Chap. 02 NOMBRES COMPLEXES

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Chap. 02 NOMBRES COMPLEXES
Introduction
On a vu dans le premier chapitre comment le passage de l’ensemble des rationnels à l’ensemble des réels permettaient
de donner sens aux solutions de certaines équations tout en conservant les règles de calculs valables pour les rationnels.
Ces nombres réels ont en outre une réalisation géométrique, par exemple le réel 2 solution de l’équation x
2
= 2 est
l’hypoténuse d’un triangle isocèle rectangle de côté 1.
Cependant des équations aussi simples que x
2
+ 1 = 0 n’ont pas de solutions dans . Rien n’empêche de créer une
variable qui serait soumise à cette relation mais c’est une chose de créer ainsi des nombres « imaginaires », c’en est une
autre de savoir faire du calcul avec, en conservant en plus les règles de calcul ordinaires. On ne voit pas très bien
d’emblée ce que pourraient représenter ces nombres imaginaires. Pourtant quand on cherche à résoudre une équation de
degré 3 ayant trois racines réelles et qu’on désire des formules générales comme celles qui existent pour les trinômes du
second degré, il faut passer par l’intermédiaire d’un trinôme qui n’a pas forcément de racine réelle. C’est d’ailleurs
comme cela que les nombres complexes ont été introduits historiquement avant que leur utilisation ne s’avère si féconde
tant en mathématiques qu’en physique. Il peut être utile cependant de décrire a priori une réalisation concrète de ces
nombres et aboutissant naturellement à la forme des nombres complexes tels qu’ils ont été un peu arbitrairement
présentés en Terminale.
On commence par des rappels de trigonométrie.
§1 Rappels trigonométriques
1.1 Rappels géométriques
1.1.1 Le plan muni d’une unité de longueur et d’un repère orthonormé
(O, i
t
, j
t
) est appelé plan euclidien et sera noté E
2
.
1.1.2 Etant donné un point M du plan, le vecteur OM
→
se
décompose sous la forme x i
t
+ y j
t
.
Une telle écriture est unique.
On dit que le couple (x, y) ∈ 
2
est le couple de coordonnées cartésiennes du vecteur OM
→
dans la base ( i
t
, j
t
).
On dit que le couple (x, y) ∈ 
2
est le couple de coordonnées cartésiennes du point M dans le repère cartésien (O, i
t
, j
t
).
1.1.3 La distance entre deux points A et B est le réel AB = (x
B
− x
A
)
2
+ (y
B
− y
A
)
2
où (x
A
, y
A
) et (x
B
, y
B
) sont les couples de
coordonnées respectives des points A et B.
1.2 Fonctions sinus et cosinus
1.2.1 Définition (cercle trigonométrique)
Le cercle trigonométrique ou cercle unité est l’ensemble des points du plan situés à distance 1 de l’origine O :
U = {(x, y) ∈ 
2
/ x
2
+ y
2
= 1}
1.2.2 Soit t un réel positif représentant le temps. On parcourt le cercle trigonométrique dans le sens inverse des aiguilles
d’une montre (sens trigonométrique ou sens direct) à partir du point I de U de coordonnées (1,0) et à vitesse constante
égale à 1.
Notons M(t) la position au temps t sur U.
On dit que t est une mesure en radians du couple de vecteurs ( OI
→
, OM(t)
→
).
Le cosinus de l’angle ( OI
→
, OM(t)
→
), noté cos(t) est l’abscisse du point M(t).

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Le sinus de l’angle ( OI
→
, OM(t)
→
), noté sin(t) est l’ordonnée du point M(t).
On définit de même cos(t) et sin(t) pour t < 0 en parcourant U, toujours à partir de I mais dans le sens des aiguilles
d’une montre. Dans ce cas, cos(t) et sin(t) sont respectivement l’abscisse et l’ordonnée du point occupé au temps |t|.
1.2.3 Si π désigne le demi-périmètre du cercle trigonométrique, on a donc (compléter le tableau) :
t 0 π π/2 − π − π/2 π/6 π/3 π/4 − π/6 − π/4 − π/3 2π/3 3π/4 2π
cos(t)
sin(t)
1.2.4 Par définition même, on a
∀ t ∈  , cos
2
(t) + sin
2
(t) = 1
1.2.5 Définition (vecteur radial)
Par définition de cosinus et sinus, le vecteur OM(t)
→
s’écrit aussi cos(t) i
t
+ sin(t) j
t
.
Pour tout réel θ, on note
u
θ
t
= cos(θ) i
t
+ sin(θ)j
t
= OM(θ)
→
v
θ
t
= − sin(θ) i
t
+ cos(θ)j
t
= OM
→
(θ + π/2)
Les vecteurs u
θ
t
et v
θ
t
sont donc unitaires.
‹ En physique, ce vecteur est noté e
r
t
, le « r » faisant référence au rayon. La notation mathématique a toutefois
l’avantage de faire explicitement référence à la mesure de l’angle.
1.3 Ecriture modulo
1.3.1 Définition
Soit a un nombre réel non nul. On dit que deux réels x et y sont égaux modulo a si x − y ∈ a où a = {ka , k ∈ }.
On note x ≡ y [a] ou simplement x = y [a] (lire « x égal à y modulo a).
x = y [a]  ∃ k ∈ , x = y + ka
1.3.2 Exemples
π/2 = 3π/2 [π] , 5π/3 = − π/3 [2π]
2π/3 = π/6 [π/2]
x = 0 [π]  x ∈ π  ∃ k ∈  , x = kπ
1.3.3 Si x = y [a] alors pour tout réel c, on a cx = cy [ac].
‹ Par exemple, x = y [2π]  x/2 = y/2 [π]
1.3.4 Définition
Etant donnés deux vecteurs non nuls u
t
et v
t
, on peut écrire u
t
= OA
→
et v
t
= OB
→
.
Le segment [OA] coupe U en un point de la forme M(t
A
) et le segment [OB]
coupe U en un point de la forme M(t
B
).
Plus précisément, les vecteurs 1
OA OA
→
et 1
OB OB
→
sont unitaires, de même
direction et même sens que u
t
et v
t
respectivement et on a
1
OA OA
→
= OM
→
(t
A
) et 1
OB OB
→
= OM
→
(t
B
).
Les réels t
A
et t
B
ne sont pas uniques mais seulement définis modulo 2π.

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On appelle mesure de l’angle orienté du couple de vecteurs ( u
t
, v
t
), le réel t
B
− t
A
qui est défini modulo 2π.
On note ( u
t
, v
t
) = t
B
− t
A
[2π].
1.3.5 Remarques
1) On a t
A
= ( i
t
,OA
→
) [2π] , t
B
= ( i
t
,OB
→
) [2π].
2) Comme la mesure est définie modulo 2π, il existe une seule mesure située dans l’intervalle ]− π, π]. Cette mesure
s’appelle mesure principale du couple ( u
t
, v
t
)
1.3.6 Exemples
1) cas des vecteurs u
θ
t
∀ θ ∈ , ( i
t
, u
θ
t
) = θ [2π]
∀ α ∈  , ∀ β ∈  , ∀ γ ∈ , (u
α
t
, u
β
t
) = β − α [2π] et (u
α
t
+γ
, u
β
t
+γ
) = (u
α
t
, u
β
t
) [2π]
2) cas des triangles
Dans un triangle ABC rectangle en A, on a (AB
→
, AC
→
) = π/2 [2π] ou bien ( AB
→
, AC
→
) = − π/2
[2π]. Dans le premier cas, on dit que le triangle est direct et dans le second cas, on dit que le
triangle est indirect.
De même, si ABC est équilatéral, on a ( AB
→
, AC
→
) = ± π/3 [2π] et on parle de triangle équilatéral
direct ou indirect.
1.4 Relations trigonométriques de base
Toutes ces formules sont à connaître sans hésitation !
1.4.1 Les deux fonctions cosinus et sinus sont 2π-périodiques :
∀ t ∈  , cos(t + 2π) = cos(t) et sin(t + 2π) = sin(t)
1.4.2 On peut donc définir sans ambiguïté les réels, cos( u
t
, v
t
) et sin( u
t
, v
t
) pour un couple de vecteurs non nuls.
1.4.3 La fonction cosinus est paire sur  et la fonction sinus est impaire sur  :
∀ t ∈  , cos(− t) = cos(t) et sin(− t) = − sin(t)
1.4.4 ∀ t ∈  , cos(π − t) = − cos(t) et sin(π − t) = sin(t)
∀ t ∈  , cos(π + t) = − cos(t) et sin(π + t) = − sin(t)
1.4.5 Propriété (déphasage entre cos et sin)
∀ t ∈  , cos(π/2 − t) = sin(t) et sin(π/2 − t) = cos(t)
ou de façon équivalente,
∀ t ∈  , cos(π/2 + t) = − sin(t) et sin(π/2 + t) = cos(t)
Preuve (en classe)

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1.4.6 Corollaire
∀ θ ∈  , v
θ
t
= u
t
θ+π/2
Le vecteur v
θ
t
est donc le vecteur unitaire directement orthogonal à u
θ
t
.
Preuve
v
θ
t
= − sin(θ)i
t
+ cos(θ) j
t
= cos(θ + π/2) i
t
+ sin(θ + π/2) j
t
= u
t
θ+π/2
1.4.7 Propriété (équations trigonométriques)
i) cos(a) = 0  a = π/2 [π] ; cos(a) = 1  a = 0 [2π] ; cos(a) = − 1  a = π [2π]
ii) sin(a) = 0  a = 0 [π] ; sin(a) = 1  a = π/2 [2π] ; sin(a) = − 1  a = − π/2 [2π]
iii) cos(a) = cos(b)  a = ± b [2π]
iv) sin(a) = sin(b)  a = b [2π] ou bien a = π − b [2π]
Preuve (en classe)
1.4.8 Pour tout réel t ≠ π/2 [π], on définit la tangente de t ; c’est le réel
tan(t) = sin(t)
cos(t)
Avec les notations de 1.2.2, il s’agit de la pente de la droite (OM(t)
→
).
1.5 Formules d’addition
1.5.1 Propriété
Pour tous réels a et b on a,
cos(a + b) = cos(a) cos(b) − sin(a) sin(b)
sin(a + b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b)
ce qui donne aussi :
cos(a − b) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b)
sin(a − b) = sin(a) cos(b) − cos(a) sin(b)
Preuve (en classe)
1.5.2 Corollaire (formules de duplication d’usage très courant)
∀ a ∈ , cos(2a) = cos
2
(a) − sin
2
(a) = 2cos
2
(a) − 1 = 1 − 2sin
2
(a)
∀ a ∈ , sin(2a) = 2sin(a)cos(a)

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1.5.3 Propriété
Pour tous réels a et b tels que a ≠ π/2 [π] , b ≠ π/2 [π] et a + b ≠ π/2 [π], on a l’identité,
tan(a + b) = tan(a) + tan(b)
1 − tan(a)tan(b)
Preuve (en classe)
1.5.4 Propriété
tan(a) = tan(b)  a = b [π]
Preuve (en classe)
1.6 Coordonnées polaires
1.6.1 Définition
Soit M un point du plan euclidien distinct de l’origine. Le vecteur 1
OM OM
t
est unitaire, donc de la forme u
θ
t
.
On peut donc écrire OM
t
= OM u
θ
t
.
On dit que (r , θ) est un couple de coordonnées polaires du vecteur u
t
≠ 0
t
(ou du point
M tel que OM
t
= u
t
) si
u
t
= r u
θ
t
, r > 0
On a forcément d’une part, θ = ( i
t
, u
t
) [2π], l’angle θ étant donc défini modulo 2π,
et d’autre part, r = || u
t
|| = OM.
θ s’appelle angle polaire de u
t
(ou de M) et r s’appelle rayon polaire de u
t
(ou de M).
1.6.2 Propriété (passage coordonnées cartésiennes - coordonnées polaires)
Soit u
t
un vecteur non nul de coordonnées cartésiennes (x,y) et de coordonnées polaires (r, θ). Alors,
x = rcosθ
y = rsinθ