Chapitre V : Dynamique du fluide parfait

Spéciale PSI - Cours "Mécanique des uides"
1
Equations dynamiques locales pour les écoulements parfaits
Chapitre V : Dynamique du uide parfait
Contents
1 Equation d’Euler
1.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Equation d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
2
2 ”Résolution” de l’équation d’Euler
3
3 Relations de Bernoulli
3.1 Cas d’un écoulement stationnaire d’un uide parfait, incompressible et homogène . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Cas d’un écoulement irrotationnel, stationnaire d’un uide parfait, incompressible et homogène . . . . . . . .
3
3
4
4 Relations de Bernoulli généralisées
4.1 Cas d’un écoulement stationnaire d’un uide parfait, compressible et homogène . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Cas d’un écoulement irrotationnel, non stationnaire d’un uide parfait, incompressible et homogène . . . . . .
5
5
5
5 Interprétation énergétique
6
6 Conditions d’applications de la relation de Bernoulli
6.1 Incompressibilité du uide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Jet à l’air libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
7
7
7 Exemples d’applications
7.1 Formule de Toricelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Tube de Pitot simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Tube de Venturi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4 Ecoulement isentropique d’un gaz parfait - Vitesse d’éjection d’un gaz
7.4.1 Ecoulement isentropique d’un gaz parfait . . . . . . . . . . . .
7.4.2 Vitesse d’éjection d’un gaz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8 Exercices complémentaires
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7
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10
11
11
11
12
2
Mécanique des uides. Chapitre V : Dynamique du uide parfait
Equations dynamiques locales pour les écoulements parfaits
Chapitre V : Dynamique du uide parfait
Objectifs :
• Recherche d’une équation pour décrire le mouvement d’un uide parfait ;
• Démonstration des relations de Bernoulli ;
• Exemples d’applications des relations de Bernoulli.
1
Equation d’Euler
1.1
Rappels
Soit une particule uide de volume d , de masse m, animée d’une vitesse v par rapport au référentiel d’étude. On suppose
que cette vitesse est donnée en description eulérienne : v = v(r, t).
L’accélération de la particule uide est donnée par la dérivée particulaire :
a=
1.2
Dv
=
Dt
v
t
+ v.grad v =
r
v
t
1
+ grad v 2
2
r
v
rot v
Equation d’Euler
Nous appliquons la deuxième loi de Newton à cette particule uide :
• référentiel : référentiel du laboratoire supposé galiléen pour la durée de l’expérience ;
• système : particule uide de masse m animée d’une vitesse v ;
• bilan des forces extérieures appliquées à la particule uide :
— forces de contact :
forces de pression : dFp =
grad P d ,
forces de viscosité : dFvis = 0 car le uide est supposé parfait ( = 0),
— forces extérieures : dFext = fext,vol d
La deuxième loi de Newton donne :
Dp
=
Dt
F
D( d v)
= dFp + dFvis + dFext
Dt
Dv
= grad P + fext,vol
m = d = cste
Dt
Dans le cas où la seule force extérieure est le poids : fext,vol = g
Le mouvement d’un uide non visqueux dans le champ de pesanteur est régi par l’équation d’Euler :
Dv
= grad P + g
Dt
v
+ v.grad v = grad P + g
t r
1
v
+ grad v2
v
rot v = grad P + g
t r 2
Remarque : dans le cas d’un uide au repos on retrouve la loi fondamentale de la statique des uides
Dv
=
Dt
grad P + g avec
Dv
=0
Dt
soit grad P = g
Mécanique des uides. Chapitre V : Dynamique du uide parfait
2
3
”Résolution” de l’équation d’Euler
La résolution d’un problème de dynamique des uides (recherche du mouvement à partir des forces) consiste à déterminer
les trois grandeurs locales que sont la vitesse v(r, t), la pression P (r, t) et la masse volumique (r, t) en tout point du uide.
On recherche donc un champ vectoriel et deux champs scalaires soit cinq champs scalaires.
L’équation d’Euler fournit trois équations scalaires et la relation locale de conservation de la masse une équation scalaire : il
«manque» alors une équation pour pouvoir résoudre le problème.
Nous pouvons ajouter une équation en introduisant une équation d’état du uide de la forme f(P, V, T ) = 0 soit = m
V =
(T, P ) mais cette équation introduit une nouvelle grandeur, a priori inconnue, le champ de température T (r, t). Il est donc
nécessaire d’introduire une équation supplémentaire, équation de comportement du uide au cours de l’écoulement :
- si le uide est incompressible, alors = cste n’est plus une inconnue ;
- si le uide est compressible, on pourra considérer une transformation isotherme ou adiabatique; on aura alors une relation
supplémentaire liant P et grâce aux lois de la thermodynamique.
On dispose maintenant d’autant d’équations que d’inconnues ; la nature des solutions dépend des conditions aux limites.
Les deux cas importants sont :
- sur une surface libre séparant un liquide de l’atmosphère P = Patm ;
- sur une paroi Axe, la composante normale de la vitesse est nulle.
3
Relations de Bernoulli
Dans ce paragraphe on suppose que la seule force extérieure est le poids de densité volumique fext,vol = g.
3.1
Cas d’un écoulement stationnaire d’un uide parfait, incompressible et homogène
On considère un écoulement stationnaire d’un
L’équation d’Euler s’écrit :
v
+
t r
uide parfait, incompressible et homogène.
1
grad v2
2
v
rot v
=
grad P + g
v
= 0 car l’écoulement est stationnaire
t r
On peut écrire le poids en faisant apparaître un gradient :
avec
fext,vol = g =
grad (gz) avec Oz verticale ascendante
Le uide est incompressible :
= cste
1
2
grad (gz) = grad ( gz)
grad v2 = 12 grad v2
L’équation d’Euler donne
1
grad
2
v2
v
rot v =
grad P
grad ( gz)
1 2
v = v
rot v
2
1
grad P + gz + v2 .v = v
rot v
2
1
grad P + gz + v2 .v = 0
2
grad P + gz +
.v
En notant dl le déplacement élémentaire le long d’une ligne de courant (ligne de champ associée au vecteur vitesse), on a
dl = vdt donc :
1
grad P + gz + v2 .dl = 0
2
L’intégration, le long d’une ligne de courant, d’un point A à un point B donne :
B
grad P + gz +
A
1 2
v .dl = 0
2
B
d P + gz +
soit
A
donc
P + gz +
1 2
v
2
1 2
v
2
=0
B
=0
A
4
Mécanique des uides. Chapitre V : Dynamique du uide parfait
Pour un écoulement stationnaire d’un uide parfait, incompressible et homogène, la grandeur
1
P + gz + v 2 est une constante le long d’une ligne de courant.
2
1
La relation P + gz + v2 = cste le long d’une ligne de courant est appelée relation de Bernoulli
2
Remarque : la grandeur P + gz + 12 v2 est une constante le long d’une ligne de courant mais cette constante peut varier
d’une ligne de courant à l’autre.
Exercice 1 : Eau dans une conduite
De l’eau pénètre dans la conduite représentée ci-dessus sous la pression de 2, 2 atm, à la vitesse horizontale de 3 m. s
Déterminer :
1
.
1) la vitesse de l’eau à la sortie ;
2) la pression de sortie de l’eau ;
3) le débit de l’eau dans la conduite, en kg. mn
1
Exercice 2 : Régimes d’écoulement dans un canal
Un canal rectiligne de grande longueur, à fond horizontal, possède localement une section rectangulaire de largeur , où la
profondeur d’eau est h. La vitesse d’écoulement, supposée uniforme sur cette section droite, y est v . Les quantités , h et
v varient, mais sur de très grandes distances caractéristiques, le long du canal.
L’écoulement de l’eau, assimilée à un uide parfait homogène et incompressible, est stationnaire.
1) Exprimer le débit volumique q à travers une section du canal ; que peut-on en dire?
2) Montrer que la quantité h +
v2
2g
est une constante, que l’on notera hs , le long du canal.
3) Exprimer q en fonction de hs , h, g et . Tracer, pour et hs Axées, la courbe donnant q en fonction de h. Déterminer
la valeur maximale qm de q et la hauteur hc (dite critique) correspondante. Montrer, que pour une valeur q donnée du
débit < qm , il existe 2 valeurs possibles h1 et h2 de la hauteur h, avec h1 < hc < h2 < hs :h1 correspond au régime
”torrentiel” (faible hauteur, grande vitesse) et h2 au régime ” uvial” (hauteur élevée, faible vitesse).
4) La largeur du canal diminue progressivement, discuter, selon le type de régime, dans quel sens se modiAe h.
5) Des perturbations de la surface libre peuvent se propager, dans le référentiel où localement l’eau est immobile, à la
célérité c = gh. Étudier, selon le type de régime, si ces perturbations peuvent ou non remonter vers l’amont, c’est-à-dire
si la présence d’un obstacle dans le canal a, ou non, un eHet sur l’écoulement à l’amont.
3.2
Cas d’un écoulement irrotationnel, stationnaire d’un
homogène
uide parfait, incompressible et
On considère un écoulement stationnaire d’un uide parfait, incompressible et homogène. On suppose de plus cet écoulement
irrotationnel : rot v = 0.
L’équation d’Euler s’écrit :
grad P + gz +
1 2
v
2
= v
rot v = 0
P + gz +
1 2
v = cste
2
Pour un écoulement irrotationnel , stationnaire d’un uide parfait, incompressible et homogène,
1
la grandeur P + gz + v2 est une constante dans tout le uide.
2
1
La relation P + gz + v2 = cste dans tout le uide est appelée relation de Bernoulli
2
Mécanique des uides. Chapitre V : Dynamique du uide parfait
4
5
Relations de Bernoulli généralisées
Dans ce paragraphe on suppose que la seule force extérieure est le poids de densité volumique fext,vol = g.
4.1
Cas d’un écoulement stationnaire d’un uide parfait, compressible et homogène
On considère un écoulement stationnaire d’un uide parfait, compressible et homogène.
L’équation d’Euler s’écrit :
v
1
v
rot v = grad P + g
+ grad v2
t r 2
v
= 0 car l’écoulement est stationnaire et fext,vol = g =
avec
t r
On obtient alors :
1
v
rot v = grad P
grad (gz)
grad v 2
2
v2
1
+ gz + grad P = v
rot v
2
v2
1
grad
+ gz + grad P .v = v
rot v
2
1
v2
+ gz + grad P .v = 0
grad
2
grad (gz)
grad
.v
En notant dl le déplacement élémentaire le long d’une ligne de courant (ligne de champ associée au vecteur vitesse), on a
dl = vdt donc :
v2
1
grad
+ gz + grad P .dl = 0
2
L’intégration, le long d’une ligne de courant, d’un point A à un point B donne :
B
grad
A
B
grad
soit
A
1
v2
+ gz + grad P .dl = 0
2
v2
+ gz .dl +
2
donc
B
1
grad P.dl = 0
A
v2
+ gz
2
B
B
+
A
dP
=0
A
Pour un écoulement stationnaire d’un uide parfait, compressible et homogène, la grandeur
dP
v2
+ gz +
est une constante le long d’une ligne de courant.
2
v2
dP
La relation
+ gz +
= cste le long d’une ldc est appelée relation de Bernoulli généralisée
2
Remarques :
1) la relation précédente est exploitable sous réserve de pouvoir calculer
dP
; elle est donc utilisable pour un uide
barotrope pour lequel = (P ).
2) pour un écoulement isentropique l’identité thermodynamique donne dh = T ds + dP/ = dP/ ; la relation précédente
v2
v2
+ gz + dh =
+ gz + h(so , P ) = cste.
devient
2
2
4.2
Cas d’un écoulement irrotationnel, non stationnaire d’un uide parfait, incompressible
et homogène
Pour un écoulement irrotationnel rot v = 0, il existe donc un potentiel scalaire des vitesses %(r, t) tel que v = grad %.
L’équation d’Euler s’écrit :
v
t
1
+ grad v2
2
r
grad %
t
v
r
rot v
=
1
+ grad v2 =
2
grad P + g
grad P
grad (gz)
6
Mécanique des uides. Chapitre V : Dynamique du uide parfait
Le uide est incompressible :
=
cste
grad
grad P
P
P
1
+ grad v 2 + grad + grad (gz) = 0
2
r
%
t
grad
= grad
%
t
+
r
v2 P
+ + gz
2
=0
Pour un écoulement irrotationnel , non stationnaire d’un uide parfait, incompressible et homogène,
v2 P
%
+
+ + gz est une constante dans tout le uide.
la grandeur
t r
2
v2 P
%
+
+ + gz = cste dans tout le uide est appelée relation de Bernoulli généralisée
La relation
t r
2
Remarque : la grandeur
%
t
+
r
v2 P
+ + gz est une constante dans tout le uide mais cette constante est en réalité
2
t
une fonction du temps C(t) ; on peut toutefois incorporer cette dépendance dans le potentiel scalaire % = %
C( )d .
0
5
Interprétation énergétique
1 2
v = cste est une conséquence de l’équation d’Euler ;
2
Nous avons déjà démontré cette relation au chapitre précédent (paragraphe 3.5.4.) grâce à un bilan énergétique.
Dans les paragraphes précédents, la relation de Bernoulli P + gz +
L’équation de Bernoulli ne fait que traduire la conservation de l’énergie :
P
•
P
1
+ gz + v2 = cste
2
est une énergie massique associée aux forces de pression ;
• gz est l’énergie potentielle massique associée aux forces de pesanteur (poids) ;
•
1 2
v est l’énergie cinétique massique.
2
Si nous choisissons d’écrire la relation de Bernoulli sous la forme P + gz +
1 2
v = cste nous faisons apparaître :
2
• la pression statique P = P + gz,
• la pression dynamique
1 2
v .
2
Remarques :
1) la pression statique P = P + gz est homogène à une pression et P est uniforme en tout point d’un uide au repos.
2) P / g = z + P/ g est la hauteur piézométrique.
3) z + P/ g + v 2 /2g est la charge totale.
Exercice 3 : Oscillations d’un uide dans un tube en U
On considère un uide parfait contenu dans un tube en U de section S uniforme. Le volume V de uide est tel que
V = S. .On provoque un léger déséquilibre à l’instant t = 0 et on laisse évoluer le uide au cours du temps.
1) Projeter l’équation d’Euler sur le vecteur unitaire T tangent en M à une ligne de courant.
2) Intégrer cette équation scalaire le long d’une LDC entre A et B . En déduire la nature du mouvement du uide et la
période des oscillations.
3) Appliquer le théorème de Bernoulli généralisé le long d’une LDC qui passe par A et B et retrouver les résultats
précédents.
Mécanique des uides. Chapitre V : Dynamique du uide parfait
6
6.1
7
Conditions d’applications de la relation de Bernoulli
Incompressibilité du uide
La forme la plus simple de la relation de Bernoulli correspond au cas d’un écoulement stationnaire d’un uide parfait,
incompressible et homogène :
1
P + gz + v 2 = cste le long d’une ligne de courant
2
L’incompressibilité est une hypothèse assez restrictive pour les gaz (mais pas pour les liquides). Existe-t-il des conditions
expérimentales particulières pour lesquelles un uide peut-être considérer comme incompressible ?
On se propose de montrer que si la vitesse d’écoulement reste très inférieure à la vitesse de propagation du son dans ce uide
alors l’hypothèse d’incompressibilité est valide.
On note )exp le coeLcient de compressibilité dans les conditions de l’expérience :
)exp =
1
P
exp
Les écoulements étudiés sont très souvent approximativement isentropiques )exp
)S . On suppose que pour des vitesses
v < vmax les variations de sont négligeables ; d’après la relation de Bernoulli, cette variation de vitesse v correspond à
une variation P de la pression avec :
1 2
v
Pmax =
2 max
1 2
les variations
de seront eHectivement négligeables si
1 soit )S Pmax
1 donc )S vmax
1
vmax
2
max
2
.
S
1
avec c vitesse de
L’étude de la propagation des ondes acoustiques dans les uides permet de démontrer que )S =
c2
propagation du son dans le uide.
2
= 2c c
On obtient alors vmax
1
c2
1 2
v = cste le long d’une ldc
2
à un écoulement stationnaire d’un uide parfait et homogène si la vitesse de l’écoulement reste très
inférieure à la vitesse de propagation du son dans ce uide.
Il est possible d’appliquer la relation de Bernoulli sous la forme P + gz +
6.2
Jet à l’air libre
Soit un jet libre (écoulement sans aucun contact avec une surface rigide ou un autre uide) stationnaire d’un uide incompressible avec v = v ex = cste.
1
La relation de Bernoulli s’écrit P + gz + v2 = cste dans tout le uide.
2
Comme v et z sont des constantes on a donc P = cste dans tout le uide ; la condition d’équilibre aux bords du jet donne
P = Po = pression atmosphèrique.
On admet la généralisation :
Dans un jet à l’air libre la pression est uniforme et égale à la pression extérieure.
7
7.1
Exemples d’applications
Formule de Toricelli
8
Mécanique des uides. Chapitre V : Dynamique du uide parfait
On considère un récipient rempli d’un liquide parfait et incompressible muni d’une petite ouverture située à la hauteur h
sous la surface libre du liquide (le diamètre de cette ouverture est négligeable devant h).
On recherche l’expression de la vitesse du liquide en A en fonction de h.
L’oriAce est suLsament petit pour considérer l’écoulement comme stationnaire à chaque instant. De plus le liquide est parfait
et incompressible Nous pouvons donc appliquer la relation de Bernoulli sous la forme du paragraphe 3.1. en considérant une
ligne de courant Ao A :
1 2
1 2
= PA + gzA + vA
PAo + gzAo + vA
o
2
2
avec PAo = PA = Po et vAo
vA (car la conservation du débit volumique s’écrit SvAo = svA ) donc
v=
Remarque : l’expression v =
2gh
Formule de Torricelli
2gh donne également la vitesse pour une chute libre depuis une hauteur h.
Exercice 4 : Vidange d’un réservoir
On donne les sections s = 2 cm2 et S = 1 m2 de la cuve ci dessus et la hauteur initiale d’eau h0 = 80 cm dans la cuve à
l’instant t = 0. On donne g = 10 m. s 2 .
1) Etablir la loi d’évolution de la hauteur d’eau h(t).
2) Calculer la durée T de la vidange et la comparer à celle qu’on obtiendrait à débit constant.
Exercice 5 : Clepsydre
z
z(t)
r
eau
O
section s
Un récipient à symétrie de révolution autour de l’axe vertical Oz , de méridienne d’équation r = a.z n où r est le rayon du
réservoir aux points de cote z comptés à partir de l’oriAce O de faible section s = 1 cm2 percé au fond du réservoir. On
désire que le niveau de l’eau de ce récipient baisse régulièrement de 6 cm par minute au cours de la vidange. Calculer les
coeLcients n et a et en déduire l’équation de la méridienne.
7.2
Tube de Pitot simple
Mécanique des uides. Chapitre V : Dynamique du uide parfait
9
Le tube de Pitot, représenté ci-dessus, permet de mesurer la vitesse (ou le débit) d’un uide dans une canalisation de
section S.
L’ouverture A est dirigée face au jet et constitue un point d’arrêt (la vitesse du uide en A est nulle).
Le point B est sur la paroi latérale; le uide circulant dans la canalisation est animé d’une vitesse v et possède une masse
volumique alors que le tube en U est rempli d’un liquide de masse volumique o > .
Le uide est parfait et incompressible Nous pouvons donc appliquer la relation de Bernoulli sous la forme du paragraphe 3.1.
en considérant une ligne de courant :
1
P + gz + v2 = cste
2
- sur une ligne de courant Ao A :
1 2
1 2
= PA + gzA + vA
PAo + gzAo + vA
o
2
2
- sur une ligne de courant Bo B :
1 2
1 2
PBo + gzBo + vB
= PB + gzB + vB
o
2
2
- entre les points Ao et Bo (voir remarque 2 en An de paragraphe) :
PAo + gzAo +
avec
PA1 = PB1
On obtient
1 2
1 2
v = PBo + gzBo + vB
o
2 Ao
2
zAo = zA et zBo = zB
vA = 0, vAo = vBo = vB = v
+ o gh et PB1 = PB + g(zB zB1 ) et PA1 = PA + g(zA
PAo + 12 v2 = PA
PBo = PB
PAo + gzAo = PBo + gzBo
PA + g(zA zA1 ) = PB + g(zB zB1 ) +
soit
PAo +
1 2
v + g(zA
2
donc
(PB + gzBo
1 2
v
2
1 2
v
2
1 2
v
2
1 2
v
2
gzAo ) +
= g (zB
zA1 ) = PB + g(zB
1 2
v + g(zA
2
zB1 ) +
= g (zA1
zB1 ) +
=g
h+
o
=g
o
o
o
o gh
zB1 ) +
zA1 ) = PB + g(zB
h + zAo
h + zAo
zBo + zA1
zA
zA1 )
o gh
zB1 ) +
o gh
zA
zBo + zB
zBo
h
h
Dans un tube de Pitot, la vitesse de l’écoulement v et la dénivellation h sont liées par la relation
v=
2
o
gh
10
Mécanique des uides. Chapitre V : Dynamique du uide parfait
Remarques :
1) le débit volumique est D = Sv = S
2
o
gh
2) localement, dans une section droite autre que celle passant par A, l’écoulement est unidirectionel et donc irrotationnel
; on peut donc appliquer la relation de Bernoulli entre les points Ao et Bo .
3) Au point B le calcul est approché ; en eHet il existe au voisinage de ce point une zone de turbulence et la relation de
Bernoulli n’est pas applicable. Avec les notations de la Agure ci-dessous, la relation de Bernoulli est applicable au dessus de
A et en dessous de A ; l’égalité des pressions entre A et A découle de la proximité de ces deux points et de la continuité
de la pression.
Exercice 6 : Variante du tube de Pitot. Point d’arrêt
Le tube de Pitot ouvert à l’extrémité A est plongé dans un liquide animé d’une vitesse uniforme horizontale v = v0 .ux ; la
hauteur d’ascension du liquide est h = 80 cm. Ce tube est maintenant fermé à l’extrémité A de la partie recourbée, mais
la partie horizontale est percée de petits trous au voisinage de T . Plongé dans le uide précédent, la hauteur d’ascension
du liquide dans cette sonde n’est plus que h = 35 cm. En déduire :
1) la vitesse v d’écoulement du liquide non visqueux et incompressible.
2) la pression en A, dans chacune des deux expériences ; on donne µ = 103 kg. m3 .
7.3
Tube de Venturi
Mécanique des uides. Chapitre V : Dynamique du uide parfait
11
Le tube de Venturi est une ”variante” de l’expérience précédente. Un calcul semblable au précédent donne :
v2 =
S1
S12
o
2
S22
gh
Remarque : On pourra noter le paradoxe de Venturi: la pression est plus forte dans la section la plus large du tube c’est
à dire là où les vitesses sont les plus faibles (cf eHet de sol pour les voitures de compétition, trompe à eau).
Exercice 7 :Tube de Venturi
Démontrer l’expression précédente.
7.4
7.4.1
Ecoulement isentropique d’un gaz parfait - Vitesse d’éjection d’un gaz
Ecoulement isentropique d’un gaz parfait
Soit un gaz parfait (sans viscosité) en écoulement laminaire, adiabatique et stationnaire. Cet écoulement est isentropique.
Dans cette étude on néglige les forces de pesanteur; la relation de Bernoulli généralisée s’écrit :
v2
+
2
dP
= cste le long d’une ligne de courant
Rappel : Un gaz parfait à . constant subissant une transformation isentropique obéit à la loi de Laplace : P V
P = K avec K = cste.
On a alors :
dP
1
K.
=
= K.
1
.
.
=
.
d
2
= K.
d
1
1
Préf
1
= cste soit
1
réf
La relation de Bernoulli entre deux points (1) et (2) donne :
. Préf
v12
+
2
. 1 réf
7.4.2
1
1
=
v22
. Préf
+
2
. 1 réf
1
2
Vitesse d’éjection d’un gaz
Un réservoir de grandes dimensions contient un gaz parfait sous la pression P1 . Ce gaz s’échappe par une tuyère dans laquelle
il subit une détente isentropique jusqu’à la pression Anale P2 (P2 < P1 ).
La relation précédente donne :
v12
. Préf
+
2
. 1 réf
1
1
=
. Préf
v22
+
2
. 1 réf
1
2
Nous pouvons considérer que v1 est nulle :
.
.
Préf
1
1
1
réf
=
v22
. Préf
+
2
. 1 réf
1
2
12
Mécanique des uides. Chapitre V : Dynamique du uide parfait
en prenant l’état (1) comme état de référence, on a :
P1
.
.
1
1
v2 =
=
v22
. P1
+
2
. 1 1
2
.
.
P1
1
1
2
1
1
2
1
1
1
P1
P2
1
v2 =
8
2
.
.
1
1
1
1
P1
Exercices complémentaires
Exercice 8 : Fonctionnement d’une hélice
Dans un uide parfait, homogène et incompressible de masse volumique (air ou eau), est immergée une hélice.
On se place dans le référentiel (R), supposé galiléen, où l’hélice est animée d’un mouvement de rotation autour
de son axe x x, Axe, à vitesse angulaire constante. Nous ferons les hypothèses suivantes :
2) le mouvement du uide autour de l’hélice est supposé stationnaire, dans (R), et à symétrie de révolution autour
de x x.
3) La Agure ci-dessous représente un tube de courant dans (R), dans l’hypothèse où SA > SB . Loin de l’hélice,
sauf dans la veine à l’aval de section SB , la vitesse du uide est uniforme et vaut vA dans (R) ; dans la veine aval,
elle vaut vB , toujours à grande distance de l’hélice.
.) La pression, à grande distance de l’hélice, et dans toutes les directions, est uniforme et vaut P0 (c’est vrai en
particulier sur SA et SB ).
) Les sections ( 1 ) et ( 2 ) du tube, très voisines de l’hélice, ont leurs aires pratiquement confondues, de valeur
S : les pressions du uide y sont supposées uniformes, et de valeurs respectives P1 et P2 .
4) La vitesse du uide au voisinage de l’hélice, dans (R), est supposée uniforme, et de valeur v : l’inclinaison des
pales par rapport au plan perpendiculaire à l’axe x x permet le glissement du uide, en satisfaisant à la continuité
de la vitesse normale sur les pales ; ce glissement est supposé ne s’accompagner d’aucune dissipation d’énergie
mécanique par frottement. (voir Agure ci-dessous).
5) Les eHets de la pesanteur sur le uide sont négligeables.
Mécanique des uides. Chapitre V : Dynamique du uide parfait
13
1) Écrire deux relations entre SA , vA , SB , vB , S et v (vA = vA ex , vB = vB ex , v = vex ).
2) Évaluer les pressions P1 et P2 en fonction de P0 , , vA , vB et v. En déduire la résultante F des eHorts exercés
par l’hélice sur le uide, en fonction de , S, vA et vB . Discuter le sens de F .
3) Évaluer F par ailleurs, en appliquant le théorème d’Euler dans (R) à un volume de contrôle de grandes
dimensions entourant l’hélice. En déduire la relation entre v, vA et vB .
4) Évaluer la puissance Pf fournie au uide par l’hélice (mesurée dans (R)) :
4.a) à partir de la valeur de F .
4.b) en appliquant le premier Principe de la Thermodynamique à un système convenable. On exprimera Pf en
fonction de vA , vB et du débit massique Dm circulant dans le tube de courant représenté sur la 1ère Agure.
5.) Application à la propulsion d’un vaisseau (avion, navire) :
Le vaisseau a, par rapport à la terre où le uide est immobile à grande distance de l’hélice, une vitesse constante
u = uex (u > 0). Le uide est éjecté vers l’arrière de l’hélice à une vitesse ve = ve ex , à grande distance de
celle-ci, ve étant mesurée par rapport à la Terre.
u
de la propulsion ; Pu est la puissance fournie à la coque du vaisseau,
5.a) Évaluer le rendement énergétique = PPm
mesurée dans le référentiel terrestre bien sûr, et Pm est la puissance fournie par le moteur actionnant l’hélice. On
exprimera en fonction de u et ve seulement. Dans quelles conditions serait-il maximal ? Qu’en penser ?
5.b) Application mmérique : Calculer le rapport
ve
u
pour
= 0, 85 (avion) et
= 0, 60 (navire).
6) Application au fonctionnement de l’éolienne :
Dans ce cas, (R) est le référentiel terrestre, et vB < vA .
6.a) Quelle est alors la forme du tube de courant ?
6.b) Soit P la puissance obtenue sur l’arbre de l’éolienne. On pose x =
pour quelle valeur de x, P est-elle maximale ?
vB
vA
(0
x
1) ; S et vA étant données,
6.c) Le rendement énergétique r est déAni comme le rapport de P au débit d’énergie cinétique de l’air à travers
la section SA du tube de courant. Exprimer r en fonction de x. Que vaut r lorsque P est maximale ?
6.d) Application numérique :
= 1, 3 kg. m
3
; vA = 8 m. s
1
; le diamètre de l’hélice est 10 m ; calculer Pmaximale .
Exercice 9 : Vidange d’un réservoir - Théorème de Torricelli
Un réservoir cylindrique de section S rempli d’eau se termine par un tube horizontal de longueur L et de section
.s
S situé à sa base et fermé par un robinet qu’on ouvre à l’instant t = 0. Initialement la hauteur d’eau dans
le réservoir est h0 ; à l’instant t on la note h(t).
1) Une fois le robinet ouvert, on suppose l’écoulement unidimensionnel à l’interface air-eau dans le réservoir avec
v(M, t) = V (t)uz et dans le tube horizontal où v(M, t) = v(x, t)ux .
Montrer que :
S
S dh
V (t) =
s
s dt
S de négliger V (t) devant v(t) dans toute la suite.
v (x, t) =
ce qui permet avec s
2) En dehors d’une phase de courte durée, on constate que la vitesse d’éjection vaut v(t) = 2gh(t) c’est-à-dire a
même valeur que pour un point matériel lâché en chute libre, ce qui constitue le théorème de Torricelli. Montrer
qu’on peut interpréter ce fait en supposant que le théorème de Bernoulli est applicable bien que l’écoulement varie
au cours du temps (approximation des régimes quasi-stationnaires).
3) En déduire l’expression de la hauteur d’eau h(t) en fonction de S, s, h0 , g, t, puis l’expression de la durée T
nécessaire pour vider le réservoir. Analyser la pertinence de l’in uence de S, s, g et h0 sur T .
14
Mécanique des uides. Chapitre V : Dynamique du uide parfait
4) On s’intéresse au régime transitoire initial au cours duquel la vitesse v(t) atteint sa valeur 2gh0 en régime
quasi-stationnaire sans que le niveau h0 dans le réservoir ait eu le temps de varier notablement. En négligeant
l’accélération locale dans le réservoir, mais pas dans le tube, montrer que
2L
dv
= gh0
dt
v2
et chercher une solution de la forme v(t) = v th (t/ ) ; exprimer v
et T et commenter.
On rappelle que (th u) = 1 th2 u et limu
et
en fonction de g, h et L. Comparer
th u = 1.
5) Lorsque le tube est trop An, tout ce qui précède est faux. Interpréter qualitativement. Évaluer l’ordre de
grandeur du rayon R du tube en dessous duquel «le tube est trop An» pour adopter le modèle précédent, pour
h0 = 20 cm , L = 2 cm et v = 10 6 m2 . s 1 .
Mécanique des uides. Chapitre V : Dynamique du uide parfait
15
Exercice 10 : Cavitation
Sous l’eHet d’une baisse de pression brutale, des bulles de gaz peuvent se former dans l’eau : ce phénomène appelé
cavitation est particulièrement important au voisinage des hélices de navires et provoque une forte érosion.
A l’instant t = 0, une bulle de gaz sphérique, de centre et de rayon initial a0 se forme dans un volume d’eau
supposé inAni. Pour simpliAer, on néglige l’in uence de la pesanteur, on suppose que la pression au sein de cette
bulle de gaz est nulle et que son centre O est Axe dans le référentiel galiléen d’étude. L’évolution de son rayon
a(t) met en mouvement l’eau et on note v(M, t) le champ des vitesses correspondant, qu’on cherche sous la forme
v(M, t) = v(r, t)ur en coordonnées sphériques. Loin de la bulle, les conditions aux limites sont à tout instant t :
p(r = , t) = p et v(r = , t) = 0. L’écoulement dans l’eau est supposé parfait, incompressible et homogène ;
on note µ la masse volumique de l’eau.
1) On admet que le temps d’implosion T de la bulle est Ani et s’exprime sous la forme d’un monôme en fonction
des seuls paramètres pertinents du problème :
T = ka0 µ p
où 2, 3, . et k sont des réels, k étant sans dimension. En exploitant l’analyse dimensionnelle de cette formule,
déterminer 2, 3 et .. VériAer la pertinence du résultat en étudiant l’in uence de a0 , p et µ. En supposant
k 1, calculer un ordre de grandeur de T pour a0 = 1 mm, p = 1 bar et µ = 103 kg. m 3 .
2) En exploitant l’incompressibilité de l’écoulement et la condition aux limites à la surface de la bulle, montrer
que :
a (t) a (t)
v (r, t) =
r2
En déduire que l’écoulernent dérive d’un potentiel des vitesses 8 et déterminer ce potentiel en imposant la condition
8( , t) = 0.
3) En exploitant une intégrale première de l’équation d’Euler entre r = 0 et r =
a
d2 a 3
+
dt2
2
da
dt
2
=
montrer que :
p
µ
4) On fait le changement d’inconnue 2(t) = a(t)/a0 et le changement de variable t = t/ où est une constante.
Déterminer l’équation diHérentielle dont est solution 2 (t ). Choisir
pour que cette équation diHérentielle
devienne universelle. Retrouver alors les variations du temps d’implosion T de la bulle en fonction de a0 , p et
µ.
5) L’équation d’Euler impose à l’instant t où a(t) = a0 /10 la relation approchée qu’on ne demande pas d’établir :
r
p
p
=
2a0
15r2
a30
r3
250
Montrer que la pression passe par un maximum pM pour une distance rM ; évaluer numériquement rM et pM
pour p = 1 bar et a0 = 1 mm. Interpréter alors l’érosion de l’hélice.