Introduction à la mécanique des uides Notes de cours

physique
année scolaire 2014/2015
Introduction à la mécanique des uides
Notes
de cours
mardi 7 octobre 2014
I-
Généralités
1. Généralités sur les uides
Liquides et gaz
s'y retrouver
Un uide, c'est un liquide ou bien un gaz : ce n'est pas un solide.
Un gaz n'a pas de volume propre et tend à occuper tout l'espace qui lui est oert. Un liquide a un
volume propre, mais pas de forme propre.
Les masses volumiques µ des liquides et des gaz sont très diérentes :
−3
pour l'air de masse molaire M = 29 g · mol−3 considéré comme un gaz
• µ = P.M
R.T = 1, 3 kg · m
parfait à P = 1 atm et T = 273, 15 K ;
• µ = 103 kg · m−3 pour l'eau liquide.
On retrouve de très grandes diérences concernant les densités particulaires n (on parle aussi de nombre
de Loschmidt) :
• n = kBP.T = 2, 7.1025 m−3 pour un gaz parfait à P = 1 atm et T = 273, 15 K ;
• n=
µ
NA .M
= 3, 3.1028 m−3 pour l'eau liquide de masse molaire M = 18 g · mol−3 .
remarque
En fait, la distinction entre liquide et gaz n'est pas absolue : on peut passer de l'un à l'autre sans transition
de phase, en contournant le point critique.
Compressibilité des uides
s'y retrouver
on dénit la compressibilité isotherme par
χT = −
1
V
∂V
∂P
=+
T
1
µ
∂µ
∂P
T
où P est la pression, T est la température, V le volume et µ, la masse volumique. Pour un liquide la
compressibilité est très faible (χT = 4, 4.10−10 P a−1 pour l'eau à 20◦ C ).
A l'inverse, pour un gaz, la compressibilité est grande.
1 Compressibilité d'un gaz parfait
exercice
Déterminer l'accroissement de la pression d'un gaz parfait nécessaire pour changer sa masse volumique
de ∆µ
µ = 4%.
remarque
Cependant, si le nombre de Mach est très faible devant 1, c'est à dire si le uide s'écoule avec des vitesses
très inférieures à la célérité du son, on pourra souvent considérer que, bien que le gaz est compressible,
son écoulement est incompressible.
spé PC
page n◦ 1
Janson de Sailly
physique
année scolaire 2014/2015
Approximation des milieux continus
s'y retrouver
Notion de particule de uide
s'y retrouver
comme en thermodynamique, on distingue trois échelles caractéristiques :
• l'échelle microscopique (de taille typique 1nm = 10−9 m) où le uide est discontinu car composé de
molécules ;
• l'échelle macroscopique (c'est la taille du système qui nous intéresse, qui varie de 1mm pour un
vaisseau sanguin à 10km pour l'océan) où le uide est continu mais par forcément homogène ;
• l'échelle mésoscopique -ou macroscopique locale- qui est une échelle intermédiaire où le uide est
continu et homogène.
l'échelle mésoscopique est directement reliée au concept de "particule de uide".
Celle-ci a une taille susamment grande devant la taille microscopique pour comprendre une quantité
N 1 de particules, de façon à ce que les grandeurs g intensives soient dénies comme une moyenne
qui ait un sens : c'est cela qui justie le modèle continu.
Mais la particule de uide est très petite devant la taille du système, de sorte qu'on puisse considérer
qu'elle est quasi-ponctuelle : on lui associera un volume innitésimal d3 τ .
2. Rappels sur les systèmes ouverts
Grandeurs massiques et système ouvert :
s'y retrouver
le système ouvert est déni comme le volume V délimité par une surface fermée Σ. Σ est xe dans le
référentiel d'étude au cours du temps.
Pour le système ouvert correspondant au volume V :
ZZZ
g.d3 m =
Gouvert =
V
ZZZ
µ.g.d3 τ
V
où g est la grandeur massique (intensive) associée à Gouvert , la grandeur extensive pour le système ouvert
et µ la masse volumique du uide.
Si G s'exprime en J (par exemple), alors g s'exprime en J · kg−1 .
Passer d'un système ouvert à un système fermé
schéma
La gure 1 représente un système ouvert et le système fermé qui le traverse.
• Le système fermé à l'instant t correspond au système ouvert et ΣA ;
• le système fermé à l'instant t + dt correspond au système ouvert et ΣB .
Faire un bilan pour une grandeur G quelconque :
la variation temporelle de G pour le système fermé est :
s'y retrouver
DG
Gf (t + dt) − Gf (t)
dG δms
δme
=
=
+
gs −
ge
Dt
dt
dt
dt
dt
où
•
•
•
DG
Dt est la variation temporelle de G pour le système fermé,
RRR
dG
∂
g.d3 m , est la variation temporelle explicite de G pour le système ouvert ;
dt = ∂t
V
δms
e
les ux entrant ( δm
dt ge ) et sortant ( dt gs ) de G, dus au déplacement du système fermé.
On a ainsi relié les variations temporelles de G pour le système ouvert et pour le système fermé qui lui
coïncide.
Il ne reste plus qu'à appliquer un théorème sur la variation de G concernant le système fermé.
spé PC
page n◦ 2
Janson de Sailly
physique
année scolaire 2014/2015
Figure 1 Passer d'un système ouvert à un système fermé
spé PC
page n◦ 3
Janson de Sailly
physique
II-
année scolaire 2014/2015
Bilans
1. Bilans de masse
Débits massique et volumique
dénition
le débit massique à travers une surface non fermée S orientée est :
−−→
−
µ.→
v .d2 S
ZZ
Dm =
S
Il s'exprime en kg3 · s−1 . La masse δm qui passe à travers la surface pendant dt est telle que Dm =
On aurait tout aussi bien pu dénir le débit volumique à travers la surface orientée S :
δm
dt .
−−→
→
−
v .d2 S
ZZ
Dv =
S
qui s'exprime en m3 · s−1 .
2 Bilan de masse en régime quelconque
théorème
La variation temporelle de M pour le système fermé est :
DM
dM
δmB
δmA
=
+
−
=0
Dt
dt
dt
dt
où
• la variation temporelle de la masse M pour le système fermé :
• la variation temporelle explicite de M pour le système ouvert
ment en régime permanent ;
DM
Dt
: dM
dt
= 0;
=
∂
∂t
RRR
V
µ.d3 τ nulle unique-
δmB
A
• les ux entrant ( δm
dt ) et sortant ( dt ) de masse qui ne sont rien d'autre que les débits massiques.
3 Débit d'un uide incompressible
théorème
Dans le cas d'un uide incompressible (liquide), le débit massique se conserve entre l'entrée et la sortie :
δme
dt
=
δms
dt
= Dm
ainsi que le débit volumique :
δVe
dt
=
δVs
dt
= DV .
4 Débit en régime permanent :
théorème
Dans le cas d'un écoulement permanent, quel que soit le uide (liquide ou gaz), le débit massique se
δms
e
conserve entre l'entrée et la sortie : δm
dt = dt = Dm .
5 Non conservation du débit d'un gaz en régime non permanent :
exercice
Une pompe injecte un débit massique Dm constant d'air (considéré comme un gaz parfait de masse
molaire M à la température T ) dans une chambre à air.
B Déterminer l'équation diérentielle à laquelle obéit la pression P dans la chambre à air.
spé PC
page n◦ 4
Janson de Sailly
physique
année scolaire 2014/2015
2. Bilans de quantité de mouvement
Quantité de mouvement d'un système ouvert :
la quantité de mouvement du système ouvert de volume V est :
P~ =
ZZZ
~v .d3 m =
ZZZ
V
dénition
µ~v .d3 τ
V
6 Bilan de quantité de mouvement :
la variation temporelle de la quantité de mouvement du système fermé est :
théorème
DP~
P~f (t + dt) − P~f (t)
dP~
δms
δme
=
=
+
~vs −
~ve
Dt
dt
dt
dt
dt
~
dP
dt est la variation temporelle de la quantité de mouvement du système ouvert et
δme ) est la masse qui est sortie (respectivement entrée) pendant dt à la vitesse ~vs
où
Le théorème de la résultante cinétique impose par ailleurs :
δms (respectivement
(respectivement ~ve ).
DP~
= ΣF~ext
Dt
où ΣF~ext est la somme des résultantes des actions extérieures qui s'appliquent sur le système fermé
coïncident.
Forces de pression
s'y retrouver
un volume V de uide délimité par une surface fermée Σ ressent des forces de surface de la part de son
−−→
environnement. Sur l'élément innitésimal d2 Σ s'exerce d2 F qui a une composante normale, liée à la
pression P . On négligera souvent la composante tangentielle, la force de viscosité.
7 Force de poussée en régime permanent
exercice
Montrer qu'en régime permanent apparaît une grandeur qui a la dimension d'une force et qui est due
au débit massique Dm
remarque
La "force" de poussée n'est pas à prendre en compte dans le bilan des forces car elle apparaît naturellement
dans le bilan de quantité de mouvement.
spé PC
page n◦ 5
Janson de Sailly
physique
année scolaire 2014/2015
3. Bilan d'énergie cinétique
Energie cinétique d'un système ouvert :
dénition
l'énergie cinétique du système ouvert est :
ZZZ
Ec =
V
v2 3
d m=
2
ZZZ
V
µv 2 3
d τ
2
8 Bilan d'énergie cinétique :
la variation temporelle de l'énergie cinétique du système fermé est :
théorème
Ec (t + dt) − Ecf (t)
DEc
dEc
δms vs2
δme ve2
= f
=
+
−
Dt
dt
dt
dt 2
dt 2
c
où dE
dt est la variation temporelle de l'énergie cinétique du système ouvert et δms (respectivement δme )
est la masse qui est sortie (respectivement entrée) pendant dt à la vitesse ~vs (respectivement ~ve ).
Le théorème de l'énergie cinétique donne :
DEc
dEc
δms vs2
δme ve2
= ΣPext + ΣPint =
+
−
Dt
dt
dt 2
dt 2
où ΣPext est la somme des puissances des actions extérieures et ΣPint est la somme des puissances des
actions intérieures qui s'appliquent sur le système.
On admet que ΣPint = 0 dans le cas d'un écoulement parfait et incompressible.
9 Bilan d'énergie cinétique dans le cas d'un écoulement parfait, incompressible et permanent
exercice
Que devient le bilan d'énergie cinétique dans le cas d'un écoulement parfait, incompressible et permanent ?
spé PC
page n◦ 6
Janson de Sailly
physique
année scolaire 2014/2015
Technique
à maîtriser
jeudi 9 octobre 2014
I-
Les capacités exigibles
1. Bilans de masse et calculs de débits
ce qu'il faut savoir faire
capacités
Établir un bilan de masse en raisonnant sur un système ouvert et xe ou sur un système fermé et mobile.
Utiliser un bilan de masse.
2. Bilans de quantité de mouvement
ce qu'il faut savoir faire
capacités
Associer un système fermé à un système ouvert pour faire un bilan. Utiliser la loi de la quantité de
mouvement pour exploiter un bilan.
3. Bilans d'énergie cinétique
ce qu'il faut savoir faire
capacités
Associer un système fermé à un système ouvert pour faire un bilan.
Utiliser la loi de l'énergie cinétique pour exploiter un bilan. Exploiter la nullité (admise) de la puissance
des forces intérieures dans un écoulement parfait et incompressible.
II-
Méthodes
1. Bilans de masse et calculs de débits
A) Calculs de débits
méthode
B) Faire un bilan de masse
méthode
Il faut bien dénir la surface et son orientation.
RR
RR − −−
→
−−→
−
v .d2 S ).
Il faut discerner débit massique (Dm = S µ.→
v .d2 S ) et débit volumique (Dv = S →
Il faut faire un schéma avec :
• à l'instant t le système ouvert et le système fermé qui le traverse ;
• à l'instant t + dt le système ouvert et le système fermé qui le traverse.
Seule la masse d'un système fermé est toujours constante (pas celle d'un système ouvert en régime non
permanent) : DM
Dt = 0.
spé PC
page n◦ 7
Janson de Sailly
physique
année scolaire 2014/2015
2. Bilans de quantité de mouvement
C) Faire un bilan de quantité de mouvement
méthode
Il faut faire un schéma avec :
• à l'instant t le système ouvert et le système fermé qui le traverse ;
• à l'instant t + dt le système ouvert et le système fermé qui le traverse.
Seule la quantité d'un système fermé suit le théorème de la résultante cinétique :
Attention à ne pas introduire dans le bilan des forces une force de poussée !
Ne pas oublier la résultante des forces de pression.
~
DP
Dt
= ΣF~ext .
3. Bilans d'énergie cinétique
D) Faire un bilan d'énergie cinétique
Il faut faire un schéma avec :
• à l'instant t le système ouvert et le système fermé qui le traverse ;
• à l'instant t + dt le système ouvert et le système fermé qui le traverse.
Seule l'énergie cinétique d'un système fermé suit le théorème de la puissance cinétique :
ΣPint = ΣPext dans le cas d'un écoulement parfait et incompressible.
III-
méthode
DEc
Dt
= ΣPext +
Exercices
1. Bilans de masse et calculs de débits
1.1) Débit d'un ruissellement laminaire
Un liquide - assimilé à un uide visqueux, newtonien, incompressible, de masse volumique µ et de viscosité
dynamique η s'écoule sur un plan incliné d'un angle α sur l'horizontale sur une hauteur δ constante. On étudie
l'écoulement en régime stationnaire. On admet que le champ de vitesse est :
~v =
µ.g. sin α
(2.δ − z) .z.~ux
2.η
où ~uz est orthogonal à l'écoulement (et donc au plan incliné), orienté depuis le plan vers le liquide.
1) En déduire le débit volumique Dv par unité de largeur de l'écoulement.
Dv =
µ.g. sin α 3
δ .
3.η
1.2) Débit à travers une paroi poreuse (loi de Darcy)
Une paroi poreuse est modélisée par une couche de matière d'épaisseur ` percée de N tubes cylindriques
horizontaux, de rayon a et de longueur ` (a `), par unité de surface. Il existe, au sein du liquide, une diérence
de pression ∆p entre les deux faces de la paroi poreuse. On ne tient pas compte du champ de pesanteur.
On admet que l'écoulement d'un uide visqueux newtonien, incompressible, à travers cette paroi est caractérisé par une loi de Poiseuille cylindrique dans chaque tube, avec un champ des vitesses ~v = v(r)~uz tel
que :
v(r) =
∆p
a2 − r2
4.η.`
où r désigne la distance à l'axe du tube.
1) Exprimer le débit volumique Dv du uide à travers la paroi sous la forme
Dv = K
S.∆p
η.`
où K est la perméabilité de la paroi et S représente la section totale de la paroi.
2) En déduire la vitesse moyenne V du uide - vitesse de Darcy - à travers la paroi.
spé PC
page n◦ 8
Janson de Sailly
physique
année scolaire 2014/2015
K=
N.π.a4
8.S
et V = K ∆p
η.` .
2. Bilans de quantité de mouvement
2.3) Jet sur une plaque xe
On s'intéresse à une plaque plane orthogonale à ~ux , immobile dans le référentiel du sol, sur laquelle arrive
un jet d'eau à la pression atmosphérique (de masse volumique µ, de vitesse ~v0 = v0 .~ux , de section S et donc
de débit massique Dm = µ.S.v0 ). Après contact avec la plaque, le jet est dévié d'un angle α, il garde la même
section S , et la même pression. On néglige tous phénomènes de viscosité.
1) Déterminer la force F~jet exercée par le jet sur la plaque en régime permanent.
2) Montrer en particulier que si α = 0 (le uide repart dans la direction d'incidence),
F~jet = 2.Dm .~v0
F~jet = 2.Dm .~v0 .
2.4) Jet sur une plaque mobile
Une plaque, perpendiculaire à la direction horizontale (Ox), est en translation, de vitesse constante ~v = v.~ex .
Elle est poussée par un jet d'eau, dont la vitesse est ~vi 0 = v0 .~ex et le débit massique Dm .
Un déecteur dévie le jet d'un angle dont la valeur est α dans le référentiel de la plaque. Le jet garde une
section uniforme, sa pression reste égale à la pression atmosphérique et on néglige toute viscosité.
0
1) Calculer le débit Dm
du jet dans le référentiel de la plaque.
2) Calculer la force exercée sur la plaque.
1)
2)
0
= Dm . 1 − vv0 .
Dm
F~j = Dm . 1 − vv0 (v0 − v) . [(1 + cos α) ~ex − sin α~ey ].
2.5) Force sur une lance d'incendie
Un tuyau souple, de section S se termine par un embout dont la section terminale s = 1cm2 est très petite
devant S .
La pression dans le tuyau est P1 = 10bar et le jet sort dans l'atmosphère à la pression P0 = 1bar. L'embout
fait un angle droit avec la partie antérieure du tuyau.
La vitesse du jet sera supposée très grande devant la vitesse du uide dans le tuyau.
1) L'eau étant assimilée à un uide partait, calculer le débit massique Dm
2) Calculer Fy , la composante parallèle au jet de la force F~ exercée par la personne qui tient la lance.
1)
2)
Dm = 4, 2kg.s−1 .
Fy = 180N .
2.6) Force de poussée subie par une fusée
Une fusée, dont la masse à l'instant t est m éjecte vers l'arrière les gaz issus de la combustion du carburant
et du comburant qu'elle contient. On suppose qu'elle est en translation, de vitesse ~v par rapport au référentiel
d'étude, galiléen, et que la vitesse ~u des gaz éjectés dans le référentiel de la fusée est uniforme et constante. Dm
représente leur débit massique.
1) Calculer la poussée de la fusée, c'est-à-dire la force F~p qu'il faudrait appliquer à un système fermé soumis
aux mêmes forces extérieures pour obtenir la même accélération.
spé PC
page n◦ 9
Janson de Sailly
physique
1)
année scolaire 2014/2015
F~p = −Dm .~u.
2.7) Evolution de la vitesse d'une fusée
Une fusée, de masse totale m(0) = 12t au départ, est lancée verticalement. La propulsion est assurée par
un dispositif à réaction : éjection de gaz produits par la combustion de propergol à travers une tuyère, avec
un débit massique constant a = 120kg.s−1 , à la vitesse relative ~u par rapport à la fusée (u = 2400m.s−1 ). Le
mélange combustible a une masse mc (0) = 0, 8.m(0) au départ.
1) Etablir l'équation diérentielle vériée par la vitesse V~ de la fusée à l'instant t dans le référentiel terrestre
considéré comme galiléen, en fonction de ~g , intensité du champ de pesanteur au lieu où se trouve la fusée, u, et
m(t) masse de la fusée à l'instant t.
2) Pour une intensité du champ de pesanteur constante, intégrer la précédente relation pour trouver V~ (t),
la vitesse de la fusée à l'instant t.
3) On prendra g = 10m.s−2 . Calculer la vitesse maximale Vmax acquise par la fusée.
1)
2)
3)
~
dV
dt
= ~g +
dm
u.
m.dt .~
m(t)
m(t=0)
3
−1
~ (t) = ~g .t + ln
V
Vmax = 3, 1.10 m.s
.~u.
.
3. Bilans d'énergie cinétique
3.8) Puissance d'une pompe
Une pompe aspire l'eau d'un puits, et la transvase dans un réservoir pressurisé avec un débit massique Dm
constant. Le niveau supérieur de l'eau dans le réservoir est à une altitude h au-dessus de celui du puits, et la
pression y est égale à P1 , supérieure à la pression atmosphérique P0 . On néglige toute viscosité.
1) Calculer la puissance utile Pu fournie par la pompe au uide.
1)
spé PC
Pu = Dm . g.h +
P1 −P0
µ
.
page n◦ 10
Janson de Sailly
physique
année scolaire 2014/2015
Résolution
de
problème
vendredi 10 octobre 2014
Cet exercice sera fait en demi-groupe lors de la séance de travaux dirigés.
Les fusées à eau
Extraits de l'article du Bulletin de l'Union des Physiciens n◦ 732 vol. 85 mars 1991 pp. 512-532
La fusée à eau par J.P. SOULARD
Une fusée qui se propulse... à l'eau
Réaliser une fusée de stabilité convenable tout au long de son vol
peut se faire simplement. Deux bouteilles en plastique pour boisson
gazeuse (genre Pepsi, Coca...) de 1, 5 L, ou même 2 L, constituent
le matériau de base à se procurer. L'une des deux est découpée pour
fournir l'ogive et la jupe sur laquelle seront xés trois ou quatre ailerons
pour former la queue.
Au terme d'un éventuel compte à rebours (ça fait plus sérieux !) la
libération du cran d'arrêt entraîne la décompression du bouchon et la
pression à l'intérieur acquise par gonage fait le reste : dégagement de
la tuyère par la force pressante, éjection brutale de l'eau et mouvement
de la fusée par réaction.
Caractéristiques approximatives de la fusée :
- masse à vide avec ogive et queue 100 g ;
- diamètre du corps : 8, 5 cm ;
- diamètre de la tuyère : 2 cm ;
- volume total du réservoir : 1, 5 L ;
- hauteur : 40 cm ;
- pression supportable : jusqu'à 40 bar.
En y mettant 0, 5 L et en gonant à 6 bars, on obtient pour le
départ : poussée F = 377 N.
Enoncé
1) Vérier que la valeur numérique de la poussée au démarrage de la fusée est bien de l'ordre de grandeur
de ce qui est indiqué dans le texte.
Travaux
pratiques
vendredi 10 octobre 2014
La moitié de la classe fait un TP d'électricité noté.
spé PC
page n◦ 11
Janson de Sailly
physique
année scolaire 2014/2015
Approche
documentaire
vendredi 10 octobre 2014
Le document est à lire, l'exercice est à rendre. Delabarre Lucas et Doucet-Ferru Baptiste feront un exposé.
La tempête Christian
Météo France
extraits issus du site comprendre.meteofrance.com/pedagogique/pour tous/glossaire/
En Europe, la tempête Christian a fait onze victimes le 28 octobre 2013. Des
vents souant à plus de 160 km/h ont causé le chaos dans le sud de l'Angleterre et
le pays de Galles.
Surface isobare
Dans l'atmosphère , une surface isobare est une surface réunissant à un instant déterminé les points en
lesquels la pression atmosphérique est égale à une même valeur donnée.
Sur ces surfaces plus ou moins ondulées et incurvées que constituent les surfaces isobares, les météorologistes
réunissent par des courbes les points possédant la même altitude géopotentielle ; de telles courbes, appelées
lignes isohypses, sont analogues à des courbes de niveau d'une carte géographique et mettent ainsi en évidence
la topographie des surfaces isobares : cette topographie, essentielle pour l'observation et la prévision du temps,
se décrit principalement en termes d'anticyclones, de dépressions, de dorsales et de thalwegs, et aussi de cols
barométriques et de marais barométriques (sur une surface isobare, un col barométrique est une région en forme
de selle séparant deux anticyclones et deux dépressions disposés en croix, et un marais barométrique est une
région faiblement dépressionnaire analogue à une plaine).
Vent géostrophique
On constate qu'en chaque point, le vecteur vent réellement observé s'écarte peu en vitesse et direction d'un
vecteur vent "théorique" appelé vent géostrophique, qui possède deux propriétés :
spé PC
page n◦ 12
Janson de Sailly
physique
année scolaire 2014/2015
- il est tangent à la ligne isohypse passant par ce point et son sens est tel qu'il laisse les altitudes géopotentielles
plus basses sur sa gauche dans l'hémisphère Nord, sur sa droite dans l'hémisphère Sud ;
- sa vitesse est d'autant plus élevée que les distances entre lignes isohypses successives au voisinage du point
d'observation sont plus petites. Plus précisément, à l' échelle synoptique , cette vitesse peut être considérée
comme proportionnelle à l'intensité du gradient isobare de géopotentiel (donc à la pente de la surface isobare)
en ce point.
Le fait que le vent soue pratiquement dans la direction des lignes isohypses pose question, puisque l'on
s'attendrait à un mouvement de l'air dirigé des pressions plus hautes vers les pressions plus basses, et donc
perpendiculaire à ces courbes : c'est en réalité la force de Coriolis qui, en déviant ce mouvement vers la droite dans
l'hémisphère Nord, vers la gauche dans l'hémisphère Sud, compense l'action des forces de pression horizontales
et rend le déplacement de l'air à peu près parallèle aux lignes isohypses. Cette répartition générale des vents
(hors de la zone équatoriale) exprime l'existence d'un état d'équilibre dynamique dont les mouvements de
l'atmosphère tendent sans cesse à se rapprocher sans jamais l'atteindre.
Force de Coriolis
Sur Terre, la force de Coriolis s'applique en particulier aux parcelles d' air et d'eau constituant respectivement
~ h de cette force s'exerce sur le centre de masse B
l'atmosphère et l'océan. Lorsque la composante horizontale C
de l'une de ces parcelles, elle est de direction orthogonale à la composante horizontale V~h de la vitesse de B et a
une valeur numérique proportionnelle au produit f mvh , où m représente la masse de la parcelle et vh la valeur
numérique de V~h ; le coecient de proportionnalité est la valeur absolue d'un nombre symbolisé par la lettre f
et appelé le paramètre de Coriolis, qui prend la forme f = 2Ω sin λ, où Ω est la vitesse angulaire de rotation
(constante) de la Terre sur elle-même et λ la latitude où se trouve B : ce nombre f , positif dans l'hémisphère
Nord, négatif dans l'hémisphère Sud, a la dimension du produit d'une mesure angulaire par l'inverse d'un temps
(il vaut environ 10−4 rad · s−1 pour λ = +45◦ ) et n'est autre que la valeur numérique prise par la composante
verticale en B du tourbillon de la Terre dans un référentiel galiléen.
Synoptique
L'adjectif "synoptique" en météorologie qualie les phénomènes atmosphériques dont l'ordre de grandeur est
de quelques milliers de kilomètres pour les dimensions horizontales, de quelques kilomètres pour la dimension
verticale et de quelques jours pour la durée ; l'échelle spatio-temporelle ainsi décrite s'appelle précisément l'échelle
synoptique et constitue par excellence le cadre de la prévision opérationnelle sur une échéance de un à trois
jours dans les zones tempérées : pareille prévision repose en eet sur l'évolution de systèmes anticycloniques
et dépressionnaires de la basse atmosphère qui constituent autant d'objets météorologiques généralement bien
ajustés à cette échelle dans l'espace et le temps, de même que les perturbations atmosphériques et les zones
frontales susceptibles de s'y développer.
Buys-Ballot (Christophorus Henricus)
La règle de Buys-Ballot indique, premièrement, que dans l'hémisphère Nord la direction du vent - compte
tenu de son sens - laisse les basses pressions sur sa gauche et les hautes pressions sur sa droite (la disposition
inverse valant pour l'hémisphère Sud), et deuxièmement, que la vitesse du vent est d'autant plus élevée que les
lignes isobares sont plus resserrées.
Enoncé
1)
1.a) Représenter une vue de la Terre en coupe, avec O, le centre de la Terre, les pôles nord (PN) et sud
~ de la Terre.
(PS), un point B à la surface de la Terre, λ la latitude de B et le vecteur rotation Ω
1.b) Calculer la valeur numérique de Ω.
2) Vérier que la composante horizontale de la force de Coriolis C~ h exercée sur une "parcelle d'atmosphère"
de masse m, de centre de masse en B et de vitesse ~v est bien cohérente avec l'expression donnée par le document.
3)
3.a) En faisant un bilan sur un écoulement unidimensionnel entre une zone de haute pression
Pe à
~
l'entrée et une zone de basse pression Ps à la sortie, exprimer la résultante Π des forces de pression appliquées
sur le uide.
3.b) En passant à un système innitésimal, exprimer la résultante des forces de pression exercée sur la
−−→
"parcelle d'atmosphère" de centre de masse en B et de volume V en fonction de grad P .
4) En supposant l'existence d'un état d'équilibre dynamique, démontrer la règle de Buys-Ballot.
5) Sur la carte météo,
5.a) Déterminer où sont les zones de hautes et basses pressions.
spé PC
page n◦ 13
Janson de Sailly
physique
6)
année scolaire 2014/2015
5.b) Représenter à plusieurs endroits des vecteurs vitesse horizontaux de l'atmosphère.
5.c) Où les vents sont-ils les plus violents ?
6.a) En utilisant le fait que la valeur numérique du rayon de la Terre est R ≈ 6700 km, évaluer sur la
carte météo la valeur maximale atteinte par la vitesse du vent.
6.b) Est-ce cohérent avec les données du chapeau ?
spé PC
page n◦ 14
Janson de Sailly