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Spéciale PSI - Cours "Mécanique des uides" 1
Etude phénoménologique des uides
Chapitre I : Pression et viscosité
Contents
1Modèle du uide 2
1.1 Notion de uide ..................................................... 2
1.2 La particule uide ................................................... 2
1.3 Conclusion ....................................................... 3
2Pression. Notion élémentaire de viscosité. 3
2.1 Rappel : les actions dans un uide .......................................... 3
2.1.1 Les forces volumiques ............................................. 3
2.1.2 Les forces surfaciques ............................................. 3
2.1.3 Cas d’un uide incompressible en équilibre dans le champ de pesanteur ................. 5
2.1.4 Cas d’un uide compressible en équilibre dans le champ de pesanteur .................. 5
2.1.5 Equilibre d’un uide dans un référentiel non galiléen ............................ 6
2.1.6 Poussée d’Archimède .............................................. 6
2.2 Mise en évidence expérimentale de la viscosité .................................... 7
2.2.1 Expérience ................................................... 7
2.2.2 Interprétation .................................................. 8
2.3 Force de viscosité ou de cisaillement ......................................... 8
2.3.1 Dé/nition .................................................... 8
2.3.2 Cas particulier d’un champ de vitesse unidirectionnel de la forme v=v(y, t)ex............. 9
2.4 Viscosité et transfert de quantité de mouvement .................................. 10
2.5 Equivalent volumique des forces de viscosité ..................................... 11

2Mécanique des uides. Chapitre I : Pression et viscosité
Etude phénoménologique des uides
Chapitre I : Pression et viscosité
Objectifs :
•Dénition du uide ;
•Notions de pression et de viscosité.
1Modèle du uide
1.1 Notion de uide
•Un uide est un système composé de nombreuses particules libres de se mouvoir les unes par rapport aux autres ; cette
propriété distingue nettement les uides des solides pour lesquels les di6érentes parties constitutives (atomes, molécules
ou ions) sont rigidement liées les unes aux autres.
Dans le vocabulaire courant, la notion de uide recouvre l’état liquide et l’état gazeux. En toute rigueur on pourrait y
inclure également d’autres cas tels que le bitume, le verre en fusion, le miel liquide. Toutefois de telles substances sont
en général exclues de la mécanique des uides car la viscosité y joue un rôle trop important par rapport à la pression.
•Quelques propriétés :
—Un uide est déformable :les distances entre les di6érents points matériels qui constituent ce milieu sont variables
au cours du temps car l’interaction entre les di6érentes particules est faible.
—Un uide est sans rigidité : il peut s’écouler et épouser la forme du récipient qui le contient.
—Un liquide possède un volume propre ; il est peu compressible et les actions à courtes distances (Forces de Van der
Waals) jouent un rôle important dans les propriétés du uide.
—Un gaz occupetoutlevolumequiluiesto6ert (caractère expansif des gaz) ; il est compressible et l’aspect cinétique
du mouvement particulaire détermine ses propriétés.
Exercice 1 : Densité particulaire de l’eau
Déterminer l’ordre de grandeur des densités particulaires n(ou densité moléculaire) de l’eau à l’état liquide et
de l’eau à l’état gazeux à la température T=400K, sous une pression P=1bar(ce gaz est supposé obéir à la
loi des gaz parfaits).
Données : Masse volumique de l’eau liquide : (H2Oliq )=10
3kg.m3; Masse molaire de l’eau : M(H2O)=
18 g.mol1; Nombre d’avogadro : NA=6,0221367×1023 mol1; Constante des gaz parfaits : R=8,314510 J mol1K1.
1.2 La particule uide
On distingue trois échelles dans l’étude des uides :
•Echelle macroscopique :
La longueur Lcaractéristique de cette échelle est imposée par le problème étudié.
Selon les cas, on peut avoir des valeurs très di6érentes :
Problème étudié Longueur caractéristique LOrdre de grandeur
écoulement d’un euve largeur du lit du euve
écoulement d’un uide dans une conduite diamètre de la conduite
écoulement d’un uide autour d’un obstacle taille transversale de l’objet
étude d’un océan profondeur de l’océan
écoulement du sang diamètre d’une veine
•Echelle microscopique :
On se place à l’échelle des molécules. On peut choisir comme longueur caractéristique de cette échelle, le libre parcours
moyen des molécules (distance moyenne parcourue par une molécule entre deux chocs successifs).
Exercice 2 : ordre de grandeur
Déterminer la distance moyenne dentre molécules pour de l’eau à l’état liquide et de l’eau à l’état gazeux à la
température T=400K, sous une pression P=1bar(cf exercice 1).

Mécanique des uides. Chapitre I : Pression et viscosité 3
•Echelle mésoscopique :
Cette échelle est l’échelle intermédiaire entre le macroscopique et le microscopique.
A cette échelle, le uide est découpé en cellules élémentaires appelées éléments de uide, ou particules uides (contenant
un grand nombre de molécules).
La longueur acaractéristique de cette échelle est la taille de la particule uide.
Cette particule uide joue le rôle de volume élémentaire à l’échelle macroscopique :
—Elle est suCsament grande pour contenir un très grand nombre de particules : on peut alors e6ectuer une moyenne
spatiale des grandeurs utiles (on obtient des grandeurs nivelées) . Elle masque le caractère discontinu du uide à
l’échelle microscopique.
—Elle est suCsament petite pour permettre de dé/nir localement des grandeurs physiques associées au uide :
grandeurs macroscopiques locales variant de façon continue.
Exercice 3 : Taille de la particule uide
Proposer une valeur pour adans le cas de l’écoulement d’eau liquide dans une conduite de 10 cm de diamètre.
Donner un ordre de grandeur de la masse dm de la particule uide et du nombre Nde molécules d’eau qu’elle
contient. Conclusion.
1.3 Conclusion
L’échelle de la particule uide, échelle mésoscopique, est intermédiaire entre l’échelle microscopique et l’échelle
macroscopique. Elle permet d’associer à cette particule des grandeurs macroscopiques qui décrivent le uide
comme un milieu continu.
2Pression. Notion élémentaire de viscosité.
2.1 Rappel : les actions dans un uide
Soit une partie d’un uide, dé/ni par un volume de contrôle Vlimité par une surface fermée S. On distingue deux types
d’action qui s’exercent sur le système :
•les actions intérieures qui forment un système nul ;
•les actions extérieures que l’on sépare en actions surfaciques et en actions volumiques.
2.1.1 Les forces volumiques
Un élément de volume ddu uide est soumis à la force élémentaire d FV=
fVd. La grandeur  fVreprésente la densité
volumique de force volumique, elle s’exprime en N.m3.
Exemple : dans le champ de pesanteur terrestre 
fV=µgavec µla masse volumique et gle champ de pesanteur.
2.1.2 Les forces surfaciques
2.1.2.1 Tenseur des contraintes
Soit S12 une surface séparant le volume Ven deux parties (1) et (2). Cette surface est traversée par des particules dans
les deux sens avec des quantités de mouvement di6érentes. Il en résulte un taux de variation de quantité de mouvement et
par conséquent une force d’interaction entre les deux parties à travers cette surface de séparation.
La force élémentaire qu’exerce la partie (1) sur la partie (2), à travers l’élément de surface dS de S12, est proportionnelle à
la quantité de mouvement associée aux particules qui traversent dS et donc à cet élément de surface :
d F12=
fS,12dS

4Mécanique des uides. Chapitre I : Pression et viscosité
La force surfacique  fS,12est appelée vecteur contrainte. Elle n’est pas en général dirigée suivant la normale n12orientée
de (1) vers (2). Cependant, le plus souvent on a :
fS,12=[]n12
où []est un opérateur linéaire appelé tenseur des contraintes.
2.1.2.2 Pression
On se place dans le cas d’un uide au repos.
Par symétrie, dans un uide au repos la force qu’exerce le milieu (1) sur le milieu (2) est dirigée suivant la normale n12.
La contrainte tangentielle est nulle.
La contrainte []n12peut donc s’écrire []n12=pn12.
Dans la plupart des cas la quantité scalaire pest positive et on l’appelle alors pression du uide au point considéré.
La force est donc répulsive.
La force élémentaire normale qu’exerce (1) sur (2) à travers la surface élémentaire dS a alors pour expression :
d F12,n =pdSn12=pd
S12
Dans le cas d’un milieu (1) solide, la force qu’exerce la paroi solide sur le uide s’écrit :
d Fparoif luide,n =pdSn12=pdSnext
où next est la normale orientée vers l’extérieur du uide.
Unités :
Rappelons les unités servant à exprimer une pression :
•l’unité oCcielle est le Pascal (Pa)
•1atm=1,01325.105Pa = 1,01325 bar = 760 mmHg
•1mmHg =pression exercée par une colonne de mercure de hauteur 1mm.La pression se mesure à l’aide d’un manomètre.
”lieu” vide interstellaire surface de la terre fond des fosses océaniques dans une étoile à neutrons
pression (bar)1022 11031027
Remarques :
1. Lorsque la grandeur scalaire pest négative, la force attractive correspondante est appelée force de tension super/cielle.
2. Pour un uide en mouvement l’expérience montre que, si l’on veut décrire les forces exercées l’une sur l’autre par deux
parties d’un uide séparées par une surface, il faut ajouter, à la composante normale, des composantes tangentielles
correspondant au phénomène de viscosité. La composante normale elle-même, qui reste due pour l’essentiel aux forces
de pression, est légèrement modi/ée par ce phénomène. Dans la plupart des cas, ces forces de viscosité ne correspondent
qu’à des corrections par rapport aux forces de pression ; la notion de pression conserve toute sa valeur.
2.1.2.3 Equivalent volumique des forces de pression dans un uide au repos
Rappel :
On montre que la distribution surfacique des forces de pression peut être remplacée par une distribution volumique :
FS= S
pdSn=V
féquivalent volumique pressiondV avec 
féquivalent volumique pression = grad p
Il est équivalent de dire que dans un uide au repos la densité volumique de force extérieure est égale au gradient de la
pression : 
fext,vol =
grad p
démonstration : la force exercée par le uide extérieure à la surface Ssur le uide à l’intérieur est :
FS=S
d Fextint
=S pdSnext
=S pd S
=V
grad p dV (formule du gradient)

Mécanique des uides. Chapitre I : Pression et viscosité 5
Remarque : Cette équivalence est valable pour un uide au repos ou pour un uide non visqueux (voir paragraphe 2.2.
et 2.3.).
Exercice 4 : Equivalent volumique des forces de pression dans un uide au repos
Démontrer l’équivalence précédente en écrivant la relation locale traduisant l’équilibre d’un parallélépipède élé-
mentaire de uide (cf. cours de 1`ere année).
2.1.3 Cas d’un uide incompressible en équilibre dans le champ de pesanteur
Rappels de résultats fondamentaux :
On considère un uide homogène :
•dans le cas général, la masse volumique est une fonction de M; plus précisément, dépend de Tet P,
eux mêmes fonction de M:=(T,P);
•on dit qu’un uide est incompressible si ne dépend pas de la pression : =(T);pourunteluide,
si T(M)=cste,ousileuide est indilatable alors =cste.
•Un uide est en équilibre dans le champ de pesanteur si et seulement si : 
grad p = fext,vol =g
si le uide est homogène, incompressible et indilatable ( ou T=cste )alors(Oz orienté vers le haut)
pApB=g(zBzA)Loi fondamentale de l’hydrostatique
•Conséquences :
—Les surfaces isobares (même pression) sont des plans horizontaux (cf. la loi fondamentale de l’hydrostatique).
—Lorsque le uide étudié est au contact de l’atmosphère, on appelle surface libre la surface de contact entre le uide
et l’atmosphère. En tout point Mde la surface libre, la pression p(M)dans le uide doit être égale à la pression
atmosphérique pour assurer la continuité de la pression ; la relation p(M)=p0est appelée conditions aux limites
à la surface libre. La condition d’équilibre p(M)+gz =cste impose que p0+gz estconstantetdonczest
constant.
La surface libre d’un uide est contenue dans un plan horizontal.
Ce résultat est connu sous le nom de principe des vases communiquants par référence à l’expérience représentée
sur la /gure ci-dessous : quelles que soient leurs sections et leurs orientations, le niveau de l’eau dans les tubes (1)
et (2) est identique.
—
—Théorème de Pascal : Toute variation de pression en un point d’un uide incompressible en équilibre est intégrale-
ment transmise en tout point du uide.
2.1.4 Cas d’un uide compressible en équilibre dans le champ de pesanteur
Rappels : l’intégration de l’équation di6érentielle 
grad p =g(toujours valable) nécessite la connaissance de =(T,P).
Exercice 5 : Formule du nivellement barométrique
Démontrer que la pression pen fonction de l’altitude zpour l’atmosphère terrestre isotherme est donnée par
p=poe(Mgz
RT ). On suppose que l’atmosphère peut être considérée comme un gaz parfait et que gest uniforme
(gne dépend pas de l’altitude).