viscosite

Mécanique des uides : uide visqueux (PC*)
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Question de cours
Modélisation des eets de viscosités d'un uide
Exercice Viscosimètre de Couette
On considère deux cylindres concentriques de rayon R1 et R2 > R1 et de hauteur h R2 . Le premier
cylindre est immobile, le second tourne à une vitesse angulaire constante Ω autour de son axe. On
remplit l'espace entre les deux cylindres d'un liquide de masse volumique ρ, supposé incompressible et
présentant un coecient de viscosité η . On néglige l'eet de la pesanteur.
∂v
1. On suppose R2 − R1 R1 et on se place en régime stationnaire. Justiez ∂v
∂z = ∂θ = 0. On
−
→
considérera dans la suite un champ de vitesse v(r)uθ .
2. Montrez que le champ de vitesse se met nécessairement sous la forme v(r) = Ar + Br .
3. Déterminez les expressions de A et de B .
4. Déterminez le couple qu'il faut appliquer sur le cylindre central pour qu'il reste immobile.
→
−
→
−
→, le laplacien s'écrit ∆ A =
Pour une fonction de la forme A = f (r)−
u
θ
∂2f
∂r 2
+
1 ∂f
r ∂r
−
f
r2
−
→.
u
θ
Solution
→ (et par conservation de la matière, div →
−
1. On a par symétrie v(r)−
u
v = 0)
θ
−−→
→
−
→
− →
−
−
−
v = η∆→
v − ∇p = 0 et ∇p.−
uθ = 0. On cherche
v .grad →
2. En régime stationnaire, N S s'écrit ρ →
v
. ∂∂rv2 + 1r ∂v
= A 0 + 1r − rr2 + B
∂r − r 2
ordre, 2 solutions indépendantes => base des solutions.
v θ = Ar +
B
r
2 θ
θ
θ
2
r3
−
1 1
r r2
−
1/r
r2
3. Conditions limites : AR1 + RB1 = 0 ⇔ B = −AR12 . AR2 + RB2 = R2 Ω ⇔ A =
= 0 Equation du deuxième
R22 Ω
R22 −R12
2
2
R2 Ω
et B = − RR21−R
2.
2
1
→
−
−
→
−
→
−
→
B
4. Force appliquée au niveau du cylindre R1 : d F = η ∂v
∂r dS uθ = η A − R12 dS uθ = 2ηAdS uθ . Moment :
→. Total : 2η R22 Ω 2πR2 h. Couple à exercer : −4πηh R12 R22 Ω
2ηAdSR −
u
1 z
R22 −R12
1
R22 −R12
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Question de cours
On considère un cylindre de rayon R et de longueur L dans lequel s'écoule en régime stationnaire un
uide incompressible de masse volumique ρ et de viscosité dynamique η. On note ∆p la diérence de
pression entre un bout du tuyau et l'autre. Déterminez le champ de vitesse et de pression dans la
conduite ainsi que le débit massique.
Exercice Ecoulement sur un plan incliné
On considère un plan incliné d'un angle α sur lequel se trouve un lm de uide incompressible de masse
volumique ρ et de viscosité dynamique η . On se place en régime stationaire et on note h la hauteur du
lm de uide et v(x, z)−
u→
x sa vitesse.
1. Déterminez le champ de vitesse et de pression en tout point du uide.
2. Calculez le débit massique de l'écoulement sur une largeur L.
1
3. Exprimez la puissance développée par les forces de viscosité dans un volume de longueur l, de
largeur L et de hauteur h.
Solution
−
−
1. incompressible donc div →
v = 0 donc ∂x v = 0 et on a v(z)(
u→
x . Navier stockes : ∂t v = 0 car stationaire
2
∂p
+ ρgsinα = 0
η ∂∂zv2 − ∂x
donc p(x, z) =
∂p
− ∂z + ρgcosα = 0
ρgcosα + f (x) et p(x, h) = p0 ∀x donc p(x, z) = p0 + ρgcosα(h − z) et ∂z v = − ρg
η sinαz + K et contrainte
ρg
ρgsinα
2
0
air-uide nulle donc ∂z v = − η sinα(h − z) et v = 2η (2hz − z ) + K et v(0) = 0 donc K 0 = 0.
˜ − −
→
ρ2 gsinα
h3
2
2. Débit volumique : ρ→
v .dS = ρgsinα
Lh3 .
2η ρL(hh − 3 ) =
3η
−→ −
ρgsinα
ρ2 g 2 sin2 α 2
2
3. Pour un volume dxdydz , dP = dF .→
v = η∆vvdτ = −η ρg
(z −
η sinα 2η (2hz − z )dτ =
2η
−−→ −
→
−
−
−
−
et →
v .grad →
v = 0 donc η∆→
v − ∇p + ρ→
g = 0 donc
2hz)dxdydz donc P =
ρ2 g 2 sin2 α h3
(3
2η
− hh2 )Ll = −Qglsinα
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Cours
écoulement de poiseuille
→
−
La divergence en coordonnée cylindrique est donnée par div A =
d'incompressibilité du uide donne alors
∂vz
∂z (r, z)
1 ∂
r ∂r
(rAr ) +
1 ∂Aθ
r ∂θ
+
∂Az
∂z
. La condition
= 0.
−−→
−
−−→
→+ 1 ∂ −
→+ ∂ −
→, que →
−
−
→ = 0. L'équation de
∂ −
∂
u
u
u
v .grad →
v = vz ∂z
vz u
r
θ
z
z
∂r
r ∂θ
∂z
−−→ −
−
→
−
−
−
→ = 1 ∂ r ∂vz + 1 ∂ 2 vz + ∂ 2 vz −
→,
+ →
v .grad →
v = −gradP +η∆→
v donne alors, avec ∆vz −
u
u
2
2
2
z
z
r ∂r
∂r
r ∂θ
∂z
On en déduit donc, avec grad =
Navier Stockes ρ
−
∂→
v
∂t

∂P

0 = − ∂r
0 = − 1r ∂P
∂θ


∂vz
1 ∂
0 = − ∂P
∂z + η r ∂r r ∂r
On tire des deux premières relations P (r, θ, z) = P (z). La dernière relation est donc une égalité de deux
fonctions de variable indépendantes. On a donc
∂P
∂z
∂
z
= η 1r ∂r
r ∂v
= κ.
∂r
On en déduire P (z) = P0 + κz et comme ∆P = P (L) − P (0), on a
P (z) = P (0) +
∆P
L
z.
On en déduit donc
η
1 ∂
r ∂r
∂vz
r
∂r
⇔
⇔
=
z
r ∂v
∂r =
∂vz
∂r
=
⇔ vz (r) =
∆P
L
∆P
ηL
∆P
ηL
∆P
ηL
⇔
∂
∂r
r
∂vz
∂r
=
∆P
r
ηL
r2
+A
2
r
A
+
2
r
r2
r
+ A ln
+B
4
r0
Or les conditions au limites imposent
2
Daniel Suchet - 2012
|vz (0)| < ∞
|vz (R)| = 0 car le uide est visqueux et la paroi immobile
On en déduit donc
2
∆P
1−
vz (r) = − R4ηL
3
r2
R2
Daniel Suchet - 2012