Chapitre III : Description du fluide en mouvement

Spéciale PSI - Cours "Mécanique des uides"
Cinématique des
1
uides
Chapitre III : Description du uide en mouvement
Contents
1 Le modèle du
uide continu
2
2 Champ des vitesses dans un uide
2.1 Description de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Description d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Compatibilité de deux descriptions . . . . . . . . .
2.4 Représentation et visualisation des écoulements . .
2.4.1 Approche lagrangienne : trajectoire . . . .
2.4.2 Approche eulérienne : lignes de courants . .
2.4.3 Approche expérimentale : ligne d’émission .
2.4.4 Visualisation des écoulements . . . . . . . .
2.5 Cas particulier des écoulements stationnaires . . .
2.6 Exemple : mouvement d’un cylindre dans un 'uide
2.6.1 Position du problème . . . . . . . . . . . . .
2.6.2 Etude dans le référentiel R lié au cylindre
2.6.3 Etude dans le référentiel R lié au 'uide . .
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6
3 Dérivée particulaire d’un champ
3.1 Dé+nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Expression en description eulérienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Application à l’accélération . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
7
8
8
4 Densités de courant et débits
4.1 Débit volumique . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Débit massique . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Sources et puits . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Surface de contrôle et surface particulaire
4.4.1 Bilan sur un système ouvert . . . .
4.4.2 Bilan sur un système fermé . . . .
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initialement
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au repos
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10
5 Equation de conservation de la masse
5.1 Bilan de masse sur un volume de contrôle - équation de continuité - approche eulérienne . .
5.2 Bilan de masse sur un volume particulaire - équation de continuité - approche lagrangienne
g(r, t)d extensive (HP) . . . . .
5.2.1 Dérivée particulaire d’une grandeur G (t) =
V
5.2.2 Bilan de masse en description lagrangienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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6 Ecoulements particuliers
6.1 Evolution d’un volume élémentaire de 'uide . . . . .
6.2 Rappels sur l’interprétation physique des opérateurs
6.3 Cas du régime stationnaire . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Cas d’un 'uide incompressible . . . . . . . . . . . . .
6.5 Cas d’un écoulement incompressible . . . . . . . . .
6.6 Ecoulements tourbillonnaires ou non tourbillonnaires
6.6.1 Dé+nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6.2 Potentiel des vitesses . . . . . . . . . . . . . .
6.6.3 Exemple de la tornade . . . . . . . . . . . . .
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15
7 Analogies avec l’électromagnétisme
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18
2
Mécanique des uides. Chapitre III : Description du uide en mouvement
Cinématique des
uides
Chapitre III : Description du 'uide en mouvement
Objectifs :
• Description lagrangienne et eulérienne du uide; dérivée particulaire.
• Introduction des densités de courant, débits; équation de conservation de la masse.
1
Le modèle du uide continu
Rappel:
• Un 'uide est un milieu matériel continu, déformable, qui peut s’écouler.
• Modèle du 'uide continu :
— on n’étudie pas individuellement chaque particule.
— Les grandeurs physiques dé+nies dans le 'uide sont des moyennes sur des éléments de volume d mésoscopiques
(typiquement 1 µm), c’est à dire à la fois petit devant les dimensions macroscopiques et su=samment grand devant
les dimensions microscopiques pour contenir un grand nombre de molécules de 'uide.
2
2.1
Champ des vitesses dans un uide
Description de Lagrange
Pour décrire le 'uide, on le découpe en éléments de volume mésoscopiques, physiquement fermés,
appelés particules 'uides. On suit l’évolution au cours du temps d’une de ces particules uides : Mi .
La description lagrangienne consiste donc à dé+nir les grandeurs physiques en des points attachés à la matière : c’est la
description utilisée en mécanique du point.
Cette description est bien adaptée pour l’écriture des dé+nitions et théorèmes de la mécanique.
Soit Mi une particule 'uide et vi son vecteur vitesse (vi est dé+ni, comme toutes les grandeurs physiques dans le 'uide, en
valeur moyenne sur l’élément de volume. Il se confond en fait avec la vitesse de son centre d’inertie). Soit OM i le vecteur
position de la particule 'uide. On a alors :
vi =
d OM i
=
dt
d xi
dt
i+
d yi
dt
j+
d zi
dt
k = vi (t)
Cette vitesse ne dépend explicitement que du temps (les coordonnées d’espace sont des fonctions du temps). Plus précisément vi (t) dépend de t et de la position à l’origine des temps de la particule 'uide: vi (t) = V (ro , t).
Mécanique des uides. Chapitre III : Description du uide en mouvement
2.2
3
Description d’Euler
Pour décrire le 'uide, on le découpe en éléments de volume mésoscopiques 'xes dans le référentiel d’étude
donc physiquement ouverts si le 'uide bouge.
La description eulérienne consiste donc à dé+nir les grandeurs physiques en des points 'xes du référentiel. La description
eulérienne est bien adaptée pour e?ectuer des analogies avec l’électromagnétisme (établissement d’équations locales).
Dans cette description la vitesse en un point M du 'uide est une fonction de deux variables indépendantes M et t :
v = v(r, t)
2.3
Compatibilité de deux descriptions
• En description lagrangienne, le vecteur vitesse v d’un point M du 'uide est le vecteur de la particule 'uide qui l’entoure.
• En description eulérienne, le vecteur vitesse v d’un point M du 'uide à un instant t est le vecteur vitesse de la particule
'uide qui se trouve en M à cet instant t.
A chaque instant, les lignes de champ des vitesses dans les deux descriptions coïncident. Une même vitesse peut être
analysée de deux façons di?érentes.
2.4
2.4.1
Représentation et visualisation des écoulements
Approche lagrangienne : trajectoire
Dans la description lagrangienne, on suit l’évolution d’une particule de 'uide.
La trajectoire d’une particule 'uide est dé+nie comme le chemin suivi par cette particule au cours du temps, c’est-à-dire
l’ensemble des positions successives de cette particule au cours de son mouvement. On peut les visualiser expérimentalement
en photographiant en pose prolongée le déplacement d’un traceur émis pendant un temps très court en un point du 'uide
(colorant, particules di?usant la lumière, bulles d’hydrogène, ... ). On les obtient mathématiquement par intégration
temporelle du champ de vitesse lagrangien V (ro , t)
r(t) = ro +
2.4.2
t
to
V (ro , t )dt
trajectoire d’une particule uide
Approche eulérienne : lignes de courants
Les lignes de courants sont les lignes du champ de vecteurs v ; elles sont dé+nies comme étant les tangentes en chaque point
au vecteur vitesse v(x, y, z, to ) à un instant donné to . Un tube de courant est l’ensemble des lignes de courants s’appuyant
sur un contour fermé. On peut visualiser expérimentalement les lignes de courants en faisant une photo en légère pose d’un
ensemble de particules: la direction des segments obtenus donne celle du vecteur vitesse ; leur longueur est proportionnelle
au module de la vitesse.
Mathématiquement, ces lignes sont dé+nies par l’ensemble des points M (x, y, z) tels qu’un déplacement élémentaire dM(dx, dy, dz)
le long de la ligne soit colinéaire au vecteur vitesse v ; ceci peut s’exprimer par :
dM
v = 0 soit
dx
dy
dz
=
=
vx
vy
vz
le long d’une ligne de courants
On obtient l’équation des lignes de courants par intégration de ces deux équations di?érentielles.
4
Mécanique des uides. Chapitre III : Description du uide en mouvement
2.4.3
Approche expérimentale : ligne d’émission
Une ligne d’émission représente l’ensemble des positions successives des particules 'uides ayant coïncidé à un instant antérieur
avec un point Mo (xo , yo , zo ). Elles sont obtenues expérimentalement par émission continue d’un traceur (colorant par exemple)
au point Mo , et photographie instantanée de l’ensemble des positions du traceur.
2.4.4
Visualisation des écoulements
Voir en annexe les techniques utilisées pour visualiser les écoulements.
2.5
Cas particulier des écoulements stationnaires
Un écoulement stationnaire est tel que tous les champs dé+nis dans le 'uide sont indépendants du temps,
et en particulier le champ des vitesses.
Dans une telle situation le champ des vitesses eulérien ne dépend pas explicitement du temps : v(r, t) = v(r)
Dans ce cas, les lignes de courants, les trajectoires et les lignes d’émission coïncident.
En e?et, les di?érentes particules « marquées» émises d’un même point au cours du temps ont les mêmes trajectoires :
celles-ci représentent donc en même temps les lignes d’émission.
Par ailleurs, le vecteur vitesse local (indépendant du temps) est tangent en chaque point aux trajectoires qui représentent
donc également les lignes de courants.
Au contraire, dans le cas d’un écoulement non stationnaire (par exemple dans le cas d’un obstacle qui se déplace dans un
récipient où le 'uide est au repos loin de l’obstacle), ces di?érentes lignes sont en général distinctes, et la correspondance
entre elles est di=cile à étudier. On s’intéresse alors en général aux lignes de courants à l’intérieur du 'uide.
Remarque :
Selon le référentiel dans lequel on se place l’écoulement peut être statonnaire ou non stationnaire : cas du cylindre
en translation avec une vitesse Vo constante dans le 'uide initialement au repos :
• dans le référentiel lié au cylindre, le champ de vitesse ne dépend pas explicitement du temps : les lignes de
courants sont confondues avec les trajectoires;
• dans le référentiel lié au 'uide initialement au repos, le champ de vitesse dépend explicitement du temps : les
lignes de courants ne sont plus confondues avec les trajectoires.
2.6
2.6.1
Exemple : mouvement d’un cylindre dans un uide initialement au repos
Position du problème
Un cylindre de rayon a se déplace à la vitesse V0 constante, perpendiculaire à ses génératrices, dans un 'uide initialement au
repos.
Soit R le référentiel lié au 'uide initialement au repos, repéré par le système d’axe orthonormé, +xe R (O; ex , ey , ez ) avec
V0 = V0 ex (V0 > 0) et (Oz) parallèle aux génératrices du cylindre.
Soit R le référentiel lié au cylindre, repéré par le système de coordonnées polaires R (O ; er , e , ez ) ayant pour origine l’axe
du cylindre passant par le point O . A t = 0, on supposera que O et O sont confondus.
On admet que le champ des vitesses dans le référentiel R est donné par :
v (r, , t) =
2.6.2
V0 (1 a2 /r2 ) cos er
V0 (1 + a2 /r2 ) sin e
Etude dans le référentiel R lié au cylindre
2.6.2.1 Lignes de courants dans le référentiel R lié au cylindre
Les lignes de courants à un instant t = t0 sont les lignes de champ de v (r, , t0 ). Leur équation di?érentielle est :
rd
dr
=
vr (r, , t0 )
v (r, , t0 )
dr
rd
=
V0 (1 a2 /r2 ) cos
V0 (1 + a2 /r2 ) sin
cos
(1 + a2 /r2 )
dr =
d
r a2 /r
sin
r a2 /r = A/ sin
L’allure des lignes de courants peut être obtenue par voie informatique :
Mécanique des uides. Chapitre III : Description du uide en mouvement
5
> wi t h(pl ot s ):
> s : =s eq(i mpl i ci t pl ot ((r-1/r )*s i n(t het a)=i /10, r =1. . 5, t het a=0. . 2*Pi , coords =pol ar ,
numpoi nt s =1000, col or =COLOR(HUE, (i +20)/40)), i =-20. . 20):
> cyl i ndr e: =pl ot ([1, t het a, t het a=0. . 2*Pi ], coords =pol ar , s cal i ng=CONSTRAI NED,
col or=bl ack, t hi cknes s =3):
> di s pl ay(s , cyl i ndre);
2.6.2.2 Trajectoire dans le référentiel R lié au cylindre
Dans le référentiel R lié au cylindre la vitesse d’une particule 'uide est
2
v (r, , t) =
sin
V0
2
V0 (1 a /r ) cos er
V0 (1 + a2 /r2 ) sin e
=
a2
cos2 + V0 ex
sin2
r2
a2
2V0 2 sin cos ey
r
= y /r et cos = x /r avec r2 = x 2 + y 2
V0
v (x , y , t) =
a2
y 2 x2
+ V0 ex
2
x +y
x2+y2
a2
xy
2V0
ey
2
x +y2
x2+y2
2
Pour obtenir le système d’équations di?érentielles donnant la trajectoire il su=t d’écrire :
v (x , y , t) =
dx
dt
ex +
dy
dt
ey
dx
a2
y 2 x2
= V0
+ V0
dt
x2+y2
x2+y2
2
a
xy
dy
= 2V0
2
2
2
dt
x +y
x +y2
Une résolution numérique donne les tracés ci-dessous :
> wi t h(DEt ool s ):
> eq1: =di f f (x(t ), t )=1+(y(t )^2-x(t )^2)/(x(t )^2+y(t )^2)^2;
> eq2: =di f f (y(t ), t )=-2*(y(t )*x(t ))/(x(t )^2+y(t )^2)^2;
> ci : =s eq(s eq([x(0)=j , y(0)=i /2+0. 1], i =0. . 10), j =-5. . -1):
> g: =DEpl ot ([eq1, eq2], [x(t ), y(t )], t =0. . 5, [ci ], s t eps i ze=. 1, l i necol or=t ,
met hod=rkf 45, vi ew=[-6. . 2, -1. . 6], arr ows =NONE):
> cyl i ndr e: =pl ot ([1, t het a, t het a=0. . 2*Pi ], coords =pol ar , s cal i ng=CONSTRAI NED, col or =bl ack, t hi cknes s =3):
> pl ot s [di s pl ay](g, cyl i ndr e);
6
Mécanique des uides. Chapitre III : Description du uide en mouvement
2.6.2.3 Conclusion
Dans le référentiel R lié au cylindre, l’écoulement est stationnaire : nous constatons que les lignes de courants et les
trajectoires sont bien confondues.
2.6.3
Etude dans le référentiel R lié au
uide
2.6.3.1 Lignes de courants dans le référentiel R lié au uide
Les lignes de courants à un instant t = t0 sont les lignes de champ de v (r, , t0 ) = v (r, , t0 ) + V0 = v (r, , t0 ) +
V0 [ cos er + sin e ].
Leur équation di?érentielle est :
dr
vr (r, , t0 ) V0 cos
=
rd
v (r, , t0 ) + V0 sin
dr
=
V0 ( a2 /r2 ) cos
cos
dr
=
d
r
sin
r = A sin
rd
V0 (a2 /r2 ) sin
On reconnaît l’équation d’un cercle de rayon A/2 et de centre (x = 0, y = A/2) :
> s : =s eq(pl ot ([i *s i n(t het a), t het a, t het a=0. . 2*Pi ], numpoi nt s =2000, coor ds =pol ar,
col or= COLOR(HUE, i /10), s cal i ng=CONSTRAI NED, t hi cknes s =2), i =1. . 10):
> cyl i ndr e: =pl ot ([1, t het a, t het a=0. . 2*Pi ], coords =pol ar , s cal i ng=CONSTRAI NED,
col or=bl ack, t hi cknes s =3, vi ew=[-4. . 4, -1. . 5]):
> pl ot s [di s pl ay](s , cyl i ndr e);
2.6.3.2 Trajectoire dans le référentiel R lié au uide
Dans le référentiel R lié au 'uide la vitesse d’une particule 'uide est
V0
v (r, , t)
sin
=
=
v (r, , t0 ) + V0 =
a2
cos2
sin2
r2
a2
2V0 2 sin cos
r
ex
ey
y /r et cos = x /r avec r2 = x 2 + y 2 et x = x + V0 t et y = y
a2
(x + V0 t)2 + y2
a2
2V0
(x + V0 t)2 + y2
V0
v (x, y, t) =
y2
(x + V0 t)2
x 2 + y2
(x + V0 t) y
(x + V0 t)2 + y2
ex
ey
Mécanique des uides. Chapitre III : Description du uide en mouvement
7
Pour obtenir le système d’équations di?érentielles donnant la trajectoire il su=t d’écrire :
v (x, y, t) =
dx
ex +
dt
dy
dt
ey
dy
=
dt
2
a
dx
= V0
dt
(x + V0 t)2 + y2
2V0
y2
a
(x + V0 t)2 + y2
(x + V0 t)
2
2
(x + V0 t) y
Une résolution numérique donne les tracés ci-dessous :
> eq1: =di f f (x(t ), t )=(y(t )^2-(x(t )+t )^2)/((x(t )+t )^2+y(t )^2)^2;
> eq2: =di f f (y(t ), t )=-2*(y(t )*(x(t )+t ))/((x(t )+t )^2+y(t )^2)^2;
> g: =DEpl ot ([eq1, eq2], [x(t ), y(t )], t =-5. . 5, [ci ], s t eps i ze=. 1,
l i necol or =t , met hod=r kf 45, vi ew=[-6. . 2, -1. . 6]):
> ci : =s eq(s eq([x(0)=j , y(0)=i +0. 1], i =0. . 5), j =-5. . -1):
> cyl i ndr e: =pl ot ([1, t het a, t het a=0. . 2*Pi ], coords =pol ar ,
s cal i ng=CONSTRAI NED, col or =bl ack, t hi cknes s =3):
> pl ot s [di s pl ay](g, cyl i ndr e);
2.6.3.3 Conclusion
Dans le référentiel R lié au 'uide, l’écoulement n’est plus stationnaire : nous constatons que les lignes de courants et les
trajectoires ne sont plus confondues.
En superposant les deux tracés précédents on constate qu’il y a bien compatibilité entre les approches lagragienne et eulérienne.
3
Dérivée particulaire d’un champ
3.1
Dé3nition
La dérivée particulaire d’une grandeur physique g associée à une particule 'uide est la dérivée par rapport au temps
calculée par un opérateur 'xé à cette particule uide. Cette dérivée est notée Dg
Dt .
8
Mécanique des uides. Chapitre III : Description du uide en mouvement
Exemple : cas d’un automobiliste mesurant les variations de la température extérieure en fonction du temps tout
en se déplaçant.
3.2
Expression en description eulérienne
Pour dériver g(r, t), il faut tenir compte du fait que le champ peut varier au cours du temps en chaque point de l’espace et
du fait que la particule voit une variation du champ à cause de son déplacement propre pendant dt:
g(r + dr, t + dt)
Dg
=
Dt
dt
g(r, t)
avec dr = v(M, t)dt
La dérivée particulaire ou dérivée totale est la somme d’une dérivée locale et d’une dérivée convective :
g
Dg
=
+ v.grad g
Dt
t
démonstration :
g
t
Dg =
g
t
Dg =
=
=
3.3
g
t
g
t
r
g
x
dt +
r
Dg
=
dt
g
x
dt +
g
t
g
x
r
dx
+
dt
r
y,z,t
y,z,t
+
.
x
g
y
dx +
g
y
dx
dt +
dt
y,z,t
dy
+
dt
.
y
z,x,t
z,x,t
g
y
dx
+
dt
g
z
dy +
dy
dt +
dt
z,x,t
dz
+
dt
dy
+
dt
.
z
dz
x,y,t
g
z
g
z
x,y,t
dz
dt
dt
x,y,t
dz
dt
g
+ v.grad g
r
Application à l’accélération
D’après le paragraphe précédent, l’accélération d’une particule uide s’obtient à partir du champ eulérien des vitesses :
a=
D v(r, t)
=
Dt
v
t
+ v.grad v
accélération d’une particule uide
r
La description lagragienne étant équivalente on peut aussi écrire :
a=
d V (ro , t)
dt
v
rot v
Remarque : On démontre que :
a=
D v(r, t)
=
Dt
v
t
1
+ grad v 2
2
r
accélération d’une particule uide
Exercice 1 : A ccélération d’une particule uide
Démontrer l’égalité précédente en coordonnées cartésiennes.
Exercice 2 : Exemple de calcul à partir des deux descriptions lagrangienne et eulérienne
Soit un écoulement bidimensionnel dont le champ des vitesses, dé+ni dans un référentiel (O, x, y, z), dans la région x > 0
et y > 0 est
v(r, t) =
kxex + kyey
1) Que peut-on dire de cet écoulement ?
2) Déterminer les trajectoires des particules et les lignes de courants.
3) Même question avec un écoulement tridimensionnel
v(r, t) =
kxex + kyey + a cos t ez
4) On reprend l’écoulement bidimensionnel. Déterminer, dans les deux descriptions, l’accélération d’une particule 'uide.
Mécanique des uides. Chapitre III : Description du uide en mouvement
9
Exercice 3 : Ecoulement plan stationnaire d’un uide parfait
On étudie l’écoulement plan stationnaire d’un 'uide parfait, noté (E), de champ de vitesse locale au point
M(x, y, z) : v = 3x2 y ex + 3xy2 ey
1) Déterminer l’équation cartésienne et la forme des lignes de courants du 'uide.
2) Déterminer les équations paramétriques x(t) et y(t) de la particule 'uide P ,de coordonnées (x0 , y0 , 0) à l’instant
t = 0, et que l’on suit dans son mouvement (description lagrangienne).
3) Exprimer la vitesse instantanée vp (t) de la particule P et l’accélération a(t) de cette particule, à l’aide des
constantes x0 et y0 , à partir de la description lagrangienne étudiée à la deuxième question.
4) Retrouver l’accélération a de la particule du 'uide de l’écoulement (E) en utilisant une description eulérienne
: on se place au point d’observation M +xe.
4
4.1
Densités de courant et débits
Débit volumique
Soit une surface élémentaire orientée dS = dS n, centrée sur M , 'xe dans le référentiel d’étude. Soit d2 V le volume
élémentaire de 'uide qui traverse dS pendant la durée dt.
Par dé+nition, le débit volumique élémentaire du 'uide à travers dS est la grandeur dDv telle que d2 V = dDv dt.
Le volume élémentaire de 'uide qui traverse dS pendant la durée dt est un cylindre élémentaire de base dS et de génératrice
udt = v(M, t)dt.
On a donc :
d2 V = v(M, t)dt.dS et donc dDv = v(M, t).dS = v(M, t).dS n
le débit volumique élémentaire apparaît donc comme le 'ux élémentaire du ”vecteur densité volumique de courant de volume”
soit le vecteur vitesse :
Soit S une surface, orientée, 'xe dans le référentiel d’étude.
Le débit volumique Dv du 'uide à travers S est la somme des débits volumiques élémentaires dDv
Dv =
dDv = $ =
j(M, t).dS =
d$ =
S
S
S
v(M, t).dS
S
dans le cas d’une surface fermée, avec les conventions habituelles, nous obtiendrons le débit volumique sortant
Dv =
3
Le débit volumique s’exprime en m . s
4.2
1
.
j(M, t).dS =
S
v(M, t).dS
S
Débit massique
Soit une surface élémentaire orientée dS = dS n, centrée sur M , 'xe dans le référentiel d’étude. Soit d2 m la masse élémentaire
de 'uide qui traverse dS pendant la durée dt.
Par dé+nition, le débit massique élémentaire du 'uide à travers dS est la grandeur dDm telle que d2 m = dDm dt.
La masse élémentaire de 'uide qui traverse dS pendant la durée dt est contenue dans un cylindre élémentaire de base dS et
de génératrice udt = v(M, t)dt.
On a donc
d2 m = &(M, t) v(M, t)dt.dS et donc dDm = &(M, t) v(M, t).dS = &(M, t) v(M, t).dS n
le débit massique élémentaire apparaît donc comme le 'ux élémentaire du vecteur densité volumique de courant de masse
dDm = d$ = j(M, t).dS avec j(M, t) = &(M, t) v(M, t)
10
Mécanique des uides. Chapitre III : Description du uide en mouvement
Soit S une surface, orientée, 'xe dans le référentiel d’étude.
Le débit massique Dm du 'uide à travers S est la somme des débits massiques élémentaires dDv
Dm =
dDm = $ =
j(M, t).dS =
d$ =
S
S
S
&(M, t) v(M, t).dS
S
dans le cas d’une surface fermée, avec les conventions habituelles, nous obtiendrons le débit massique sortant
Dm =
3
Le débit massique s’exprime en kg . s
4.3
j(M, t).dS =
1
&(M, t)v(M, t).dS
S
S
.
Sources et puits
Il existe parfois en certains points d’un écoulement de 'uide des apparitions (sources) ou des disparitions (puits) de 'uide.
On peut alors leurs associer un débit Dv,sources ou Dm,sources grandeur algébrique.
4.4
Surface de contrôle et surface particulaire
Lors de l’écriture de bilan en mécanique des 'uides, nous pouvons raisonner sur un système fermé ou sur un système ouvert :
4.4.1
Bilan sur un système ouvert
On considère une surface fermée S, appelée surface de contrôle, 'xe dans le référentiel d’étude.
Sauf dans le cas d’un 'uide au repos, il y a circulation de matière entre le volume de contrôle (volume délimité par la surface
de contrôle) et le milieu extérieur.
Cette approche correspond à la description eulérienne.
4.4.2
Bilan sur un système fermé
On considère une quantité déterminée de 'uide délimitée par une surface fermée S liée au uide appelée surface particulaire.
Tous les points de cette surface se déplacent à la même vitesse que le 'uide. Il n’y a donc aucun transfert de matière entre
le volume particulaire (volume délimité par la surface particulaire) et le milieu extérieur.
Cette approche correspond à la description lagrangienne.
5
Equation de conservation de la masse
Nous e?ectuons un bilan de masse en considérant successivement un système ouvert puis un système fermé.
5.1
Bilan de masse sur un volume de contrôle - équation de continuité - approche eulérienne
Soit une région de l’espace contenant un 'uide de masse volumique &(r, t).
Soit une surface de contrôle S (donc 'xe dans le référentiel d’étude). Soit V le volume de contrôle associé.
La masse totale M (t) contenue à l’instant t dans V est :
&(r, t)d
M (t) =
V
Pour un volume de contrôle (donc +xé) c’est à priori une fonction du temps. En e?et si & varie au cours du temps alors M
peut varier de dM entre t et t + dt avec
d
dM
=
dt
dt
&(r, t)d
=
V
V
&(r, t)
d
t
On suppose qu’il n’y a ni source ni puits de masse, la variation de M est donc liée à un transport de matière à travers la
surface de contrôle S.
D’après le paragraphe 4.2."Débit massique" :
dM =
Dm dt =
j(M, t).dS dt =
S
&(M, t) v(M, t).dS dt
S
on obtient alors :
V
&(r, t)
d =
t
&(M, t) v(M, t).dS
S
Mécanique des uides. Chapitre III : Description du uide en mouvement
11
d’après le théorème de Green-Ostrogradsky :
&(M, t) v(M, t).dS =
div [&(M, t) v(M, t)] d
S
V
donc
V
&(r, t)
d =
t
div [&(M, t) v(M, t)] d
V
V
V
&(r, t)
div [&(M, t) v(M, t)] d = 0
d +
t
V
&(r, t)
+ div [&(M, t) v(M, t)] d = 0
t
l’égalité précédente est vrai quel que soit le volume V d’où :
&(r, t)
+ div [&(M, t) v(M, t)] = 0
t
Le bilan d’évolution de la masse contenue dans un volume 'xe V (de contrôle) sans source se traduit par :
• l’équation intégrale de conservation de la masse :
&(r, t)
&(M, t) v(M, t).dS = 0
d +
t
V
S
• l’équation locale de conservation de la masse :
&(r, t)
+ div [&(M, t) v(M, t)] = 0
t
Remarques :
&(r, t)
d +
t
1) si le milieu contient des sources on a
V
2) l’équation locale de conservation de la masse s’écrit aussi
5.2
5.2.1
&(M, t) v(M, t).dS = Dm,sources ;
S
D&
+ & div v = 0.
Dt
Bilan de masse sur un volume particulaire - équation de continuité - approche lagrangienne
Dérivée particulaire d’une grandeur G (t) =
g(r, t)d extensive (HP)
V
Soit une région de l’espace contenant un 'uide.
Soit une surface particulaire S (donc se déplaçant à la même vitesse que le 'uide). Soit V le volume particulaire associé.
La grandeur extensive G associée au volume particulaire à l’instant t est
G (t) =
g(r, t)d
V
On cherche à calculer la dérivée particulaire de G :
G (t + dt)
DG
=
Dt
dt
G (t)
=
V (t+dt)
g(r, t + dt)d
V (t)
g(r, t)d
dt
avec V (t) (respectivement V (t + dt)) le volume particulaire à l’instant t (respectivement t + dt) :
12
Mécanique des uides. Chapitre III : Description du uide en mouvement
g(r, t + dt)d =
g(r, t + dt)d +
V (t+dt)
g(r, t + dt)d
g(r, t + dt)d
V1
V (t)
V2
On a donc :
DG
=
Dt
=
=
=
V (t)
g(r, t + dt)d +
V1
g(r, t + dt)d
V2
g(r, t + dt)d
V (t)
g(r, t)d
dt
V (t)
g(r, t + dt)d
V (t)
g(r, t)d
+
V1
g(r, t + dt)d
V2
g(r, t + dt)d
dt
V (t)
[g(r, t + dt)
g(r, t)] d
+
V1
g(r, t + dt)d
V2
g(r, t + dt)d
dt
V (t)
g(r,t)
t
dt d +
V1
g(r, t + dt)d
V2
g(r, t + dt)d
dt
Les volumes 'V1 et 'V2 correspondent aux di?érents petits cylindres de base dS = dS N et de génératrice dh = v dt. On a
donc :
g(r, t + dt)d
g(r, t + dt)d =
V1
V2
DG
=
Dt
g(r, t)
d +
t
V
g(P, t) v(P, t).dt.dS (P )
S
g(P, t) v(P, t).dS
S
DG
de la grandeur G est la somme de deux termes :
Dt
g(r, t)
d ;
• une variation locale
t
V
La dérivée particulaire
• une variation convective
DG
Dt
5.2.2
=
V
g(P, t) v(P, t).dS ;
S
g(r, t)
d +
t
g(P, t) v(P, t).dS
S
Bilan de masse en description lagrangienne
Soit une région de l’espace contenant un 'uide de masse volumique &(r, t).
Soit une surface particulaire S (donc se déplaçant à la même vitesse que le 'uide). Soit V le volume particulaire associé.
La masse totale M contenue à l’instant t dans V est une constante ; sa dérivée particulaire est donc nulle :
DM
=
Dt
V
&(r, t)
d +
t
&(P, t) v(P, t).dS = 0
S
On retrouve bien le même résultat qu’en description eulérienne :
Le bilan d’évolution de la masse contenue dans un volume lié au uide V (volume particulaire) sans source
se traduit par :
• l’équation intégrale de conservation de la masse :
&(r, t)
&(M, t) v(M, t).dS = 0
d +
t
V
S
• l’équation locale de conservation de la masse :
&(r, t)
+ div [&(M, t) v(M, t)] = 0
t
6
6.1
Ecoulements particuliers
Evolution d’un volume élémentaire de uide
Pour un écoulement quelconque, l’évolution d’un volume élémentaire de 'uide combine trois aspects locaux :
Mécanique des uides. Chapitre III : Description du uide en mouvement
13
• La dilatation : ci-dessous on trouvera la simulation d’un écoulement dans une tuyère et la visualisation de la dilatation
des particules 'uides
• La rotation : ci-dessous on trouvera la simulation d’un écoulement dans l’oeil d’une tornade et la visualisation de la
rotation des particules 'uides
• La déformation : ci-dessous on trouvera la simulation d’un écoulement dans un dièdre droit et la visualisation de la
déformation des particules 'uides
6.2
Rappels sur l’interprétation physique des opérateurs
• On rappelle que la divergence représente le 'ux sortant localement par unité de volume :.div b = lim
d
Dans le cas particulier ou b = v, on obtient div v = lim
d
0d
0d
.
. '$ est le 'ux élémentaire du vecteur vitesse v soit
'$ = v.dS = dDv = débit volumique élémentaire du 'uide à travers dS soit '$ =
de 'uide qui traverse dS pendant la durée dt.
d2 V
dt
avec d2 V le volume élémentaire
14
Mécanique des uides. Chapitre III : Description du uide en mouvement
Localement, le taux de variation relative de volume par unité de temps est égal à la divergence du champ des vitesses :
d2 V
1
1
d2 V
(d )
limd 0
=
limd 0
div v = limd 0 dt =
d
dt
d
dt
d
• on rappelle que la projection du rotionnel sur un axe représente la circulation locale par unité d’aire autour de cet axe:
C
rot a . n = limdS 0 dS
. on admet que :
Localement, le champ des vitesses d’un 'uide peut être semblable à celui d’un solide de vecteur rotation
instantanée . Cette rotation particulière (tourbillon) du 'uide en un point M existe si le rotationnel du
champ des vitesses rot v = 2 ( représentant le vecteur tourbillon) est non nul.
Localement, le champ des vitesses d’un 'uide renseigne sur l’existence de tourbillons dans ce 'uide par
l’intermédiaire de son rotationnel.
6.3
Cas du régime stationnaire
.
En régime stationnaire tous les champs sont indépendants du temps ” = 0”.
t
&
En particulier div (&v) =
= 0. On a donc:
t
&(M, t) v(M, t).dS = 0 : le débit massique se conserve ;
• Dm =
S
• div [&(M, t) v(M, t)] = 0 : le vecteur j(M, t) = &(M, t) v(M, t) est à 'ux conservatif.
Remarque : on rappelle qu’en régime stationnaire le champ des vitesses est également indépendant du temps et dans une
telle situation le champ des vitesses eulérien ne dépend pas explicitement du temps :
v(r, t) = v(r)
Dans ce cas, les lignes de courants, les trajectoires et les lignes d’émission coïncident.
6.4
Cas d’un uide incompressible
Pour un uide incompressible & est une constante caractéristique du 'uide donc
que dans le cas du régime stationnaire :
• Dm =
t
= 0, on retrouve les mêmes résultats
&(M, t) v(M, t).dS = 0 : les débits massique et volumique se conserve ;
S
• div [&(M, t) v(M, t)] = 0 : le vecteur j(M, t) = &(M, t) v(M, t) est à ux conservatif ainsi que le vecteur v(M, t).
ce dernier résultat se retrouve grâce à
D&
D&
+ & div v = 0 avec
= 0 soit div v = 0
Dt
Dt
Exercice 4 : Ecoulement de uide incompressible dans une tuyère
Soit un écoulement de 'uide incompressible dans une conduite possédant un rétrécissement.
La section diminue de S1 vers S2 . La vitesse du 'uide est supposée constante en section, v1 au niveau de S1 et
v2 au niveau de S2 .
Quelle relation lie v1 , v2 , S1 et S2 ? Conclure.
Décrire les lignes de courant.
S1
v1
S2
v2
Mécanique des uides. Chapitre III : Description du uide en mouvement
6.5
15
Cas d’un écoulement incompressible
D&
Réciproquement si div v = 0 alors
= 0 : chaque particule uide a une masse volumique constante au cours de son
Dt
déplacement mais rien n’impose l’égalité entre les di,érentes particules uides. Dans une telle situation le 'uide n’est pas
obligatoirement incompressible mais nous dirons qu’il s’agit d’un écoulement incompressible : le vecteur vitesse est à 'ux
conservatif (on aura alors des vitesses plus importantes dans les zones où les lignes de courants se resserrent) : pour un
écoulement incompressible, le débit volumique est conservé à travers toute section d’un tube de courant.
Pour un écoulement incompressible le vecteur vitesse est à 'ux conservatif :
div v = 0
Exercice 5 : Ecoulement tronconique
Un 'uide parfait incompressible s’écoule à travers une conduite tronconique de section S1 en A1 et de section S2
en A2 .
1) Traduire la conservation du débit volumique du 'uide (on pourra admettre que la vitesse locale est uniforme
sur une section droite de l’écoulement).
2) Cette relation est-elle encore valable si le 'uide est compressible ? Quelle relation peut-on écrire si le régime
est permanent unidimensionnel ?
3) Quelle est la variation du débit volumique du 'uide à travers S2 lorsque la masse volumique du 'uide varie de
2% entre les points A1 et A2 ?
6.6
6.6.1
Ecoulements tourbillonnaires ou non tourbillonnaires
Dé3nitions
1
rot v est nul en tout point de l’espace,
2
v est à circulation conservative et les lignes de courants ne peuvent être fermées.
1
• Si le vecteur tourbillon = rot v est non nul en au moins un point donné de l’espace,
2
l’écoulement est dit tourbillonnaire.
• Dans un écoulement non tourbillonnaire, le vecteur tourbillon
6.6.2
=
Potentiel des vitesses
Un écoulement non tourbillonnaire est tel que en tout point de l’espace rot v = 0, v dérive donc d’un potentiel scalaire :
Un écoulement non tourbillonnaire dérive d’un potentiel scalaire dé+ni à une constante additive près :
rot v = 0
$ tel que v = grad $
• En chaque point le vecteur v est orthogonal aux surfaces $ = cste.
• Si l’écoulement est de plus incompressible alors div v = 0 soit $ = 0 équation de Laplace
On montre que si un 'uide part du repos et si la viscosité est négligeable, son écoulement est irrotationnel.
6.6.3
Exemple de la tornade
6.6.3.1 Position du problème
Une tornade est un phénomène météorologique dé+ni comme « un coup de vent violent et tourbillonnant ».
Un modèle simpli+é de la tornade la présente comme un écoulement de 'uide présentant une symétrie de révolution autour
d’un axe ez .
Le champ des vitesses associé est de la forme (en coordonnées cylindriques) :
pour r < a : v(r) = r e
2
pour r > a : v(r) = ra e
C’est un champ orthoradial dont le module ne dépend que de la distance r à l’axe.
À l’intérieur d’un cylindre de rayon a , qui constitue « l’oeil » de la tornade, la vitesse croît linéairement de 0 à sa valeur
maximale quand r varie de 0 à a puis décroit jusqu’à l’in+ni où le 'uide est au repos.
16
Mécanique des uides. Chapitre III : Description du uide en mouvement
6.6.3.2
Propriétés
1. L’écoulement est incompressible :
En coordonnées cylindriques :
1
1
(rvr ) +
(v ) +
(vz )
r r
r
z
div v = 0
l’écoulement est incompressible
r v(r) = v (r) e
div v
=
2. Le vecteur tourbillon est donné par
1
= rot v =
2
0
ez pour r < a
pour r > a
3. Lignes de courants et les trajectoires :
L’écoulement est stationnaire : les lignes de courants et les trajectoires sont confondues.
v(r) = v (r) = v (r) e
les lignes de courants sont des cercles centrés sur l’axe (Oz).
6.6.3.3
Circulation - Cas limite du vortex
1. On suppose connu le vecteur tourbillon.
=
0
ez pour r < a
pour r > a
Calculons la circulation du vecteur vitesse sur une ligne de courants :
v.d/ =
C=
rot v.dS =
2 .dS =
2 0r2 pour r < a
2 0a2 pour r > a
cercle de rayon r
on peut en déduire l’expression de v :
C
=
v.d/ =
cercle de rayon r
v=
r
v (r) e .d/ = v (r)
cercle de rayon r
e .d/ = v (r) 20r
cercle de rayon r
e pour r < a
e pour r > a
a2
r
2. Vortex
Un VORTEX est le cas limite de la tornade quand a tend vers 0 tout en maintenant la circulation constante
Le champ de vitesse d’un vortex est donc de la forme :
v=
C
e pour r = 0
20r
Mécanique des uides. Chapitre III : Description du uide en mouvement
Le champ des vitesses semble non tourbillonnaire car rot v = 0 mais il y a une singularité en r = 0 ( v
On a alors :
v.d/ = 0 avec rot v = 0
C=
17
).
cercle de rayon r
Exercice 6 : Ecoulement dans un dièdre
A l’intérieur d’un dièdre droit, limité par les plans x = 0 et y = 0, le champ des vitesses d’un écoulement
permanent incompressible d’un 'uide parfait est v = A( x. ux + y. uy ) avec A = cste positive.
1) Montrer que ce champ véri+e la loi de conservation de la masse.
2) Déterminer l’équation et l’allure des lignes de champ.
3) Déterminer l’accélération a au point M(x, y) du 'uide, par deux méthodes.
4) Montrer que cet écoulement est irrotationnel. Surfaces équipotentielles ?
Exercice 7 : Ecoulement irrotationnel
Un 'uide parfait incompressible s’écoule à l’intérieur d’un tuyau d’axe vertical Oz,de section non uniforme. En
régime permanent, le champ des vitesse au point M du 'uide, de coordonnées cylindriques (r, , z) est de la forme
v = 2Kr.er + K z.ez .
1.a) Exprimer la constante K en fonction de la constante positive K. Dans la suite du problème, les résultats ne
devront pas faire intervenir la constante K , mais seulement la constante K.
1.b) Montrer que l’écoulement considéré est irrotationnel.
2) Déterminer le vecteur accélération a du 'uide en chaque point M (r, , z) de l’écoulement.
3) Déterminer le potentiel des vitesses 2(r, z) et calculer son laplacien.
4) Déterminer l’équation des lignes de courants et tracer leur allure.
Exercice 8 : Ecoulement autour d’un cylindre
Loin d’un cylindre d’axe Oz et de rayon a,l’écoulement d’un 'uide est uniforme : v = v0 ex . En présence du
cylindre, l’écoulement est permanent, incompressible et irrotationnel. Un point M du 'uide est repéré par ses
coordonnées cylindriques (r, , z).
1) Montrer que le champ des vitesses du 'uide, de composantes radiale et orthoradiale en M : {vr = (A
B/r2 ) cos , v = (A + B/r2 ) sin peut décrire l’écoulement étudié. Calculer les constantes A et B.
2) Calculer le potentiel 2 (r, ) des vitesses. Calculer
2. Conclure.
3) Déterminer l’équation des lignes de courants de cet écoulement.
Exercice 9 : Ecoulement autour d’un cylindre en rotation
Soit l’écoulement E irrotationnel permanent d’un 'uide incompressible de masse volumique µ autour d’un cylindre,
d’axe Oz et de rayon R, qui tourne autour de Oz à la vitesse angulaire = ez ; le 'uide a, très loin du cylindre,
la vitesse v0 = v0 ex , de direction perpendiculaire à Oz. Un point M du 'uide sera repéré par ses coordonnées
cylindriques (r, , z).
L’écoulement E peut être considéré comme la superposition de deux écoulements :
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Mécanique des uides. Chapitre III : Description du uide en mouvement
- l’écoulement E1 , de potentiel des vitesses 21 = (1 + R2 /r2 )r.v0 . cos , correspondant au cylindre +xe dans le
'uide en écoulement uniforme de vitesse v0 = v0 ex à l’in+ni ;
- l’écoulement E2 , de potentiel des vitesses 21 = k , correspondant au cylindre tournant (
'uide au repos très loin du cylindre (k = cste positive).
=
ez ) dans le
1) Déterminer le champ des vitesses v du 'uide en M(r, , z).
2) Calculer la circulation C du champ de vitesse de l’écoulement E, d’abord en fonction de k, puis en fonction de
R et .
3) Déterminer, suivant les valeurs du paramètre a = k/(Rv0 ), le nombre de points de vitesse nulle et leur(s)
position(s) dans un plan de section droite du cylindre.
Exercice 10 : T ornade
Une tornade assimilée à un écoulement parfait, permanent, incompressible de l’air, de masse volumique µ =
= ez , supposé uniforme à l’intérieur de l’œil de la
1, 3 kg. m 3 , est caractérisée par le vecteur tourbillon
tornade, cylindre d’axe Oz et de rayon a = 50 m, et nul à l’extérieur de l’œil.
1) Exprimer la loi des vitesses v(r) à l’intérieur et à l’extérieur de l’œil. Graphe de v(r)?
2) La vitesse maximale de la tornade est vmax = 180 km/h. Justi+er le caractère incompressible de l’écoulement.
Calculer .
3) Montrer que pour r > a, la tornade est équivalente à un vortex dont on calculera l’intensité C. En déduire le
potentiel des vitesses.
4) Calculer la valeur maximale de dépression de la tornade. Montrer qu’un toit de masse surfacique 100 kg/ m2 ,
horizontal, et simplement posé, peut être soulevé au passage de la tornade.
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Analogies avec l’électromagnétisme
Deux types d’analogies peuvent être envisagés suivant que l’écoulement est incompressible (champ de vitesse de divergence
nulle), ou irrotationnel (champ de vitesse de rotationnel nul).
Il est possible de façon très générale de représenter un champ de vecteurs v comme la somme de trois termes :
v = v1 + v2 + v3
• Le premier champ v1 correspond à une rotation locale avec une vitesse angulaire :
1
= rot v
2
Ce champ véri+e :
div v1 = 0
La détermination de ce champ de vitesse peut être faite en analogie complète avec les problèmes de magnétisme des
courants dans l’approximation des régimes quasi permanents. La vorticité correspond à la densité de courant électrique,
la vitesse à l’excitation magnétique. Ces écoulements sont dits rotationnels.
Ecoulement incompressible et tourbillonnaire
Mécanique des 'uides :
Magnétostatique :
rot v1 = 2 et div v1 = 0
rot B = µ0 j et div B = 0
• Le deuxième champ v2 satisfait simultanément les relations :
rot v2 = 0 et div v2 = 0
Les écoulements correspondants, dits écoulements potentiels, correspondent aux problèmes d’électrostatique dans le vide
; l’analogue de la vitesse est le champ électrique et on introduit dans ce cas un potentiel des vitesses $, analogue du
potentiel électrique, tel que v = grad $. Ce type d’écoulement interviendra toutes les fois que l’on pourra négliger les
e?ets de la viscosité.
Ecoulement incompressible et potentiel
Mécanique des 'uides :
Electrostatique
en dehors des charges
rot v2 = 0 , div v1 = 0 , v2 = grad $ ,
$=0
rot E = 0 , div E = 0 , E = grad V ,
V =0
Mécanique des uides. Chapitre III : Description du uide en mouvement
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• En+n, la composante v3 prend en compte les e?ets de dilatation volumique elle est telle que :
rot v3 = 0 et div v3 = div v
Cette contribution correspond au champ électrique créé par une distribution de charges ; il sera en général peu important
et n’interviendra pas pour les 'uides incompressibles.
Exercice 11 : Superposition d’un puits bidimensionnel et d’un vortex
Déterminer le champ des vitesses résultant de la superposition d’un puits (débit linéique Dv1 ) et d’un vortex
(circulation C) de même axe. Représenter les lignes de courants.
Exercice 12 : Ecoulement autour d’une sphère
Un écoulement permanent, uniforme, incompressible et irrotationnel d’un 'uide parfait est dé+ni par : v0 = v0 ex ( ex =
vecteur unitaire). Plaçons dans cet écoulement une sphère de centre 0 et de rayon a,et résolvons cet exercice par analogie
avec une situation électrostatique :
Nous connaissons le champ E1 créé en M par un dipôle p = p ex placé en O.
On considère la superposition du champ uniforme E0 = E0 ex et du champ E1 produit par le dipôle.
1) Exprimer, en coordonnées sphériques, les composantes du champ résultant E.
2) A quelle condition sur p, ce champ est-il orthoradial en tous points d’une sphère de rayon a ? Quelles sont les conditions
aux limites véri+ées par le champ E pour r
et pour r = a ? Quelle démarche proposez-vous pour résoudre le problème
d’hydrodynamique proposé ?
3) Déduire les composantes du vecteur vitesse v de l’écoulement du 'uide autour de la sphère. Donner l’équation des
lignes de champ correspondant à cet écoulement et tracer leurs allures.
4) Déduire, de l’allure de ces lignes de champ, les zones de faibles vitesses et les zones de fortes vitesses. Calculer le
module du vecteur v à la surface de la sphère, et véri+er les résultats de votre analyse qualitative.
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Simulation numérique de l’écoulement autour de l’avion de transport supersonique futur (ATSF).