Chapitre V : Dynamique du fluide parfait

Spéciale PSI - Cours "Mécanique des uides" 1
Equations dynamiques locales pour les écoulements parfaits
Chapitre V : Dynamique du uide parfait
Contents
1Equation d’Euler 2
1.1 Rappels ......................................................... 2
1.2 Equation d’Euler .................................................... 2
2”Résolution” de l’équation d’Euler 3
3Relations de Bernoulli 3
3.1 Cas d’un écoulement stationnaire d’un uide parfait, incompressible et homogène ................ 3
3.2 Cas d’un écoulement irrotationnel, stationnaire d’un uide parfait, incompressible et homogène ........ 4
4Relations de Bernoulli généralisées 5
4.1 Cas d’un écoulement stationnaire d’un uide parfait, compressible et homogène ................. 5
4.2 Cas d’un écoulement irrotationnel, non stationnaire d’un uide parfait, incompressible et homogène ...... 5
5Interprétation énergétique 6
6Conditions d’applications de la relation de Bernoulli 7
6.1 Incompressibilité du uide ............................................... 7
6.2 Jet à l’air libre ..................................................... 7
7Exemples d’applications 7
7.1 Formule de Toricelli .................................................. 7
7.2 Tube de Pitot simple .................................................. 8
7.3 Tube de Venturi .................................................... 10
7.4 Ecoulement isentropique d’un gaz parfait - Vitesse d’éjection d’un gaz ...................... 11
7.4.1 Ecoulement isentropique d’un gaz parfait .................................. 11
7.4.2 Vitesse d’éjection d’un gaz .......................................... 11
8Exercices complémentaires 12

2Mécanique des uides. Chapitre V : Dynamique du uide parfait
Equations dynamiques locales pour les écoulements parfaits
Chapitre V : Dynamique du uide parfait
Objectifs :
•Recherche d’une équation pour décrire le mouvement d’un uide parfait ;
•Démonstration des relations de Bernoulli ;
•Exemples d’applications des relations de Bernoulli.
1Equation d’Euler
1.1 Rappels
Soit une particule uide de volume d,demassem, animée d’une vitesse vpar rapport au référentiel d’étude. On suppose
que cette vitesse est donnée en description eulérienne : v=v(r, t).
L’accélération de la particule uide est donnée par la dérivée particulaire :
a=Dv
Dt =v tr
+v. gradv=v
tr
+1
2
grad v2v
rotv
1.2 Equation d’Euler
Nous appliquons la deuxième loi de Newton à cette particule uide :
•référentiel : référentiel du laboratoire supposé galiléen pour la durée de l’expérience ;
•système : particule uide de masse manimée d’une vitesse v;
•bilan des forces extérieures appliquées à la particule uide :
—forces de contact :
forces de pression : d Fp=
grad P d,
forces de viscosité : d Fvis =
0car le uide est supposé parfait (=0),
—forces extérieures : d Fext =
fext,vol d
La deuxième loi de Newton donne :
Dp
Dt =
F
D(dv)
Dt =d
Fp+d
Fvis +d Fext
m=d=cste Dv
Dt =
grad P + fext,vol
Dans le cas où la seule force extérieure est le poids :  fext,vol =g
Le mouvement d’un uide non visqueux dans le champ de pesanteur est régi par l’équation d’Euler :
Dv
Dt =
gradP +g
v
tr
+v. gradv= grad P +g
v
tr
+1
2
gradv2v
rotv= gradP +g
Remarque : dans le cas d’un uide au repos on retrouve la loi fondamentale de la statique des uides
Dv
Dt =
grad P +gavec Dv
Dt =
0soit  grad P =g

Mécanique des uides. Chapitre V : Dynamique du uide parfait 3
2”Résolution” de l’équation d’Euler
La résolution d’un problème de dynamique des uides (recherche du mouvement à partir des forces) consiste à déterminer
les trois grandeurs locales que sont la vitesse v(r, t), la pression P(r, t)et la masse volumique (r, t)en tout point du uide.
On recherche donc un champ vectoriel et deux champs scalaires soit cinq champs scalaires.
L’équation d’Euler fournit trois équations scalaires et la relation locale de conservation de la masse une équation scalaire : il
«manque» alors une équation pour pouvoir résoudre le problème.
Nous pouvons ajouter une équation en introduisant une équation d’état du uide de la forme f(P, V, T)=0soit =m
V=
(T,P)mais cette équation introduit une nouvelle grandeur, a priori inconnue, le champ de température T(r, t). Il est donc
nécessaire d’introduire une équation supplémentaire, équation de comportement du uide au cours de l’écoulement :
-sileuide est incompressible, alors =cste n’est plus une inconnue ;
-sileuide est compressible, on pourra considérer une transformation isotherme ou adiabatique; on aura alors une relation
supplémentaire liant Pet grâce aux lois de la thermodynamique.
On dispose maintenant d’autant d’équations que d’inconnues ; la nature des solutions dépend des conditions aux limites.
Les deux cas importants sont :
- sur une surface libre séparant un liquide de l’atmosphère P=Patm ;
- sur une paroi Axe, la composante normale de la vitesse est nulle.
3Relations de Bernoulli
Dans ce paragraphe on suppose que la seule force extérieure est le poids de densité volumique  fext,vol =g.
3.1 Cas d’un écoulement stationnaire d’un uide parfait, incompressible et homogène
On considère un écoulement stationnaire d’un uide parfait, incompressible et homogène.
L’équation d’Euler s’écrit :
v
tr
+1
2
grad v2v
rotv= grad P +g
avec v
tr
= 0car l’écoulement est stationnaire
On peut écrire le poids en faisant apparaître un gradient :
fext,vol =g=
grad (gz)avec Oz verticale ascendante
Le uide est incompressible :
=cste 
grad(gz)= grad(gz)
1
2
gradv2=1
2
grad v2
L’équation d’Euler donne 1
2
grad v2v
rotv= grad P  grad (gz)
grad P+gz +1
2v2=v
rotv
grad P+gz +1
2v2.v=v
rotv.v
grad P+gz +1
2v2.v=0
En notant d lle déplacement élémentaire le long d’une ligne de courant (ligne de champ associée au vecteur vitesse), on a
d l=vdt donc : 
grad P+gz +1
2v2.d
l=0
L’intégration, le long d’une ligne de courant,d’unpointAàunpointBdonne :
B
A
grad P+gz +1
2v2.d
l=0
soit B
A
dP+gz +1
2v2=0
donc P+gz +1
2v2B
A
=0

4Mécanique des uides. Chapitre V : Dynamique du uide parfait
Pour un écoulement stationnaire d’un uide parfait ,incompressible et homogène, la grandeur
P+gz +1
2v2est une constante le long d’une ligne de courant.
La relation P+gz +1
2v2=cste le long d’une ligne de courant est appelée relation de Bernoulli
Remarque : la grandeur P+gz +1
2v2est une constante le long d’une ligne de courant mais cette constante peut varier
d’une ligne de courant à l’autre.
Exercice 1 :Eau dans une conduite
De l’eau pénètre dans la conduite représentée ci-dessus sous la pression de 2,2atm, à la vitesse horizontale de 3m.s1.
Déterminer :
1) la vitesse de l’eau à la sortie ;
2) la pression de sortie de l’eau ;
3) le débit de l’eau dans la conduite, en kg.mn1
Exercice 2 :Régimes d’écoulement dans un canal
Un canal rectiligne de grande longueur, à fond horizontal, possède localement une section rectangulaire de largeur ,oùla
profondeur d’eau est h. La vitesse d’écoulement, supposée uniforme sur cette section droite, y est v. Les quantités ,het
vvarient, mais sur de très grandes distances caractéristiques, le long du canal.
L’écoulement de l’eau, assimilée à un uide parfait homogène et incompressible, est stationnaire.
1) Exprimer le débit volumique qà travers une section du canal ; que peut-on en dire?
2) Montrer que la quantité h+v2
2gest une constante, que l’on notera hs, le long du canal.
3) Exprimer qenfonctiondehs,h,get . Tracer, pour et hsAxées, la courbe donnant qenfonctiondeh. Déterminer
la valeur maximale qmde qet la hauteur hc(dite critique) correspondante. Montrer, que pour une valeur qdonnée du
débit <q
m, il existe 2valeurs possibles h1et h2de la hauteur h,avech1<h c<h 2<h s:h1correspond au régime
”torrentiel” (faible hauteur, grande vitesse) et h2au régime ”uvial” (hauteur élevée, faible vitesse).
4) La largeur du canal diminue progressivement, discuter, selon le type de régime, dans quel sens se modiAeh.
5) Des perturbations de la surface libre peuvent se propager, dans le référentiel où localement l’eau est immobile, à la
célérité c=gh. Étudier, selon le type de régime, si ces perturbations peuvent ou non remonter vers l’amont, c’est-à-dire
si la présence d’un obstacle dans le canal a, ou non, un eHet sur l’écoulement à l’amont.
3.2 Cas d’un écoulement irrotationnel, stationnaire d’un uide parfait, incompressible et
homogène
On considère un écoulement stationnaire d’un uide parfait, incompressible et homogène. On suppose de plus cet écoulement
irrotationnel :  rotv= 0.
L’équation d’Euler s’écrit :
gradP+gz +1
2v2=v
rotv= 0P+gz +1
2v2=cste
Pour un écoulement irrotationnel,stationnaire d’un uide parfait,incompressible et homogène,
la grandeur P+gz +1
2v2est une constante dans tout le uide.
La relation P+gz +1
2v2=cste dans tout le uide est appelée relation de Bernoulli

Mécanique des uides. Chapitre V : Dynamique du uide parfait 5
4Relations de Bernoulli généralisées
Dans ce paragraphe on suppose que la seule force extérieure est le poids de densité volumique  fext,vol =g.
4.1 Cas d’un écoulement stationnaire d’un uide parfait, compressible et homogène
On considère un écoulement stationnaire d’un uide parfait, compressible et homogène.
L’équation d’Euler s’écrit :
v
tr
+1
2
grad v2v
rotv=
grad P +g
avec v
tr
= 0car l’écoulement est stationnaire et  fext,vol =g= grad (gz)
On obtient alors : 1
2
grad v2v
rotv= grad P  grad (gz)
grad v2
2+gz+1
gradP =v rotv
grad v2
2+gz+1
grad P.v=v rotv.v
grad v2
2+gz+1
grad P.v=0
En notant d lle déplacement élémentaire le long d’une ligne de courant (ligne de champ associée au vecteur vitesse), on a
d l=vdt donc : 
gradv2
2+gz+1
grad P .d
l=0
L’intégration, le long d’une ligne de courant,d’unpointAàunpointBdonne :
B
A
grad v2
2+gz+1
gradP.d l=0
soit B
A
grad v2
2+gz.d
l+B
A
1
grad P.d l=0
donc v2
2+gzB
A
+B
A
dP
=0
Pour un écoulement stationnaire d’un uide parfait ,compressible et homogène, la grandeur
v2
2+gz +dP est une constante le long d’une ligne de courant.
La relation v2
2+gz +dP =cste le long d’une ldc est appelée relation de Bernoulli généralisée
Remarques :
1) la relation précédente est exploitable sous réserve de pouvoir calculer dP
; elle est donc utilisable pour un uide
barotrope pour lequel =(P).
2) pour un écoulement isentropique l’identité thermodynamique donne dh =Tds+dP/=dP/; la relation précédente
devient v2
2+gz +dh =v2 2+gz +h(so,P)=cste.
4.2 Cas d’un écoulement irrotationnel, non stationnaire d’un uide parfait, incompressible
et homogène
Pour un écoulement irrotationnel  rotv= 0, il existe donc un potentiel scalaire des vitesses %(r, t)tel que v= grad %.
L’équation d’Euler s’écrit :
v
tr
+1
2
grad v2v
rotv= grad P +g
grad %
tr
+1
2
grad v2=
grad P
grad (gz)