Parité et périodicité de la fonctions sinus Parité et périodicité de la

Parité et périodicité de la fonctions sinus
sin est impaire et 2π-périodique, donc
pour tout réel x et tout entier relatif k : sin(−x) = −sin(x)
sin(x+ 2kπ) = sin(x)
Parité et périodicité de la fonctions cosinus
cos est paire et 2π-périodique, donc pour
tout réel x et tout entier relatif k : cos(−x) = cos(x)
cos(x+ 2kπ) = cos(x)
Relation entre le carré du cosinus et le carré du sinus
Pour tout réel x : cos (x) + sin (x) = 1
Dérivées des fonctions cos et sin
Les fonctions cos et sin sont dérivables
sur R.cos = −sin
sin = cos
Limite à connaître
La limite suivante traduit le calcul de la
dérivée de sin en 0.= 1
Cosinus d'une somme
!FORMULES ET THÉORÈMES
2
!2 !
′
!
′
!
x↦0
lim!x
sin(x)
!

Soient x et y deux réels. cos(x+y) = cos(x) cos(y)−sin(x)sin(y)
cos(x−y) = cos(x) cos(y) + sin(x)sin(y)
Cosinus de 2x
En prenant le
cas particulier
où x=y on
obtient le
résultat suivant
pour tout réel x
:
cos(2x) = cos (x)−sin (x) = 1 −2sin (x) = 2 cos (x)−1
2
!2 !2 !2 !

Résolution d'une inéquation trigonométrique à l'aide du cercle
trigonométrique
Résous l'inéquation cos(x) < à l'aide du cercle trigonométrique.
!A SAVOIR REFAIRE
2
1
!
RECHERCHER LES SOLUTIONS DE L'ÉQUATION
cos(x) =
cos étant 2π-périodique, on peut restreindre l’étude à [−π;π] dans un
premier temps.
En pointant l’abscisse sur l’axe des abscisses et en se projetant sur le
cercle trigonométrique, on constate que les solutions sur [−π;π] sont :
x= et x=−
cos étant 2π-périodique, on peut désormais résoudre l’équation dans R en
« ajoutant 2π » aux résultats obtenus.
Ainsi, l’équation se vérifie dans R pour tout x de la forme :
x= + 2kπ ou x=−+ 2kπ, avec k un entier relatif.
1
2
1
!
2
1
!
3
π
!3
π
!
3
π
!3
π
!

ETUDIER À L'AIDE DU CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE LE
COMPORTEMENT DU COSINUS ENTRE DEUX SOLUTIONS
CONSÉCUTIVES
Encore une fois, cos étant 2π-périodique, on peut commencer par lire le cercle
trigonométrique en prenant le cas simple où k= 0.
Si on regarde les x tels que −<x<
on voit en se projetant sur l’axe des abscisses que cos(x) >
Si on regarde les x tels que x<− ou x>
on voit en se projetant sur l’axe des abscisses que cos(x) <
cos étant 2π-périodique, on peut généraliser ces résultats en « ajoutant 2kπ »
aux résultats obtenus.
23
π
!3
π
!
2
1
!
3
π
!3
π
!
2
1
!
CONCLURE
Ainsi, l’équation est vérifiée si et seulement si il existe un entier k tels que :
+ 2kπ<x<−+ 2(k+ 1)π
3
3
π
!3
π
!

Résolution d'une inéquation trigonométrique à l'aide des
représentations graphiques de sin et cos
Résous l'inéquation cos(x) < à l'aide de la représentation graphique de cos.
2
1
!
RECHERCHER LES SOLUTIONS DE L'ÉQUATION
cos(x) =
cos étant 2π-périodique, on peut restreindre l’étude à [−π;π] dans un
premier temps.
En pointant l'ordonnée et en se projetant sur la courbe représentative de
cos, on constate que les solutions sur [−π;π] sont :
x= et x=−
cos étant 2π-périodique, on peut désormais résoudre l’équation dans R en
« ajoutant 2π » aux résultats obtenus.
Ainsi, l’équation se vérifie dans R pour tout x de la forme :
x= + 2kπ ou x=−+ 2kπ, avec k un entier relatif.
1
2
1
!
2
1
!
3
π
!3
π
!
3
π
!3
π
!