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Spéciale PSI - Cours "Mécanique des uides"
1
Etude phénoménologique des uides
Chapitre I : Pression et viscosité
Contents
1 Modèle du uide
1.1 Notion de uide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 La particule uide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Pression. Notion élémentaire de viscosité.
2.1 Rappel : les actions dans un uide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Les forces volumiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Les forces surfaciques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Cas d’un uide incompressible en équilibre dans le champ de pesanteur . . . .
2.1.4 Cas d’un uide compressible en équilibre dans le champ de pesanteur . . . . .
2.1.5 Equilibre d’un uide dans un référentiel non galiléen . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.6 Poussée d’Archimède . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Mise en évidence expérimentale de la viscosité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Expérience . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Interprétation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Force de viscosité ou de cisaillement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Dé/nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Cas particulier d’un champ de vitesse unidirectionnel de la forme v = v(y, t)ex
2.4 Viscosité et transfert de quantité de mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Equivalent volumique des forces de viscosité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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8
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11
2
Mécanique des uides. Chapitre I : Pression et viscosité
Etude phénoménologique des uides
Chapitre I : Pression et viscosité
Objectifs :
• Dé nition du uide ;
• Notions de pression et de viscosité.
1
Modèle du uide
1.1
Notion de uide
• Un uide est un système composé de nombreuses particules libres de se mouvoir les unes par rapport aux autres ; cette
propriété distingue nettement les uides des solides pour lesquels les di6érentes parties constitutives (atomes, molécules
ou ions) sont rigidement liées les unes aux autres.
Dans le vocabulaire courant, la notion de uide recouvre l’état liquide et l’état gazeux. En toute rigueur on pourrait y
inclure également d’autres cas tels que le bitume, le verre en fusion, le miel liquide. Toutefois de telles substances sont
en général exclues de la mécanique des uides car la viscosité y joue un rôle trop important par rapport à la pression.
• Quelques propriétés :
— Un uide est déformable : les distances entre les di6érents points matériels qui constituent ce milieu sont variables
au cours du temps car l’interaction entre les di6érentes particules est faible.
— Un uide est sans rigidité : il peut s’écouler et épouser la forme du récipient qui le contient.
— Un liquide possède un volume propre ; il est peu compressible et les actions à courtes distances (Forces de Van der
Waals) jouent un rôle important dans les propriétés du uide.
— Un gaz occupe tout le volume qui lui est o6ert (caractère expansif des gaz) ; il est compressible et l’aspect cinétique
du mouvement particulaire détermine ses propriétés.
Exercice 1 : Densité particulaire de l’eau
Déterminer l’ordre de grandeur des densités particulaires n (ou densité moléculaire) de l’eau à l’état liquide et
de l’eau à l’état gazeux à la température T = 400 K, sous une pression P = 1 bar (ce gaz est supposé obéir à la
loi des gaz parfaits).
Données : Masse volumique de l’eau liquide : (H2 Oliq ) = 103 kg. m 3 ; Masse molaire de l’eau : M (H2 O) =
18 g. mol 1 ; Nombre d’avogadro : NA = 6, 0221367×1023 mol 1 ; Constante des gaz parfaits : R = 8, 314510 J mol 1 K
1.2
1
La particule uide
On distingue trois échelles dans l’étude des uides :
• Echelle macroscopique :
La longueur L caractéristique de cette échelle est imposée par le problème étudié.
Selon les cas, on peut avoir des valeurs très di6érentes :
Problème étudié
Longueur caractéristique L
écoulement d’un euve
écoulement d’un uide dans une conduite
écoulement d’un uide autour d’un obstacle
étude d’un océan
écoulement du sang
largeur du lit du euve
diamètre de la conduite
taille transversale de l’objet
profondeur de l’océan
diamètre d’une veine
Ordre de grandeur
• Echelle microscopique :
On se place à l’échelle des molécules. On peut choisir comme longueur caractéristique de cette échelle, le libre parcours
moyen des molécules (distance moyenne parcourue par une molécule entre deux chocs successifs).
Exercice 2 : ordre de grandeur
Déterminer la distance moyenne d entre molécules pour de l’eau à l’état liquide et de l’eau à l’état gazeux à la
température T = 400 K, sous une pression P = 1 bar (cf exercice 1).
.
Mécanique des uides. Chapitre I : Pression et viscosité
3
• Echelle mésoscopique :
Cette échelle est l’échelle intermédiaire entre le macroscopique et le microscopique.
A cette échelle, le uide est découpé en cellules élémentaires appelées éléments de uide, ou particules uides (contenant
un grand nombre de molécules).
La longueur a caractéristique de cette échelle est la taille de la particule uide.
Cette particule uide joue le rôle de volume élémentaire à l’échelle macroscopique :
— Elle est suCsament grande pour contenir un très grand nombre de particules : on peut alors e6ectuer une moyenne
spatiale des grandeurs utiles (on obtient des grandeurs nivelées) . Elle masque le caractère discontinu du uide à
l’échelle microscopique.
— Elle est suCsament petite pour permettre de dé/nir localement des grandeurs physiques associées au
grandeurs macroscopiques locales variant de façon continue.
uide :
Exercice 3 : Taille de la particule uide
Proposer une valeur pour a dans le cas de l’écoulement d’eau liquide dans une conduite de 10 cm de diamètre.
Donner un ordre de grandeur de la masse dm de la particule uide et du nombre N de molécules d’eau qu’elle
contient. Conclusion.
1.3
Conclusion
L’échelle de la particule uide, échelle mésoscopique, est intermédiaire entre l’échelle microscopique et l’échelle
macroscopique. Elle permet d’associer à cette particule des grandeurs macroscopiques qui décrivent le uide
comme un milieu continu.
2
Pression. Notion élémentaire de viscosité.
2.1
Rappel : les actions dans un uide
Soit une partie d’un uide, dé/ni par un volume de contrôle V limité par une surface fermée S. On distingue deux types
d’action qui s’exercent sur le système :
• les actions intérieures qui forment un système nul ;
• les actions extérieures que l’on sépare en actions surfaciques et en actions volumiques.
2.1.1
Les forces volumiques
Un élément de volume d du uide est soumis à la force élémentaire dFV = fV d . La grandeur fV représente la densité
volumique de force volumique, elle s’exprime en N. m 3 .
Exemple : dans le champ de pesanteur terrestre fV = µg avec µ la masse volumique et g le champ de pesanteur.
2.1.2
Les forces surfaciques
2.1.2.1 Tenseur des contraintes
Soit S12 une surface séparant le volume V en deux parties (1) et (2). Cette surface est traversée par des particules dans
les deux sens avec des quantités de mouvement di6érentes. Il en résulte un taux de variation de quantité de mouvement et
par conséquent une force d’interaction entre les deux parties à travers cette surface de séparation.
La force élémentaire qu’exerce la partie (1) sur la partie (2), à travers l’élément de surface dS de S12 , est proportionnelle à
la quantité de mouvement associée aux particules qui traversent dS et donc à cet élément de surface :
dF1
2
= fS,1
2 dS
4
Mécanique des uides. Chapitre I : Pression et viscosité
La force surfacique fS,1 2 est appelée vecteur contrainte. Elle n’est pas en général dirigée suivant la normale n1
de (1) vers (2). Cependant, le plus souvent on a :
fS,1
2
=
[ ]n1
2
orientée
2
où [ ] est un opérateur linéaire appelé tenseur des contraintes.
2.1.2.2 Pression
On se place dans le cas d’un uide au repos.
Par symétrie, dans un uide au repos la force qu’exerce le milieu (1) sur le milieu (2) est dirigée suivant la normale n1
La contrainte tangentielle est nulle.
La contrainte [ ]n1 2 peut donc s’écrire [ ] n1 2 = p n1 2 .
Dans la plupart des cas la quantité scalaire p est positive et on l’appelle alors pression du uide au point considéré.
La force est donc répulsive.
La force élémentaire normale qu’exerce (1) sur (2) à travers la surface élémentaire dS a alors pour expression :
dF1
2,n
= p dS n1
2
= p dS1
2.
2
Dans le cas d’un milieu (1) solide, la force qu’exerce la paroi solide sur le uide s’écrit :
dFparoi
f luide,n
= p dS n1
2
=
p dS next
où next est la normale orientée vers l’extérieur du uide.
Unités :
Rappelons les unités servant à exprimer une pression :
• l’unité oCcielle est le Pascal ( Pa)
• 1 atm = 1, 01325.105 Pa = 1, 01325 bar = 760 mmHg
• 1 mmHg = pression exercée par une colonne de mercure de hauteur 1 mm.La pression se mesure à l’aide d’un manomètre.
”lieu”
pression ( bar)
vide interstellaire
10 22
surface de la terre
1
fond des fosses océaniques
103
dans une étoile à neutrons
1027
Remarques :
1. Lorsque la grandeur scalaire p est négative, la force attractive correspondante est appelée force de tension super/cielle.
2. Pour un uide en mouvement l’expérience montre que, si l’on veut décrire les forces exercées l’une sur l’autre par deux
parties d’un uide séparées par une surface, il faut ajouter, à la composante normale, des composantes tangentielles
correspondant au phénomène de viscosité. La composante normale elle-même, qui reste due pour l’essentiel aux forces
de pression, est légèrement modi/ée par ce phénomène. Dans la plupart des cas, ces forces de viscosité ne correspondent
qu’à des corrections par rapport aux forces de pression ; la notion de pression conserve toute sa valeur.
2.1.2.3 Equivalent volumique des forces de pression dans un
Rappel :
uide au repos
On montre que la distribution surfacique des forces de pression peut être remplacée par une distribution volumique :
FS =
féquivalent volumique
p dS n =
S
pression dV
avec féquivalent volumique
pression
=
V
grad p
Il est équivalent de dire que dans un uide au repos la densité volumique de force extérieure est égale au gradient de la
pression :
fext,vol = grad p
démonstration : la force exercée par le uide extérieure à la surface S sur le uide à l’intérieur est :
FS
=
dFext
int
S
=
p dS next
S
=
p dS
S
=
grad p dV
V
(formule du gradient)
Mécanique des uides. Chapitre I : Pression et viscosité
5
Remarque : Cette équivalence est valable pour un uide au repos ou pour un uide non visqueux (voir paragraphe 2.2.
et 2.3.).
Exercice 4 : Equivalent volumique des forces de pression dans un uide au repos
Démontrer l’équivalence précédente en écrivant la relation locale traduisant l’équilibre d’un parallélépipède élémentaire de uide (cf. cours de 1ère année).
2.1.3
Cas d’un
uide incompressible en équilibre dans le champ de pesanteur
Rappels de résultats fondamentaux :
On considère un uide homogène :
• dans le cas général, la masse volumique est une fonction de M ; plus précisément, dépend de T et P ,
eux mêmes fonction de M : = (T, P ) ;
• on dit qu’un uide est incompressible si ne dépend pas de la pression : = (T ) ; pour un tel uide,
si T (M ) = cste, ou si le uide est indilatable alors = cste.
• Un uide est en équilibre dans le champ de pesanteur si et seulement si : grad p = fext,vol = g
si le uide est homogène, incompressible et indilatable ( ou T = cste ) alors (Oz orienté vers le haut)
pA pB = g (zB zA )
Loi fondamentale de l’hydrostatique
• Conséquences :
— Les surfaces isobares (même pression) sont des plans horizontaux (cf. la loi fondamentale de l’hydrostatique).
— Lorsque le uide étudié est au contact de l’atmosphère, on appelle surface libre la surface de contact entre le uide
et l’atmosphère. En tout point M de la surface libre, la pression p(M) dans le uide doit être égale à la pression
atmosphérique pour assurer la continuité de la pression ; la relation p(M ) = p0 est appelée conditions aux limites
à la surface libre. La condition d’équilibre p(M ) + gz = cste impose que p0 + gz est constant et donc z est
constant.
La surface libre d’un uide est contenue dans un plan horizontal.
Ce résultat est connu sous le nom de principe des vases communiquants par référence à l’expérience représentée
sur la /gure ci-dessous : quelles que soient leurs sections et leurs orientations, le niveau de l’eau dans les tubes (1)
et (2) est identique.
—
— Théorème de Pascal : Toute variation de pression en un point d’un uide incompressible en équilibre est intégralement transmise en tout point du uide.
2.1.4
Cas d’un
uide compressible en équilibre dans le champ de pesanteur
Rappels : l’intégration de l’équation di6érentielle grad p = g (toujours valable) nécessite la connaissance de
= (T, P ).
Exercice 5 : Formule du nivellement barométrique
Démontrer que la pression p en fonction de l’altitude z pour l’atmosphère terrestre isotherme est donnée par
Mgz
p = po e( RT ) . On suppose que l’atmosphère peut être considérée comme un gaz parfait et que g est uniforme
(g ne dépend pas de l’altitude).
6
Mécanique des uides. Chapitre I : Pression et viscosité
Exercice 6 : Atmosphère polytropique
L’air est assimilé à un gaz parfait de masse molaire M et on se donne dans l’atmosphère une relation phénoménologique
de la forme P/µk = constante, appelée relation polytropique d’indice k ; k est une constante donnée, ajustable a
posteriori aux données expérimentales. Le modèle de l’atmosphère polytropique constitue une généralisation du
modèle de l’atmosphère isotherme pour lequel on aurait k = 1. Dans la suite, on prend k = 1. Au niveau du sol
en z = 0, on note la pression P0 , la température T0 et la masse volumique µ0 .
1) Etablir une relation donnant implicitement P (z) et montrer que dT /dz est une constante.
numérique : calculer k sachant que dT /dz = 7.10 3 K. m 1 .
Application
2) On se propose d’examiner qualitativement la stabilité d’une atmosphère polytropique vis-à-vis de la convection
c’est-à-dire vis-à-vis d’un brassage des couches atmosphériques.
Pour cela on suppose qu’une bulle sphérique d’air de masse m initialement en équilibre à l’altitude z monte
rapidement de dz sous l’e6et d’une perturbation (vent), de telle sorte qu’à l’altitude z + dz elle soit en équilibre
mécanique avec l’atmosphère (la pression dans la bulle est égale à la pression P (z + dz) dans l’air) mais pas en
équilibre thermique.
On admet en e6et que l’évolution est trop rapide pour que l’équilibre thermique soit atteint : il faut distinguer
les températures intérieure Tint (z + dz) et extérieure Text (z + dz).
On admet que la loi d’évolution du uide intérieur à la bulle est une loi polytropique d’indice &, de telle sorte que
(
1)Mg
dTint
où & = 1, 40 est une caractéristique de l’air. A quelle condition sur Tint (z + dz) et Text (z + dz)
dz =
R
la bulle d’air a-t-elle tendance à redescendre ? En déduire la condition sur k et & pour qu’une atmosphère
polytropique soit stable. Qu’en est-il pour l’atmosphère réelle.
2.1.5
Equilibre d’un
uide dans un référentiel non galiléen
Rappels : avec les notations habituelles :
grad p = fext,vol
(ae + ac )
Loi fondamentale de l’hydrostatique dans un référentiel non galiléen
Exercice 7 : Vase tournant
Un récipient cylindrique de rayon R est rempli d’eau sur une hauteur h et plongé dans une atmosphère où la
pression P0 est uniforme. Il est mis en rotation à vitesse angulaire constante ( autour de son axe Oz vertical, et
au bout de quelques instants, on atteint un état d’équilibre relatif dans le référentiel tournant. Déterminer dans
cet état l’équation de la surface libre de l’eau.
2.1.6
Poussée d’Archimède
Les forces de pression exercées par un système de uide au repos sur un solide ( indéformable) immergé sont
équivalentes à une force unique appelée poussée d’Archimède, égale et opposée au poids du uide déplacé
et appliquée au centre de poussée (centre de gravité du uide déplacé).
Remarque : le centre de poussée n’est pas obligatoirement confondu avec le centre de gravité du solide.
”Démonstration” :
Mécanique des uides. Chapitre I : Pression et viscosité
7
On considère une surface S qui délimite une portion de uide. La portion de uide délimitée par S est en équilibre :
F = 0.
Soient P le poids de la portion de uide délimitée par S et F la résultante des forces exercées par le reste du uide. On a
donc F = P .
On remplace la portion de uide délimitée par S par un solide de surface S, la résultante des forces exercées par le reste du
uide F ne changent pas. La poussée d’Archimède est égale à P .
Exercice 8 : Balance d’Archimède
Sur les plateaux d’une balance dont les deux éaux ont même longueur sont posés d’un coté un bécher rempli
d’eau de masse volumique µ, et de l’autre des masses marquées m assurant l’équilibre de la balance.
On plonge dans l’eau du bécher, un otteur homogène de volume V et de masse volumique µ , puis on l’y maintient
/xe en exerçant sur une tige solidaire et de masse négligeable une force F . On modi/e les masses marquées de
m pour retrouver l’équilibre.
1) Indiquer sans calcul le signe de
2) Calculer
m.
m et la force en fonction des données. En déduire un mode opératoire pour mesurer le volume V .
Exercice 9 : Poussée d’Archimède : oscillations d’un cylindre
Un solide de masse volumique µ1 , de forme cylindrique, otte verticalement dans l’eau, de masse volumique
µ2 > µ1 . On pose * = µ2 /µ1 . Le cylindre a pour section s et pour hauteur H.
1) Calculer la hauteur h de cylindre hors de l’eau dans l’état d’équilibre.
2) A partir de cette position d’équilibre, on enfonce le cylindre dans l’eau d’une hauteur a < h et on l’abandonne
sans vitesse initiale. Le cylindre reste toujours vertical. Déterminer les forces qui s’exercent sur lui lorsqu’il est
enfoncé d’une hauteur x par rapport à sa position d’équilibre et en déduire la loi de son mouvement.
2.2
2.2.1
Mise en évidence expérimentale de la viscosité
Expérience
Un récipient cylindrique, rempli d’eau et initialement immobile, est mis en rotation autour de son axe. Pour étudier la
mise en mouvement du uide, nous pouvons faire otter des petites particules sur le liquide et observer leur mouvement.
Nous constatons alors les résultats suivants :
8
Mécanique des uides. Chapitre I : Pression et viscosité
• Comme le laisse prévoir la symétrie du système, le mouvement des particules (donc des éléments correspondant de
uide) est circulaire.
• À la périphérie, la vitesse devient rapidement proche de celle de la paroi, alors que dans la zone centrale le uide ne se
met en mouvement que très progressivement (cf. /gure a).
• Le mouvement se propage de la périphérie vers le centre. Lorsque l’état stationnaire est atteint, après quelques minutes,
le système uide est en rotation uniforme, et tous ses éléments sont immobiles par rapport au récipient (cf. /gure b).
• Si la rotation du récipient cesse brusquement, le uide retourne progressivement vers un état stationnaire de vitesse
nulle. Les particules situées à la périphérie sont freinées tout d’abord, et la modi/cation du mouvement se propage de
la périphérie vers le centre.
2.2.2
Interprétation
On a propagation de proche en proche, par di3usion radiale de l’information «quantité de mouvement» ; la convection due
aux écoulements hydrodynamiques ne peut en e6et contribuer à cette propagation puisque le uide se déplace dans une
direction tangentielle, perpendiculaire au rayon. Un second point important de cette expérience est l’égalité de vitesse de
la paroi solide et du uide près d’elle. Cette caractéristique est observée pour tous les uides visqueux usuels. Il existe une
force de friction entre les couches uides en contact avec le solide qui cause l’entraînement du uide à partir de la paroi. Le
transport di6usif de la quantité de mouvement est assuré par une propriété dépendant du uide, la viscosité.
Dans la dernière expérience (lorsque la rotation du récipient cesse brusquement) si le uide s’arrête progressivement c’est
qu’il dissipe l’énergie mécanique tant que la vitesse relative de ses éléments n’est pas nulle.
Remarque : la description ci-dessus est valable pour un cylindre in/niment long. En pratique, l’e6et du fond joue un
rôle essentiel dans la façon dont la vitesse évolue aux temps longs. En e6et, tout le uide au voisinage du fond est mis en
mouvement de rotation au temps t = 0 par la friction avec la paroi inférieure du cylindre. On montre qu’il en résulte, près
de cette paroi, une composante radiale de l’écoulement dirigée vers la périphérie. Dans la partie supérieure du cylindre, la
quantité de mouvement est alors convectée vers l’intérieur du uide et non plus seulement di6usée ; on observe alors que la
pénétration de la perturbation de vitesse tangentielle progresse suivant une loi proportionnelle à t et non plus à t. Cet e6et
est un exemple d’écoulement secondaire, c’est-à-dire d’un écoulement induit par un écoulement principal.
2.3
2.3.1
Force de viscosité ou de cisaillement
Dé4nition
Dans le cas du uide en équilibre, la force de contact entre deux éléments de uide est la seule force de pression, normale
à leur surface de séparation. Les observations précédentes sur un uide hors équilibre ne peuvent s’expliquer que par une
composante tangentielle de la force de contact, appelée force de cisaillement.
Mécanique des uides. Chapitre I : Pression et viscosité
9
Ces forces internes de cisaillement, s’opposent à la déformation des éléments de uide, et deviennent nulles lorsque ceux-ci
ne se déforment plus au cours du temps.
Ces forces, opposées aux vitesses relatives des éléments de uide, ont une puissance totale négative, ce qui correspond bien
à une dissipation d’énergie mécanique.
2.3.2
Cas particulier d’un champ de vitesse unidirectionnel de la forme v = v(y, t)ex
Étudions le cas simple où les plans parallèles à (Ox, Oz) glissent les uns sur les autres ; un tel écoulement où la direction
de la vitesse est la même en tout point est appelé écoulement parallèle. Ce cas, a priori irréaliste, peut être une bonne
approximation d’un écoulement laminaire réel, si les dimensions selon (Ox) et (Oz) sont très grandes devant l’épaisseur selon
(Oy).
Considérons deux éléments de uide, S1 et S2 , séparés par la surface , d’aire S, normale à (Oy):
La force de cisaillement, exercée à travers
rapport à S1 . Elle est donc :
• proportionnelle à S (aire de
par S1 sur S2 , est tangente à
. Elle doit s’opposer au glissement de S2 par
);
• de sens opposé à ex , si v(y, t) est une fonction croissante de y.
Si la force de cisaillement est une fonction linéaire de la dérivée
v
y,
le uide est dit newtonien.
Pour un écoulement unidirectionnel, tel que v = v(y, t)ex , la force de surface tangentielle F , appelée force de
cisaillement, ou de viscosité, qu’exerce S1 sur S2 à travers une surface d’aire S normale à ey est portée par ex .
La valeur algébrique de cette force est égale à
F =
-
v
yS
Force de viscosité dans un uide newtonien
Cette force F tend à accélérer les veines lentes, et à ralentir les veines rapides.
Le coeCcient - appelé viscosité du uide peut, avec une bonne approximation, être considéré comme une constante
caractéristique du uide à une température donnée.
L’unité de viscosité dans le Système International est le poiseuille (Pl) tel que 1 Pl = 1 Pa. s.
Le tableau ci-dessous donne quelques ordres de grandeur :
uide
air (à 105 Pa)
eau
huile
glycérine
graisse
coe5cient de viscosité - en Pl
10 5
10 3
1
1
103
Remarques :
1. la relation F =
-
v
yS
est une loi linéaire (simple) reliant la cause
2. le coeCcient de viscosité est aussi appelé viscosité dynamique.
v
y
à l’e6et F .
10
Mécanique des uides. Chapitre I : Pression et viscosité
3. un liquide de viscosité inférieure à 10
à 1 très visqueux.
3
Pa. s est dit mobile, comprise entre 10
2
et 10
1
il est sirupeux, et supérieure
4. La viscosité des liquides diminue rapidement lorsque la température s’élève. Par exemple celle de l’eau est à 100 C
presque 4 fois plus faible qu’à 20 C ; la glycérine très visqueuse à 20 C devient un liquide assez «mobile» à 100 C.
5. La viscosité des gaz augmente au contraire lorsque la température s’élève. La théorie moléculaire conduit à une
dépendance de - en T . Expérimentalement on trouve une dépendance en T avec * voisin de 0, 7 pour l’air. La
viscosité du gaz est de plus pratiquement indépendante de la pression ; elle ne diminue qu’aux très basses pressions.
2.4
Viscosité et transfert de quantité de mouvement
• On étudie toujours le cas particulier d’un champ de vitesse unidirectionnel de la forme v = v(y, t)ex . La viscosité a pour
e6et d’accélérer les éléments lents et de freiner les éléments rapides. Il s’agit donc d’un transfert interne de quantité de
mouvement, qui présente les caractéristiques d’une di3usion.
Ce transfert est irréversible et il s’e6ectue dans le sens de l’uniformisation de la vitesse. On peut donc, par ces aspects,
le comparer à une di6usion de particules.
• Appliquons la deuxième loi de Newton à l’élément de uide dV compris entre les surfaces {S placée en y} et {S placée
en y + dy}: dV = Sdy.
— Cet élément de uide est soumis à l’action du uide se situant
en dessous : Finf =
au dessus : Fsup = -
v
y
v
y
t
t
(y) S ex
(y + dy) S ex
donc à une résultante : F = -
v
y
t
v
y
(y + dy)
t
(y) S ex = -
2
v
y2
t
(y) dy S ex
— La deuxième loi de Newton donne :
m
dv
=
dt
F
dV
. [v(y, t)ex ]
.t
.v(y, t)
.t
=
y
-
.2v
.y2
=y
.2v
.y 2
(y) dy S ex
t
(y)
t
On pose / = ! ; / est la viscosité cinématique et on a alors l’équation :
- .2v
.v
=
.t
.y 2
Di3usion de la quantite de mvt
Nous retrouvons une équation de cette forme dans tous les phénomènes de di6usion comme dans la loi de Fick qui correspond
à la di6usion de particules dont la concentration est inhomogène. Si n représente la densité de particules, n est donné par
l’équation de di6usion
. 2 n(x, t)
.n(x, t)
=D
.t
.x2
La viscosité est un phénomène de di6usion de la quantité de mouvement
Mécanique des uides. Chapitre I : Pression et viscosité
2.5
11
Equivalent volumique des forces de viscosité
On rappelle que la distribution surfacique des forces de pression peut être remplacée par une distribution volumique fvol =
grad p ;
On recherche une telle équivalence pour les forces de viscosité mais le problème est plus complexe car la grandeur di6usée
est vectorielle et non pas scalaire comme dans le cas de la di6usion de particules.
On étudie le même système que précédement ; d’après le paragraphe 2.4. l’élément de uide de volume dV est soumis à
.2v
dV ex ce qui correspond à une densité volumique de forces
l’action du uide et la résultante des forces est F = .y2 t
.2v
ex .
fvol = .y2 t
On admet la généralisation :
Dans un uide incompressible, les forces de viscosité sont équivalentes à une force volumique
fviscosité,vol = -
v
Force de viscosité
Exercice 10 : Glissement sur plan incliné
Un bloc parallélépipédique de masse M = 1 kg glisse sur un plan incliné d’un angle * = 10 par rapport au plan
horizontal. Ce plan est recouvert d’un /lm d’huile d’épaisseur e = 5.10 6 m. On suppose que le pro/l de vitesse
du /lm de uide entre le bloc et le plan est linéaire. La surface de contact est S = 0, 02 m2 et la viscosité de
l’huile - = 8.10 3 N. s. m 2 .
Déterminer la vitesse limite de glissement du bloc. On prendra g = 9, 8 m. s
2
.
Exercice 11 : Action longitudinale d’un uide sur une conduite
Un uide de coeCcient de viscosité - est en écoulement stationnaire dans une conduite cylindrique, d’axe Oz, de
section circulaire de diamètre D. Soit qv le débit volumique du uide (volume de uide traversant une section
droite par unité de temps).
Le pro/l de vitesse dans la conduite est donné par l’expression v = v(r)ez avec :
v(r) =
32qv
2D4
D2
4
r2
r distance d’un point du uide à l’axe de la conduite.
Déterminer la force qu’exerce le uide sur une portion de conduite de longueur L.
Exercice 12 : Glissement d’un cylindre dans un tube
Un cylindre de rayon r, de longueur L, homogène de masse volumique , glisse vers le bas à l’intérieur d’un tube
cylindrique vertical de rayon R > r et dont la surface intérieure est recouverte d’un /lm d’huile. On suppose que
le cylindre et le tube restent coaxiaux. De plus, r et R sont voisins et on fera l’hypothèse que le pro/l de vitesse
entre le cylindre et le tube est linéaire.
Exprimer la vitesse limite du cylindre à l’aide de la viscosité - de l’huile et des données du système ; on désignera
par g l’intensité de la pesanteur.
La calculer avec les données suivantes: r = 9, 8 mm, R = 10 mm,
et g = 9, 8 m. s 2 .
= 2, 7.103 kg. m
3
, L = 2 cm, - = 7.10
2
S.I.
Exercice 13 : Viscosimètre à écoulement
Un réservoir de section circulaire et de rayon Ro est rempli d’un liquide incompresssible de masse volumique µ et
de coeCcient de viscosité -. La hauteur de liquide dans le réservoir est notée h.
Ce réservoir peut se vider par l’intermédiaire d’un tube horizontal de longueur L, de section circulaire et de rayon
intérieur R. Initialement h = ho et la vidange du réservoir commence à t = 0 par l’ouverture d’un robinet (non
représenté sur le schéma):
12
Mécanique des uides. Chapitre I : Pression et viscosité
On suppose que R
Ro . Dans ces conditions, on admet la validité des hypothèses suivantes:
a) le régime d’écoulement peut, à chaque instant, être considéré comme un régime permanent;
b) le liquide, dans le réservoir, est pratiquement en équilibre hydrostatique.
En/n, la formule de Poiseuille donne le débit volumique Dv , d’un tube de rayon R et de longueur L pour une
di6érence de pression P entre ses extrémités:
Dv =
2R4 P
.
8-L
l Calculer la di6érence de pression entre les deux extrémités du tube en fonction de µ, g et h(t).
2 Exprimer le débit volumique du tube et en déduire l’équation di6érentielle régissant l’évolution de h(t).
3 Intégrer cette équation di6érentielle. Quelle est la durée de vidange du réservoir? Expliquer l’origine de
cette diCculté. Calculer l’intervalle de temps t tel que h( t) = ho /2. En déduire une méthode de mesure
du coeCcient de viscosité -. Véri/er l’homogénéité de la formule ainsi obtenue sachant que, dans le système
international, le coeCcient de viscosité - s’exprime en Pa. s.
Exercice 14 : Entraînement d’un disque par viscosité
Deux disques identiques de rayon R ont même axe Oz et sont à la distance e
R l’un de l’autre.
Un uide incompressible de coeCcient de viscosité - rempli l’intervalle entre les deux disques. Le disque inférieur
est /xe, le disque supérieur est animé d’un mouvement de rotation de vitesse angulaire constante ( autour de
l’axe Oz:
On s’intéresse ici au régime laminaire permanent et on admet qu’ici, le champ de vitesse dans le uide est de la
forme
.v"
= cste
v = v" (r, z) e" avec:
.r
(les notations sont celles des coordonnées cylindriques).
l Véri/er que ce champ de vitesse est compatible avec l’incompressibilité du uide. On admettra qu’en régime
permanent cette incompressibilité se traduit par div v = 0.
2 Expliciter v" (r, z).
3 Par analogie avec la loi de Newton pour un écoulement unidimensionnel, donner l’expression de la force dF qui
s’exerce sur un élément de surface dS du disque inférieur; calculer le moment de cette force par rapport à l’axe
Oz.
4 Calculer /nalement le moment total par rapport à Oz des forces de viscosité s’exerçant sur le disque inférieur.
Quel est, qualitativement, l’e6et de ce moment?