s'appelle groupe des unités de .
2.4.12 Propriété
i) Les images des éléments de U dans le plan complexe sont les points du cercle unité ce qui justifie l’adoption de la
même notation que pour le cercle trigonométrique.
ii) U est stable par produit et par inverse et contient 1.
Preuve (en classe)
- page 10 -
Nombres complexes_chap02 PCSI
§3
Exponentielle complexe
3.1
Ecriture trigonométrique et exponentielle
Etant donné z = x + iy ∈ *, son image M dans le plan complexe possède un couple de coordonnées polaires de la
forme (r , θ) avec
r = OM = x2 + y2 = |z| , θ = ( i É
, OM ) [2π]
t
t
et on a rcosθ = x = Re(z) , rsinθ = y = Im(z)
On peut donc écrire,
z = rcosθ + i rsinθ = r(cosθ + i sinθ) = |z| (cosθ + i sinθ)
3.1.1 Définitions (argument et relation d’Euler)
i) Tout complexe non nul z peut s’écrire sous la forme z = |z| (cosθ + i sinθ)
Cette écriture s'appelle la forme trigonométrique de z.
Le réel θ qui est défini à un multiple entier de 2π près est appelé argument du nombre complexe non nul z et se
note arg(z).
ii) On pose pour tout nombre réel θ ,
eiθ = cos(θ) + i sin(θ) (relation d'Euler)
Tout complexe non nul peut donc s’écrire z = |z| eiθ , avec θ = arg(z) [2π].
Cette écriture s'appelle la forme exponentielle de z.
Le choix de la notation exponentielle se justifie a posteriori par les propriétés des nombres eiθ.
3.1.2 Propriété (critère d'égalité)
Deux nombres complexes sont égaux ssi ils ont même module et même argument modulo 2π.
3.1.3 Exemples
1) eiπ = − 1.
2) Pour z1 = 1 + i 3 et z2 = − 3 + i , donner l'écriture trigonométrique et l'écriture exponentielle.
3.1.4 Propriétés immédiates

i) | eiθ | = 1 ; eiθ = ei (− θ) , noté abusivement e− iθ.
Si z = reiθ alors z− = re− iθ .
ii) Re(eiθ) = cos(θ) =
eiθ + e− iθ
eiθ − e− iθ
et Im(eiθ) = sin(θ) =
2
2i
formules utiles dans de nombreux calculs.
3.1.5 Propriété (paramétrisation du cercle trigonométrique)
U = { eiθ / θ ∈ } en identifiant le cercle trigonométrique avec son image dans le plan complexe (cf 2.4.11).
En effet, U est l'ensemble des complexes de module 1 qui sont de la forme eiθ et réciproquement tous les eiθ sont de
module 1.
Il s’agit d’une description paramétrique de U, le paramètre étant le réel θ : lorsque θ décrit , eiθ parcourt U.
Remarque
On retrouvera tout au long de l’année ces deux façons de décrire un ensemble : soit par sélection (en se donnant des
équations), soit de façon constructive à l’aide d’une représentation paramétrique. Par exemple, les imaginaires purs sont
définis par la condition Re(z) = 0 mais c’est aussi l’ensemble i ce qui en donne une description paramétrique.
- page 11 -
Nombres complexes_chap02 PCSI
3.2
Justifications de l'écriture exponentielle
Si l’écriture algébrique est bien adaptée à l’addition, on va voir que l'écriture exponentielle convient mieux pour la
multiplication. Les formules x = rcosθ et y = rsinθ assurent la traduction entre les formules en écriture algébrique et
celles en écriture trigonométrique.
3.2.1 Théorème
Pour tous réels θ et θ ', on a eiθ eiθ' = ei (θ + θ')
preuve
Cela repose sur les formules usuelles de trigonométrie :
(cosθ + i sinθ )(cosθ' + i sinθ') = (cosθ cosθ' − sinθ sinθ') + i(cosθ sinθ' + sinθ cosθ') = cos(θ + θ') + i sin(θ + θ')
3.2.2 Propriété (produit en écriture exponentielle)
Soient z = reiθ et z' = r' eiθ', alors zz' = r r' ei (θ + θ')
Ainsi, pour multiplier, on multiplie les modules, on additionne les arguments .
3.2.3 Remarque
On retrouve ainsi la formule | z z' | = rr' = | z | | z' | de façon naturelle.
3.2.4 Propriété (inverse en écriture exponentielle)
L'inverse du complexe non nul z = reiθ est le complexe
1 − iθ
e .
r
Preuve
En effet, (reiθ )(
1 − iθ
1
e
) = (r )ei (θ + (− θ)) ) = 1.
r
r
3.2.5 Remarque
Le théorème 3.2.1 ainsi que la formule 1/eiθ = e− iθ justifient l’adoption de la notation exponentielle.
3.2.6 Théorème (Formule de Moivre)
∀ θ ∈ , ∀ n ∈ , (eiθ)n = einθ
Bien noter que la formule est valable pour n dans et pas seulement pour n dans .
Preuve (en classe)
3.2.7 Corollaire
Pour tout entier naturel n, on a :
cos(nθ) = Re(einθ) = Re((cosθ + i sinθ)n )
sin(nθ) = Im(einθ) = Im((cosθ + i sinθ)n )
ce qui permet d'exprimer cos(nθ) et sin(nθ) en fonction de cosθ et sinθ .
- page 12 -
Nombres complexes_chap02 PCSI
3.2.8 Propriété (de l’argument)
Pour z non nul, on a
i) arg( z− ) = arg(1/z) = − arg(z) [2π]
 arg(z) [2π] si λ est réel > 0
ii) arg(λz) = 
 arg(z) + π [2π] si λ est réel < 0
ii) arg( z z' ) = arg(z) + arg(z') [2π] , arg( z /z' ) = arg(z) − arg(z') [2π]
iii) ∀ n ∈ , arg (zn) = n arg(z) [2π]
Preuve (en classe)
3.2.9 Propriété (valeurs remarquables de l’argument)
i) arg(z) = 0 [π] z ∈ *
*
Plus précisément, arg(z) = 0 [2π] z ∈ + ; arg(z) = π [2π] z ∈ ] − ∞ , 0[
ii) arg(z) = ± π/2 [2π] = π/2 [π] z ∈ i* (z imaginaire pur)
Preuve (en classe)
‹
Rappel : si 2arg (z) = 0 [2π] , alors arg(z) = 0 [π] !
3.2.10 Exemple
z2 ∈ * ...
3.3
Exponentielle complexe
Il s'agit de définir une exponentielle sur qui redonne l'exponentielle réelle en restriction à et la relation d'Euler en
restriction aux imaginaires purs et qui échange somme et produit. La seule définition possible est la suivante (pourquoi ?) :
3.3.1 Définition
Etant donné un complexe z = x + iy , on pose
e z := ex e i y
x
où e désigne l'exponentielle réelle et e
z
iy
est donné par la relation d'Euler. On note aussi exp(z).
x
Si z est réel, on a bien e = e et si z est imaginaire pur, on a bien ez = e i y.
3.3.2 Propriété
e z1
i) ∀ z1 , z2 ∈ , ez1 + z2 = e z1 e z2 et ez1 − z2 = 
e z2
ii) ∀ z ∈ , | e z | = e Re(z) et arg(e z) = Im(z) [2π]
−

iii) ∀ z ∈ , ez = e z
Preuve (en classe)
3.3.3 Propriété
e z = e z' z − z' ∈ 2iπ ; e z = 1 z ∈ 2iπ
Preuve (en classe)
- page 13 -
Nombres complexes_chap02 PCSI
§4
Equations dans 4.1
Racines n-ième de l'unité
4.1.1 Théorème
Pour n ≥ 1, l'équation zn = 1 possède n racines complexes de la forme
e2ik π/n , k = 0, … , n − 1 (n valeurs consécutives de k)
On les appelle racines n-ième de l'unité.
Si on note ω = e2iπ/n , alors les racines n-ième sont de la forme ωk = ωk , k = 0, … , n − 1.
Preuve (en classe)
4.1.2 Exemple
Décrire les racines n-ième de l’unité pour n = 2, 3, 4.
4.1.3 Théorème
Pour n ≥ 2, la somme des racines n-ième de l'unité est nulle.
Preuve (en classe)
4.1.4 Théorème
Pour n ≥ 1, l'ensemble des racines n-ième de l'unité est un sous-ensemble de U stable par produit et inverse.
On le note Un.
Un = {z ∈ , zn = 1} = { e2ik π/n , k = 0, … , n − 1}
Pour n ≥ 3, leurs images dans le plan complexe forment un polygone régulier à n côtés inscrit dans le cercle
unité.
Preuve (en classe)
n = 2p + 1 impair
n = 2p pair
4.1.5 Exemple
j .
Les racines cubiques de l'unité sont 1 , j = e2iπ/3 et e4iπ/3 = j2 = e− 2iπ/3 = −
On a 1 + j + j2 = 0. Placer sur le graphique les images de 1 , j , j2 , − j , − j2.
- page 14 -
n=3
Nombres complexes_chap02 PCSI
Les racines cubiques de l'unité jouent un rôle important dans la résolution des équations polynomiales du troisième
degré.
4.2
Racines n-ième d'un complexe non nul
4.2.1 Théorème
Tout nombre complexe non nul u possède n racines n-ième distinctes dans . Elles s’obtiennent par la relation
racines n-ième de u = (une racine n-ième particulière) × racines n-ième de l'unité.
On peut prendre comme racine n-ième particulière : |u|1/n ei arg(u)/n
D'où la forme des racines n-ième de u : |u|1/n ei arg(u)/n ωk avec ωk = e2ik π/n , k = 0 , … , n − 1
La somme des racines n-ième de u est donc nulle.
Preuve (en classe)
4.2.2 Exemple
Déterminer les racines cubiques de 1 + i et placer leurs images dans le plan complexe. Expliquer pourquoi ces images
forment encore un triangle équilatéral. Généraliser pour u quelconque non nul.
4.2.3 Calcul algébrique des racines carrées
Déterminer les racines n-ième d'un complexe écrit sous forme exponentielle est facile (cf 3.2.1). Cela est plus difficile
sous forme algébrique. On se contente ici d'examiner le cas des racines carrées, nécessaire pour résoudre les trinômes
du second degré.
Il s'agit donc de trouver x et y tels que (x + i y)2 = a + i b , a et b étant des réels fixés.
2
2
 x − y = a
(x + i y) = x − y + 2ixy = a + i b  x2 + y2 = | a + i b | = a2 + b2  xy = b/2
2
2
2
a + a2 + b2
2

 y = −a+ a
 xy = b/2 2
x2 =
2
2
+ b2
Les deux premières équations donnent x et y au signe près et la dernière indique si x et y ont le même signe ou bien sont
de signes opposés. Il y a deux choix opposés pour le couple (x,y) pour garantir le signe de xy. On a donc deux racines
carrées opposées.
4.2.4 Exemples
1)
Calculer les racines carrées de 1 + i à la fois sous forme exponentielle et sous forme algébrique.
2)
Déterminer les racines carrées de 3 − 4i.
- page 15 -
Nombres complexes_chap02 PCSI
4.3
Equations du second degré
4.3.1 Définition
Un trinôme du second degré à coefficients complexes est une expression de la forme az2 + bz + c où a, b, c sont trois
complexes, a étant non nul et où z est une variable complexe.
4.3.2 Théorème
Toute équation az2 + bz + c = 0 (a ≠ 0) à coefficients complexes possèdent deux solutions (éventuellement
confondues) données par
z1 =
−b+δ
−b−δ
et z2 =
2a
2a
avec δ qui est l'une quelconque des deux racines carrées complexes du discriminant ∆ = b2 − 4ac.
Preuve
On met l'équation sous forme réduite (z + b/2a)2 = b2/4a2 − c/a = ∆/(4a2) qui a pour racines carrées complexes δ/2a et
−δ/2a …
4.3.3 Cas particuliers
i) La racine est dite double lorsque z1 = z2 . Cela se produit ssi ∆ = 0.
ii) Si ∆ est un réel négatif, les deux racines de ∆ sont ± i
− ∆ et le trinôme a pour racines
−b±i −∆
.
2a
iii) Supposons que les coefficients a, b, c soient réels; si z est solution, alors z− est aussi solution (pourquoi ?). D'où les
deux cas de figure :
 si z = z−, les deux racines sont réelles (cas où δ = 
δ , c.a.d cas où δ est réel et donc ∆ ≥ 0)
.


 si z ≠ z− , les deux racines sont complexes conjuguées (cas où δ = − δ , c.a.d ∆ < 0)
4.3.4 Exemples Résoudre z2 + z + 1 = 0 , z2 − (2 + i) z + 2i = 0
4.3.5 Somme et produit des racines (important, à retenir)
Si z1 et z2 sont les deux racines complexes du trinôme az2 + bz + c, alors on a les relations
z1 + z2 = −
b
c
et z1 z2 =
a
a
Dans le cas d'un trinôme réel avec deux racines réelles, celles-ci sont donc symétriques l'une de l'autre par rapport au
sommet de la parabole.
On peut donc calculer la somme et le produit des racines d'un trinôme sans expliciter les racines elles-mêmes.
On a aussi la factorisation
az2 + bz + c = a(z − z1)(z − z2) .
- page 16 -
Nombres complexes_chap02 PCSI
4.3.6 Réciproquement, connaissant la somme S et le produit P de deux nombres complexes, ils sont les deux solutions de
l'équation
z2 − Sz + P = 0
 z1 + z2 = S
En effet, 
 z1z2 = P
4.4
 z1 + z2 = S

 z1(S − z1) = P
 z1 + z2 = S

2
 z1 − Sz1 + P = 0
et par symétrie z2 vérifie aussi l'équation.
Equation exp(z) = w
4.4.1 Propriété (à savoir refaire)
Pour tout complexe non nul w , il existe z dans tel que ez = w.
La solution n’est pas unique (ce qui pose problème pour définir un logarithme exponentiel) : on a vu en effet que ez = ez'
ssi z − z' ∈ 2iπ .
Preuve
On écrit z = x + iy et on cherche x et y pour que ez = w.
ez = w  |w| = |ez| = eRe(z) = ex

 arg(w) = arg(ez) = y [2π]
 x = ln |w|

z = ln |w| + i arg(w) + 2ikπ , k ∈  y = arg(w) [2π]
On a donc, Re(z) = ln |w| et Im(z) = arg(w) [2π].
4.4.2 Exemple ez = − 1 donne z = iπ [2iπ]
En effet, ex = 1 et y = arg(−1) = π [2π].
- page 17 -
Nombres complexes_chap02 PCSI
§5
Un peu de géométrie dans le plan complexe
Dans ce paragraphe, on établit un dictionnaire entre aspects géométriques dans le plan complexe et calculs sur les
nombres complexes.
On a déjà débuté ce dictionnaire : si M est un point du plan d’affixe z, alors OM = |z|. D’autre part on a vu que le cercle
trigonométrique U était en correspondance avec les complexes de module 1.
On commence par la notion de transformation du plan puis on décrira dans un second temps leur réalisation complexe.
5.1
Transformations du plan
5.1.1 Définition
Une transformation du plan euclidien E2 est une application qui à tout point M du plan associe un autre point du plan.
5.1.2 Définition
i) On dit qu’une transformation T du plan conserve les distances si pour tout
couple de points (A , B) , la distance entre T(A) et T(B) est égale à la
distance AB .
ii) On dit que T conserve les angles géométriques si pour tout triplet de
points (A, B, C), on a
É
T(A)T(B)T(C) = ABC
iii) On dit que T conserve les angles orientés si pour tout quadruplet de points
(A, B, C, D), on a
→
→
→ →
(T(A)T(B) , T(C)T(D)) = ( AB , CD ) [2π]
5.1.3 Translation
t
On se donne un vecteur u .
t
t
L'application E2 t E2 , M # M + u est appelée translation de vecteur u et se note tt .
u
→
t
tt(M) = M ’ MM ' = u
u
Une translation conserve les distances et les angles orientés (faire un dessin).
5.1.4 Rotation
On se donne un point Ω et un réel α.
Soit M un point distinct de Ω. On lui associe le point M’ tel que
→
→
( ΩM , ΩM') = α [2π] et ΩM = ΩM’ (ces deux conditions
définissant un et un seul point M’ possible). Au point Ω, on
associe Ω lui même.
On définit ainsi une transformation du plan appelée rotation de
centre Ω et d’angle α. On pourra la noter rα .
Une rotation conserve les distances et les angles orientés (faire un dessin).
5.1.5 Réflexion
On se donne une droite D du plan euclidien. Soit M un point
quelconque du plan. On lui associe le point M’ tel que le milieu de
[MM’] soit sur D et tel que (MM’) soit orthogonale à D. Lorsque M
est sur D, on a donc M’ = M.
On définit ainsi une transformation du plan appelée réflexion d’axe D
(ou symétrie orthogonale d’axe D). On pourra la noter sD .
Remarquer que pour tout point M, on a sD(sD(M)) = M .
Une réflexion conserve les distances, les angles géométriques mais pas
les angles orientés (l’angle change de signe par effet miroir).
- page 18 -
Nombres complexes_chap02 PCSI
5.1.6 Homothétie
On se donne un point Ω et un réel k non nul. Soit M un point
quelconque du plan. On lui associe le point M’ tel que
→
→
ΩM' = k ΩM
On a donc Ω’ = Ω. On définit ainsi une transformation du plan appelée
homothétie de centre Ω et de rapport k. On pourra la noter hk .
Une homothétie conserve les angles orientés mais ne conserve pas les
distances (elles sont multipliées par k qui apparaît comme un facteur de
réduction ou d’agrandissement).
5.1.7 Remarques
1) La translation de vecteur nul, la rotation d’angle nul et l’homothétie de rapport 1, sont trois transformations égales :
on a à chaque fois M’ = M pour tout point M. Cette transformation s’appelle identité du plan et se note id.
Ainsi tt = r0 = h1 = id.
0
2) L’homothétie de rapport − 1 et de centre Ω coïncide avec la rotation de centre Ω et d’angle π. Il s’agit de la symétrie
centrale de centre Ω.
t
t
→
5.1.8 Soit u un vecteur quelconque. Choisissons un représentant de u sous la forme AB . Soit T une transformation du plan.
→
→
t
On peut alors considérer le vecteur T(A)T(B). En général, ce dernier vecteur dépend du représentant AB choisi pour u .
→
t
Il se trouve que pour les transformations décrites ci-dessus, le vecteur T(A)T(B) ne dépend que de u , c.a.d que deux
t
représentants distincts de u donneront le même vecteur en appliquant T.
t
t
Ainsi ces transformations s’appliquent aussi sur les vecteurs du plan. On peut donc parler de T( u ), image du vecteur u
par la transformation T.
t
Si M décrit la droite passant par A et dirigée par le vecteur u , alors T(M) décrit la droite passant par T(A) et dirigée par
t
T( u ). En particulier, l'image d'une droite est une droite pour n'importe laquelle des transformations décrites plus haut.
Soit Ω un point fixé du plan, c.a.d que T(Ω) = Ω (prendre pour Ω le centre de la rotation ou de l’homothétie, ou
→
→
n’importe quel point de l’axe pour une réflexion). On a ΩT(M) = T(ΩM). Il suffit donc de savoir construire l’image du
→
vecteur ΩM (à partir de n’importe quel représentant de ce vecteur) pour construire le point T(M).
5.2
Manipulation des longueurs en complexes
5.2.1 Définition (affixe d’un vecteur)
t
t
t
A tout nombre complexe z = x + i y d'image M dans le plan euclidien E2 correspond le vecteur OM = x i + y j et vice-
t
versa. On dit encore que z est l'affixe de OM .
t
t
Tout vecteur u peut s’écrire de façon unique sous la forme OM et possède ainsi un affixe noté z→
u.
5.2.2 Exercice
t
Quel est l’affixe du vecteur uθ ?
t
t
t
Prouver que l'affixe de u + v est z→
u + z→
v et celui de λ u est λ z→
u.
5.2.3 Définition (parties bornées du plan complexe)
On a vu qu’une partie de est bornée si elle est majorée et minorée. Cette définition ne s’étend pas à car on ne sait
pas comparer les complexes (de façon compatible avec les opérations). Par contre, on a vu aussi qu’une partie de est
bornée si elle est majorée en valeur absolue. Cette caractérisation a un sens dans , en remplaçant valeur absolue par
module :
On dit qu’une partie D de est bornée si elle est majorée en module, c.a.d :
∃ M ∈ + , ∀ z ∈ D , |z| ≤ M
- page 19 -
Nombres complexes_chap02 PCSI
5.2.4 Propriété
Si A et B sont deux points du plan complexe d'affixe zA et zB , alors
t
i) le vecteur AB a pour affixe zB − zA
ii) AB = | zB − zA |
Preuve
→
t
t
AB = (xB − xA) i + (yB − yA) j
d’où z → = (xB − xA) + i(yB − yA) = xB + i yB − (xA + i yA) = zB − zA
AB
| zB − zA | =
(xB − xA)2 + (yB − yA)2 = AB .
Si AB = OM, alors ( i É
, AB ) = ( i É
,OM ) = arg(zM) = arg(z → ) = arg(z →) = arg(zB − zA) [2π]
→
→
t
t
t
→
OM
AB
5.2.5 Corollaire
Un triangle ABC est isocèle en A ssi | zB − zA | = | zC − zA | .
5.2.6 Interprétation de l’inégalité triangulaire
Soient z et z’ deux complexes d’images respectives M et M’ dans le plan complexe.
On a z = zM = z → et z’ = zM ‘ = z → .
OM
OM'
D’après 5.2.4, on a |z − z’| = | z → | = MM’ .
MM'
L’inégalité triangulaire |z − z’| ≤ |z| + |z’| se traduit donc en MM’ ≤ OM + OM’ .
Cela traduit donc que le plus court chemin entre deux points est la ligne droite. Si on fait un détour par O, la distance
parcourue ne peut qu’augmenter. Et il y a égalité ssi O est sur le trajet direct de M à M’, c.a.d ssi O ∈ [MM’].
5.2.7 Propriété (cercles et disques en complexes)
Un point M est situé à l‘intérieur du disque de centre Ω et de rayon R ssi |zM − zΩ| ≤ R.
Un point M est situé sur le cercle de centre Ω et de rayon R ssi |zM − zΩ | = R.
5.2.8 Exercice
Montrer qu’un disque est une partie bornée du plan.
5.3
Manipulation des angles en complexes
5.3.1 Propriété
On se donne trois points distincts A, B, C dans le plan complexe d'affixes zA , zB , zC .
( iÉ
, AB ) = arg(zB − zA) [2π]
t
t
( ABÉ
, AC ) = arg ( z → / z → ) = arg (
t t
AC
AB
zC − zA
)
zB − zA
Preuve
arg(
t t
t t
t, AC
t ) [2π]
zC − zA
) = arg(zC − zA) − arg(zB − zA) = ( i É
, AC ) − ( i É
, AB ) = ( ABÉ
zB − zA
On se donne trois points distincts A, B, C dans le plan complexe d'affixes zA , zB , zC .
On pose ω =
t, AC
t ) = arg(ω) [2π].
zC − zA
. La propriété précédente énonce donc que ( ABÉ
zB − zA
- page 20 -
Nombres complexes_chap02 PCSI
5.3.2 Propriété (à bien comprendre et savoir réécrire)
i) ω ∈ ω = ω ( ABÉ
, AC ) = 0 [π] AB et AC colinéaires A, B, C alignés
*
−
ii) ω imaginaire pur
t t
t
t
( ABÉ
, AC ) = π/2 [π]
t
t
ABC rectangle en A
iii) ω = e± iπ/3 ABC équilatéral
5.4
Ecriture complexe des transformations
Si z est un complexe, on note M(z) le point du plan d’affixe z.
→
5.4.1 Soit u un vecteur du plan et M(z) un point du plan.
Alors tt(M(z)) a pour affixe z + zt.
u
u
Ainsi, l’application t , z # z + b est la réalisation complexe d’une
translation, le vecteur de la translation ayant pour affixe b.
En coordonnées cartésiennes, elle s’écrit (x,y) # (x + Re(b) , y + Im(b)).
5.4.2 La conjugaison t , z # z− est la réalisation complexe de la réflexion
d’axe Ox : le symétrique du point M(z) est le point M( z− ).
En coordonnées cartésiennes, elle s’écrit (x,y) # (x, − y).
5.4.3 L’application t , z # − z est la réalisation complexe
de la symétrie centrale de centre O.
En coordonnées cartésiennes, elle s’écrit (x,y) # (− x, − y).
5.4.4 L’application t , z # − z− est la réalisation complexe
de la réflexion d'axe Oy
En coordonnées cartésiennes, elle s’écrit (x,y) # (− x, y).
5.4.5 L’application t , z # eiαz est la réalisation complexe
de la rotation de centre O et d’angle α.
En particulier, multiplier par i revient à effectuer un quart de
tour direct de centre O.
En coordonnées polaires, elle s’écrit (r , α) # (r, θ + α).
- page 21 -
Nombres complexes_chap02 PCSI
5.4.6 Généralisation de 4.4.5.
z # zΩ + (z − zΩ)eiα est la réalisation complexe de la rotation
de centre le point Ω et d’angle α.
Ainsi l’application t , z # eiαz + b avec α ≠ 0 [2π] est
la réalisation complexe d’une rotation d’angle α et de centre
le point Ω tel que eiα zΩ + b = zΩ .
En effet, pour obtenir l’image du point M(z), il suffit de faire
→
tourner le vecteur OM(z) d’un angle α, ce qui se fait en
→
multipliant par eiα l’affixe de OM(z) , en l’occurrence z − zΩ.
5.4.7 L’application t , z # zΩ + k(z − zΩ) est la réalisation
complexe de l’homothétie de centre Ω et de rapport k.
5.4.8 Remarques
1) Soit a = keiα. Quelle transformation se cache derrière l’application complexe z # az + b ?
On peut la décomposer en
•
z # eiαz + b/k qui est soit une rotation de centre O et d’angle α, soit une translation dont le vecteur
admet b/k comme affixe (dans le cas où α = 0 [2π]).
•
suivi de z # kz qui est une homothétie de centre O.
Ou bien z # eiαz (rotation de centre O), suivi de z # kz (homothétie de centre O) et enfin z # z + b (translation de
vecteur d’affixe b).
Cette transformation s’appelle une similitude directe, ici de centre O , d’angle α et de rapport k.
La famille des similitudes englobe tous les cas énumérés plus haut.
Noter au passage que z # az donne une réalisation géométrique du produit dans et qu’on aurait pu construire
l’ensemble à partir de ces considérations géométriques.
t
t
t
t
2) Quelle est l’interprétation géométrique de la règle de calcul k( u ± v ) = k u ± k v , k réel ?
t t t
 t
u = AB , λ u =AB'
t t
t
t
t
t
Posons 
, alors u − v = CB et λ u − λ v = C'B' .
t t t t
 v = AC , λ v = AC'
t
t
B
La règle de calcul énonce donc que k CB = C'B' et ceci n’est autre que le
A
C
théorème de Thalès bien connu.
C'
Ainsi les deux règles de calcul dans , somme d’une part, produit d’autre part,
ont une réalisation géométrique. L’intérêt c’est de pouvoir démontrer des
B'
propriétés géométriques en faisant du calcul sur les nombres complexes, avec
les règles de calcul qui sont familières dans .
5.5
Barycentre
Le barycentre du système
( αA
B
β
C
γ
) (avec α + β + γ ≠ 0) a pour affixe le complexe
zG =
α zA + β zB + γ zC
α+β+γ
Preuve
→
→
→ →
Par définition, G est l'unique point satisfaisant la relation αGA + βGB + γ GC = 0
D'où α(zG − zA) + β(zG − zB) + γ(zG − zC) = 0 d'où on tire zG .
La formule se généralise à un nombre quelconque de points.
- page 22 -