Fluides visqueux Notes de cours - Alain Le Rille

physique
année scolaire 2014/2015
Fluides visqueux
Notes
de cours
mardi 18 novembre 2014
L'écoulement de Couette
expérience de cours
Un let de colorant introduit dans un récipient d'eau permet de visualiser l'écoulement de Couette lorsqu'une plaque est déplacée à la surface de l'eau.
à installer mardi 18 novembre 2014 en salle L111.
Figure 1 L'écoulement de Couette
I- Généralités sur les uides visqueux
1. Forces surfaciques dans un uide
Constatations expérimentales de la viscosité
s'y retrouver
si l'on jette de l'eau sur une table, celle-ci glisse puis s'arrête. Ainsi, il existe des forces tangentielles
(dites forces de viscosité ou de cisaillement) exercées par les couches de uides les unes sur les autres.
De même, si l'on réitère l'expérience avec de l'huile, ou mieux encore avec du miel, la distance parcourue
par le uide sur la table est plus courte : ces forces de viscosité dépendent de la nature du uide.
Plus généralement, toutes les expériences montrent que :
• la vitesse d'écoulement d'un uide est une fonction continue du temps mais aussi de l'espace,
• la vitesse relative du uide au contact d'un solide est toujours nulle,
ce qui n'était pas vrai dans le cas du uide parfait.
Il nous faut donc prendre en compte la viscosité du uide pour s'approcher du comportement réel d'un
uide.
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Contrainte normale et contrainte tangentielle en un point :
s'y retrouver
soit un élément de surface d S sur une surface S et entourant un point M de S . Le système des forces de
−−→
−−→
surface agissant sur d2 S est réductible à une force unique d2 F appliquée en M et à un moment d2 M 0 .
−−
→
−
−
→
On admet que d2 F est inniment petit du premier ordre par rapport à d2 S et d2 M 0 inniment petit
2
−−→
2
τ qu'on appelle
d'ordre supérieur. Lorsque d2 S tend vers zéro, le vecteur dd2F
S tend vers un vecteur ~
contrainte en M sur l'élément d2 S .
On peut donc écrire, pour d2 S inniment petit :
−−
→
d2 F = ~τ .d2 S
−−→
Le vecteur ~τ peut avoir une orientation quelconque par rapport à d2 S .
−−→
On peut décomposer la contrainte en une composante normale et une composante tangentielle à d2 S :
−−
→ −−→
−−→
d2 F = d2 F ⊥ + d2 F //
la contrainte tangentielle vient de la viscosité du uide, due principalement à l'interaction entre les
molécules du uide, qui frottent les unes sur les autres.
Pression
la contrainte normale dénit le champ de pression P dans le uide, tel que :
dénition
−−
→
−−→
d2 F ⊥ = −P.d2 S
(le signe moins traduit que la contrainte normale est dirigée vers l'intérieur par le reste du uide).
−−→
La pression est un scalaire, indépendant de l'orientation de d2 S .
Les unités de pression sont :
• le pascal 1P a = 1N.m−2 (unité du système international),
• le bar : 1bar = 105 P a,
• l'atmosphère : 1atm = 1, 013.105 P a,
• le torr (ou millimètre de mercure), tel que : 760mmHg = 760torr = 1atm = 1, 013.105 P a .
2. Introduction de la viscosité
Forces exercées entre veines de uide dans le cas d'un écoulement unidimensionnel
schéma
La gure 1 représente un écoulement unidimensionnel ~v = vx (y). La veine lente (pour y < y0 ) est séparée
de la veine rapide (pour y > y0 ) à la cote y0 .
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Figure 2 Forces exercées entre veines de uide dans le cas d'un écoulement unidimensionnel
Expression des forces de viscosité pour un écoulement unidimensionnel dé-
nition
on peut écrire que la force de viscosité exercée par la veine lente (pour y < y0 ) sur la surface S de cote
y0 qui la sépare de la veine rapide (pour y > y0 ) est
Fx = −η.S
∂vx
∂y
où η est par dénition, le coecient de viscosité dynamique du uide.
Interprétation
s'y retrouver
Fluide newtonien
s'y retrouver
la force de viscosité tend à accélérer les veines lentes et à ralentir les veines rapides. On parle aussi de
force de cisaillement. Elles tendent à homogénéiser la vitesse.
NB : les forces de viscosité sont donc nulles pour un uide au repos. La viscosité ne joue donc aucun
rôle dans l'état d'équilibre d'un uide, contrairement à la pression.
on se restreindra aux uides newtoniens, pour lesquels la viscosité ne dépend pas du champ des vitesses
(seulement de la nature du uide et de sa température).
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Viscosités dynamique et cinématique
dénition
la viscosité dite dynamique se note η . Elle est positive et s'exprime dans le système international en
poiseuille
1P l = 1P a.s
Le coecient de viscosité cinématique est le rapport de la viscosité dynamique sur la masse volumique :
ν=
η
s'exprime en m2 .s−1
µ
ν a la dimension d'un coecient de diusion...
Exemples de valeurs de viscosités
tableau
Le tableau 1 présente quelques exemples de valeurs de viscosités dynamiques pour quelques uides courants.
uide
η en Pl
ν en m2 · s−1
air
eau
glycérine
graisse
18 × 10−6
15 × 10−6
1, 0 × 10−3
1, 0 × 10−6
0, 870
635 × 10−6
103
1
Table 1 Quelques viscosités dynamiques η et cinématiques ν à 20◦ C et P = 1atm
La viscosité dépend de la température
tableau
Le tableau 2 présente la variation de la viscosité avec la température.
température
huile de ricin
huile d'olive
10◦ C
2420
138
20◦ C
986
84
30◦ C
451
52
40◦ C
231
36
50◦ C
125
24, 5
60◦ C
74
17
70◦ C
43
12, 4
Table 2 Quelques viscosités dynamiques η (en mP l) en fonction de la température
Forces de cisaillement dans le cas d'un écoulement unidimensionnel
schéma
La gure 2 représente le système, un parallélépipède rectangle d'épaisseur dy suivant Oy et de surface S
pour les plans de cote y0 et y0 + dy .
Les forces de cisaillement s'exercent sur :
• le plan de cote y0 : F~ (y0 ) = −η.S ∂vx∂y(y0 ) ~ux
• et sur le plan de cote y0 + dy : F~ (y0 + dy) = +η.S ∂vx (y∂y0 +dy) ~ux
1 Force de cisaillement
théorème
globalement, la force de cisaillement est :
∂vx (y0 + dy) ∂vx (y0 )
∂ 2 vx
F~cis = η.S.
−
.~ux = η.S
dy~ux = η.S.dy∆vx ~ux
∂y
∂y
∂y 2
⇒
Pour un écoulement unidimensionnel, ~v = vx ~ux , la force de cisaillement exercée sur un volume élémentaire d3 τ = S.dy est
F~cis = η.S.dy∆vx ~ux
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Figure 3 Forces de cisaillement dans le cas d'un écoulement unidimensionnel
3. Etude cinématique des écoulement visqueux
Ecoulement unidimensionnel d'un uide visqueux entre un solide et un uide
parfait
schéma
La gure 3 représente un uide visqueux au contact d'un solide (sur la surface xOz ) et d'un uide non
visqueux (à l'interface y = ys ).
Figure 4 Ecoulement unidimensionnel d'un uide visqueux entre un solide et un uide parfait
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Conditions aux limites sur un solide
dénition
comme on le vérie expérimentalement, la vitesse d'un uide visqueux s'annule au contact d'un solide
(sur la surface xOz ) :
~v (y = 0) = ~vsolide = ~0 si le solide est xe dans le référentiel
remarque
Pour un uide parfait, seule la composante normale au solide s'annulait. Pour un uide visqueux, la
composante tangentielle de la vitesse est aussi nulle.
2 Conditions aux limites sur un uide non visqueux
théorème
La force qu'exerce le uide 1 au dessous de l'interface (y < ys ) sur le uide 2 au dessus de l'interface
(y > ys ) est
F~1→2 = −η1 .S
∂vx
∂y
~ux
y=ys−
De même, la force qu'exerce le uide 2 au dessus de l'interface (y > ys ) sur le uide 1 au dessous de
l'interface (y < ys ) est
F~2→1 = +η2 .S
Comme F~2→1 = −F~1→2 ,
η1
∂vx
∂y
∂vx
∂y
= η2
y=ys−
~ux
y=ys+
∂vx
∂y
y=ys+
Comme η2 = 0, on trouve que ⇒
la dérivée de la vitesse d'un uide visqueux suivant une direction orthogonale à l'interface xO0 z (en
y = ys ) entre deux uides s'annule :
∂vx
∂y
=0
y=ys−
Exemple de l'écoulement de Poiseuille
s'y retrouver
on s'intéresse à un uide visqueux, en écoulement stationnaire dans un tuyau de petit diamètre ou entre
deux plaques proches.
En première approximation, si le tuyau est cylindrique ou que les plaques sont parallèles, l'écoulement
du uide est partout parallèle aux parois.
Le frottement aux parois implique qu'aux échelles macroscopiques, la vitesse du uide y est nulle (condition de non-glissement).
Par ailleurs, la pression ne varie pas dans l'épaisseur de l'écoulement.
Prol de vitesse pour un écoulement de Poiseuille
schéma
La gure 4 représente l'écoulement de Poiseuille. Il s'organise selon un champ de vitesse parabolique :
vitesse nulle aux parois et maximale à mi-hauteur.
Figure 5 Prol de vitesse pour un écoulement de Poiseuille
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II- Dynamique des uides visqueux
1. Équation de Navier Stokes
Équivalent volumique des forces de viscosité pour un uide newtonien dé-
nition
L'équivalent volumique des forces de viscosité pour un uide newtonien en écoulement incompressible
est :
F~cis = f~cis .d3 τ avec : f~cis = η.∆~v
3 Equation de Navier Stokes dans le cas d'un référentiel galiléen
théorème
en écrivant le théorème de la résultante cinétique appliqué à un petit élément de volume d3 τ , on trouve :
µ.
D~v
= Σf~v
Dt
Dans le cas de l'étude dans un référentiel galiléen, seuls le poids et les forces de contact (pression et
viscosité) interviennent a priori. On peut donc transformer la précédente expression en ⇒
µ.
D~v
−−→
= µ.~g − grad(P ) + η.∆~v
Dt
qui peut s'écrire aussi :
−−→
−
−
∂→
v
∂→
v
grad(P )
−−→ −
−−→ v 2
−→ −
−
−
+ →
v .grad .→
v =
+ grad
+ rot (→
v)∧→
v = ~g −
+ ν.∆~v
∂t
∂t
2
µ
Equation de Navier Stokes dans le cas d'un référentiel non galiléen
retrouver
s'y
~ R/R le vecteur rotation de R par rapport aux
si l'étude se fait dans un référentiel R non galiléen, avec Ω
g
référentiels galiléens, il faut ajouter dans le second membre de l'équation d'Euler la force de Coriolis.
Soit :
µ.
D~v
−−→
~ R/R ∧ ~v
= µ.~g − grad(P ) + η.∆~v − 2.µ.Ω
g
Dt
Interprétation des diérents termes dans l'équation de Navier Stokes
retrouver
s'y
on reconnaît
→
−
• ∂∂tv : le terme d'inertie dit instationnaire dû à la variation temporelle du champ des vitesses ;
•
−−→ −
→
−
v .grad .→
v : le terme d'inertie de convection dû au transport de quantité de mouvement par
l'écoulement (terme qui confère à l'équation de Navier - Stokes un caractère non linéaire) ;
−−→
grad(P )
: le terme dû au champ de pression ;
• ~g : le terme dû au champ de pesanteur,
• ν.∆~v : le terme dû à la viscosité, rendant compte de la diusion de la quantité de mouvement.
• −
µ
Comparaison entre les équations d'Euler et de Navier Stokes
s'y retrouver
on retrouve l'équation d'Euler à partir de l'équation de Navier Stockes si on considère le uide comme
parfait, c'est à dire sans viscosité.
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Caractéristiques de l'équation de Navier Stokes
s'y retrouver
l'équation de Navier Stokes est une équation diérentielle vectorielle (c'est à dire qu'elle donne trois
2
équations diérentielles
scalaires). De plus, cette équation est non linéaire (à cause du terme en v
−
−
→
−
−
apporté par →
v .grad .→
v ).
On pourra souvent, lors de l'étude de petites perturbations (ondes...), négliger ces termes non linéaires.
2. Nombre de Reynolds
Nombre de Reynolds
dénition
si la dimension caractéristique du problème est L, la vitesse vaut approximativement V , on peut recalculer des équivalents aux grandeurs dans l'équation de Navier Stokes.
−−→ −
→
−
v .grad .→
v ≈
: le terme d'inertie de convection dû au transport de quantité de mouvement
par l'écoulement ;
η.V
• ν.∆~v ≈ µ.L
2 : le terme de viscosité.
Aussi, le nombre de Reynolds est :
•
V2
L
Re =
V.L
µ.V.L
=
η
ν
Le nombre de Reynolds est le rapport sans dimension de la force volumique d'inertie (terme convectif)
sur la force volumique visqueuse (terme diusif). On retiendra qu'il compare les eets inertiels aux
eets de viscosité.
Exemples de nombres de Reynolds
tableau
Le tableau 3 présente quelques exemples de nombres de Reynolds dans quelques cas.
exemple
gros poisson dans l'eau
oiseau dans l'air
nageur dans l'eau
bille dans du miel
spermatozoïde dans liquide séminal
bactérie dans l'eau
glacier
manteau terrestre
Re
108
106
105
10−2
10−3
10−5
10−11
10−20
Table 3 Quelques exemples de nombre de Reynolds
Interprétation du nombre de Reynolds
s'y retrouver
On peut distinguer deux grands types d'écoulements, diérenciés par la valeur de leur nombre de Reynolds :
• si Re 1 : la diusion est prédominante (le temps de transport de la quantité de mouvement par
diusion est beaucoup plus court que par convection) ;
• si Re 1 : la convection est prédominante (le temps de transport de la quantité de mouvement par
diusion est beaucoup plus long que par convection).
Notons qu'un uide parfait correspond à Re = ∞.
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Écoulement laminaire
Ecoulements à bas nombre de Reynolds, où le terme diusif prédomine :
dénition
Re < 2000
un écoulement laminaire.
schéma
La gure 5 représente un exemple d'écoulement laminaire. Il s'agit d'un écoulement stable : les lignes de
courants sont bien dessinées et évoluent lentement au cours du temps. Il peut être permanent ou non
permanent, il peut présenter un caractère tourbillonnaire (un vortex dans un évier est un écoulement
laminaire).
Figure 6 un écoulement laminaire.
remarque
Lorsque le nombre de Reynolds augmente, l'écoulement peut présenter un caractère tourbillonnaire, il
reste cependant laminaire. Il peut se développer des structures tourbillonnaires cohérentes comme une
allée de tourbillons dite allée de von Karman.
NB : la valeur critique de Re à partir de laquelle le caractère laminaire disparait dépend fortement du
prol de l'obstacle.
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4 Diusion de la quantité de mouvement
la quantité de mouvement
ZZZ
théorème
µ.~v .d3 τ
p~ =
V
a une densité volumique
µ.~v
Le théorème de la résultante cinétique s'écrit pour le volume V :
d~
p
=
dt
ZZZ
V
∂ (µ.~v ) 3
d τ=
∂t
ZZZ
f~cis .d3 τ =
ZZZ
V
η.∆~v .d3 τ
V
car la totalité des autres forces (de pression et de pesanteur) a déjà été prise en compte pour un uide
statique (c'est la relation fondamentale de l'hydrostatique). ⇒
si le uide est incompressible, on aboutit à l'équation locale :
η
∂ (µ.~v )
= ∆ (µ.~v ) = ν.∆ (µ.~v )
∂t
µ
qui est l'équation de diusion de la densité volumique de quantité de mouvement (avec comme coecient
de diusion, le coecient de viscosité cinématique).
On retrouve encore la propension des forces de viscosité à homogénéiser la vitesse.
Écoulement turbulent
écoulement à fort nombre de Reynolds où la convection est prédominante
dénition
Re > 2000
Ecoulement turbulent
schéma
La gure 6 représente un exemple d'écoulement turbulent. Les écoulements turbulents présentent un
caractère chaotique où le champ de vitesse possède une grande variabilité spatiale et temporelle. Les lignes
de courant s'entremêlent : l'écoulement est instable. Le caractère tourbillonnaire de ce type d'écoulement
est très prononcé.
Figure 7 Ecoulement turbulent
Caractéristiques des écoulements turbulents
s'y retrouver
Ces écoulements sont gouvernés par la convection et les termes non linéaires de l'accélération dominent.
Ce type correspond également à un mélange important et à une dissipation d'énergie à diérentes échelles
(la viscosité jouant à nouveau un rôle dans les petites échelles).
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Transition entre écoulements laminaire et turbulent :
vidéo
Transition entre écoulement laminaire et turbulent dans l'espace
photo
Reynolds réalise le premier, en 1883, une expérience dans laquelle on observe les lignes d'émission d'un
colorant injecté dans un écoulement dans un long tube. Selon la vitesse de l'écoulement, Reynolds a pu
observer diérents comportements du uide.
Vous pouvez retrouver la vidéo de cette expérience sur le site alain.lerille.free.fr.
Cette transition entre écoulement laminaire et turbulent peut intervenir spatialement : un écoulement
peut être initialement laminaire (et tourbillonnaire) puis devenir turbulent, s'il s'agit par exemple d'un
jet accéléré, le nombre de Reynolds augmentant le long de l'écoulement ce qui permet de comprendre
ce passage d'un caractère laminaire à turbulent. On peut voir sur une photographie d'Humphrey Bogart
(prise par Karsh) la transition entre un écoulement laminaire (proche de la cigarette) et un écoulement
turbulent (loin de la cigarette).
3. Traînée
La portance et la traînée
vidéo
l'écoulement du uide crée sur un solide deux force : la portance (perpendiculairement à l'écoulement) et
la traînée (parallèlement à l'écoulement).
Vous pouvez retrouver la vidéo de cette expérience sur le site alain.lerille.free.fr.
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Maître-couple
on s'intéresse à un obstacle xe plongé dans un uide d'écoulement uniforme à l'inni
dénition
~v∞ = v∞ .~ux
La projection de l'obstacle sur un plan x = cste perpendiculaire à l'écoulement présente une surface
d'aire S : c'est le maître-couple.
Force de traînée
dénition
la force de trainée est la composante parallèle à l'écoulement de la force ressentie par l'obstacle à cause
de l'écoulement. Elle est de la forme :
2
µ.v∞ .S
~ux
F~trainee = Cx
2
Le coecient de traînée Cx est sans dimension. Il ne dépend que de la forme de l'obstacle et du nombre
de Reynolds.
Traînée et maître couple
schéma
La gure 7 représente l'écoulement du uide qui n'est homogène qu'à l'inni. On se place dans le référentiel
où le solide est xe.
Figure 8 Traînée et maître couple
Inuence de la forme de l'objet sur le coecient de traînée
vidéo
la traînée dépend de la forme de l'objet : un objet prolé présente un Cx plus faible qu'une surface plane.
Vous pouvez retrouver la vidéo de cette expérience sur le site alain.lerille.free.fr.
Cx = f (Re)
pour diérentes formes d'obstacles.
schéma
La gure 8 représente l'inuence de la forme de l'obstacle et du coecient de Reynolds Re sur le coecient
de traînée Cx .
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Figure 9 Cx = f (Re) pour diérentes formes d'obstacles.
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Force de traînée et force de frottement uide
s'y retrouver
• A forte vitesse (nombre de Reynolds grand), le coecient de traînée Cx est à peu près constant, donc
F~trainee = −βv 2 ~ux si Re 1.
• A faible vitesse (nombre de Reynolds petit), le coecient de traînée Cx est inversement proportionnel
à la vitesse, donc F~trainee = −λ~v si Re 1.
5 Force de traînée exercée sur une sphère
exercice
On s'intéresse à une sphère de rayon R qui se déplace dans un uide de viscosité η avec la vitesse v .
On suppose que le nombre de Reynolds est susamment petit pour pouvoir considérer le coecient de
24
traînée comme Cx = Re
.
Déterminer la force de traînée exercée par le uide sur la sphère.
Fx =
Cx µ.v∞ .s
1 24
1 24.η
=
µ.v 2 .π.R2 =
µ.v 2 .π.R2 = 6.π.R.η.v
2
2 Re
2 µ.2.R.v
4. Inuence du nombre de Reynolds sur l'écoulement autour d'une sphère immobile
Inuence du nombre de Reynolds sur l'écoulement autour d'une sphère immobile
schéma
La gure 9 représente l'écoulement autour d'une sphère immobile. On voit que celui-ci dépend fortement
du nombre de Reynolds associé.
Figure 10 Inuence du nombre de Reynolds sur l'écoulement autour d'une sphère immobile
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A faible nombre de Reynolds
s'y retrouver
A grand nombre de Reynolds
s'y retrouver
on observe un écoulement symétrique, permanent, rampant et réversible.
• Re ≈ 5 : la symétrie de l'écoulement est perdue lorsque le nombre de Reynolds augmente et devient
supérieur à 5 : les lignes de courants sont diérentes en aval et en amont, près de la sphère.
• Re ≈ 40 : quand le nombre de Reynolds atteint 40, on observe des tourbillons dit de "recirculation"
en aval de la sphère. Les tourbillons apparaissent par paire et tournent en sens opposé. L'écoulement
possède ainsi un caractère tourbillonnaire très marqué dans cette zone.
• Re ≈ 100 : lorsque le nombre de Reynolds augmente, ces tourbillons grandissent et atteignent une
taille proche de celle de la sphère. Ils restent cependant stationnaires et cohérents.
• Re ≈ 450 : pour cette valeur de Re, les tourbillons se détachent périodiquement de la sphère. Il
apparait une allée de tourbillons en aval de la sphère. L'écoulement devient non permanent et a la
même allure que pour cet écoulement autour d'un cylindre. On peut observer une allée de tourbillons
dite de Van Karman.
pour des écoulements à grand nombres de Reynolds
Re > 103
l'écoulement derrière la sphère devient instable et non stationnaire.
L'écoulement présente deux parties aux comportements distincts : un sillage qui naît à la surface de
la sphère (de taille caractéristique proche de celle de la sphère) et le reste de l'écoulement. Le sillage
présente un caractère turbulent : le champ de vitesse est très variable dans le temps avec des structures
à petite échelle.
• Re = 15000 : la couche limite se sépare de la sphère à l'équateur et reste laminaire sur une longueur
de l'ordre du rayon. L'écoulement devient instable et turbulent passé cette distance.
• Re ≈ 105 : pour ces nombres de Reynolds très élevés, la couche limite (qui était auparavant laminaire)
devient turbulente. Le sillage diminue alors de taille.
5. Couche limite
Notion de couche limite :
s'y retrouver
Inuence de la couche limite sur le coecient de trainée
s'y retrouver
l'écoulement à grand nombre de Reynolds autour d'un obstacle présente deux parties aux caractéristiques
très diérentes.
Près de l'obstacle, une couche limite apparaît où les phénomènes de viscosité dominent. Dans cette
couche limite, l'écoulement prend un caractère tourbillonnaire marqué.
La vorticité ainsi créée peut être entraînée par convection dans le sillage de l'obstacle. La couche limite
ne possède pas la même taille caractéristique que l'obstacle et présente donc un nombre de Reynolds
ReCL diérente de celui de l'écoulement principal. On peut ainsi observer des couches limites laminaires
ou turbulentes.
En dehors de cette couche limite, l'écoulement présente un caractère plus régulier et plus laminaire.
le caractère laminaire ou turbulent de la couche limite inue sur le coecient de trainée. En eet, le
passage d'une couche limite laminaire (ReCL > 1000) à turbulente entraîne une réduction de la taille
de la couche limite et donc une baisse du coecient de trainée.
Le sillage turbulent est signicativement plus petit que le sillage laminaire. La trainée chute. La surface
d'une balle de golf est ainsi choisie pour que la couche limite soit turbulente.
La couche limite joue un rôle essentiel sur la valeur de la portance et de la traînée d'un obstacle.
Les actions mécaniques exercées par l'écoulement sont localisées sur la surface de l'obstacle : la présence
d'une couche limite décollée augmente fortement la traînée et diminue la portance. La forme de l'obstacle
joue donc un rôle essentiel sur la valeur du Cx par le biais de la couche limite. La forme actuelle des
ailes d'avion ou des voitures est étudiée en souerie ou lors de simulations numériques pour limiter le
décollement de la couche limite.
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Décollement de la couche limite
s'y retrouver
Modèle du uide parfait et couche limite
s'y retrouver
on peut observer un décollement de la couche limite lorsque celle-ci atteint une taille de l'ordre de celle
de l'obstacle.
Les deux zones couche limite - sillage / écoulement hors couche limite sont alors bien délimitées et
présentent des trajectoires très diérentes.
Pour certains prols (ou inclinaison) d'obstacle, on peut observer un décollement de la couche limite.
On observe un décollement de la couche limite avec l'inclinaison de l'obstacle dans laquelle se développe
un écoulement qui devient rapidement instable.
Le point de décollement de la couche limite peut évoluer avec le nombre de Reynolds, la couche limite
décollant plus rapidement de l'obstacle lorsqu'elle est laminaire par exemple.
dans le cas de la plupart des écoulements d'air autour d'obstacle (L ≈ 1m, u > 1m/s, ν = 10−5 m2 /s),
la couche limite est de faible extension (à l'exception des cas de décollements).
Par exemple, pour une voiture : L = 4m, U = 20m/s, le nombre de Reynolds vaut Re = 5.107 et la
couche limite a une taille δ = ReLCL = √LRe = 0, 5mm. Ainsi, les forces de viscosité sont prépondérantes
dans une ne couche autour de la voiture et sont négligeables dans le reste de l'écoulement compte tenu
de la valeur du nombre de Reynolds. On peut alors modéliser l'écoulement par un écoulement parfait.
Ecoulement parfait
dénition
Un écoulement est parfait si tous les phénomènes diusifs et irréversibles sont négligeables : la viscosité
est alors nulle, il n'y a pas d'échange d'énergie sous forme de chaleur entre particules. Chaque particule
de uide évolue ainsi de manière adiabatique et irréversible : l'écoulement est isentropique.
Couche limite et conditions aux limites
s'y retrouver
Résultante des forces de pression sur un obstacle
s'y retrouver
C'est au voisinage de l'obstacle que les deux modèles dièrent. Le prol de vitesses correspondant à
l'écoulement parfait et le prol de vitesses correspondant à l'écoulement réel sont identiques en dehors
de la couche limite ce qui justie bien l'utilisation du modèle de l'écoulement parfait.
le modèle de l'écoulement parfait permet de déterminer facilement les champs de pression et pourrait
donc permettre de déterminer la résultante des forces de pression, responsable de la portance des avions
par exemple. Cependant, par dénition, ces forces de pression s'exercent sur la paroi et donc dans la
couche limite où le modèle de l'écoulement parfait ne fonctionne pas.
Dans la couche limite, la vitesse dépend principalement de la direction transverse à l'obstacle (ici notée
y ) et est dirigée tangentiellement à l'obstacle : l'accélération selon y est donc négligeable. L'inuence
du champ de pesanteur sur une hauteur de δ (couche limite d'épaisseur centimétrique) est quasi nulle.
∂p
Ainsi, le gradient de pression selon y est nul : ∂y
= 0 dans la couche limite.
La pression le long de l'obstacle est donc la même que celle déterminée en dehors de la couche limite.
Finalement, on peut utiliser l'expression du champ de pression calculée dans le cadre d'un écoulement
parfait pour déterminer la résultante des forces de pression sur l'obstacle. Le modèle de l'écoulement
parfait est ainsi parfaitement apte à décrire des écoulements à grand nombre de Reynolds hors de la
couche limite.
spé PC
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Technique
à maîtriser
jeudi 20 novembre 2014
I- Les capacités exigibles
1. Forces de viscosité
ce qu'il faut savoir faire
capacités
−→
x
Utiliser l'expression fournie dF = η ∂v
ux
∂y dS~
−→
Établir sur cet exemple l'expression dF = η∆~v dτ . Utiliser sa généralisation admise pour un écoulement
incompressible quelconque.
2. Champ de vitesse
ce qu'il faut savoir faire
capacités
Utiliser l'équation de Navier-Stokes dans un uide newtonien en écoulement incompressible.
3. Utilisation du nombre de Reynolds
ce qu'il faut savoir faire
capacités
Évaluer en ordre de grandeur le rapport du terme convectif sur le terme diusif et le relier au nombre
de Reynolds dans le cas d'une unique échelle spatiale.
Évaluer un nombre de Reynolds pour choisir un modèle de traînée linéaire ou un modèle de traînée
quadratique.
II- Méthodes
1. Forces de viscosité
A) Forces de cisaillement
méthode
La force de viscosité exercée par la veine lente (pour y < y0 ) sur la surface S de cote y0 qui la sépare de
x
la veine rapide (pour y > y0 ) est Fx = −η.S ∂v
∂y . La contrainte tangentielle σ exercée sur le plan solide
de cote z = z0 est σ = η
spé PC
dv(z)
dz
z=z0
.
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2. Champ de vitesse
B) Appliquer l'équation de Navier Stokes
méthode
Les inconnues dans l'équation de Navier Stokes sont les trois composantes de la vitesse, la masse volumique et la pression, soit cinq inconnues scalaires. Si on ajoute à l'équation de Navier Stokes la relation
locale de conservation de la masse, on dispose de quatre équations scalaires : il nous manque encore
une équation pour déterminer parfaitement les inconnues. Bien souvent, il s'agira de relier la masse
volumique µ à la pression P , via une relation thermodynamique : µ = f (P ). Citons par exemple : pour
∂µ
(uide compressible).
les liquides µ = µ0 = cste (uide incompressible), pour les gaz χ = µ1 ∂P
Les solutions de l'équation de Navier Stokes devront bien entendu vérier les conditions aux limites,
aussi bien spatiales que temporelles : au contact d'un solide, la vitesse normale est nulle et la vitesse
tangentielle du uide égale à celle du solide, à l'interface entre deux uides, la force de cisaillement est
continue, donc la dérivée de la vitesse suivant la normale à l'interface est aussi continue.
En projetant suivant une direction, on peut n'avoir plus qu'une équation en pression, qu'on intègre,
grâce aux conditions aux limites. La projection suivant une direction orthogonale permet de trouver la
vitesse, encore grâce aux conditions aux limites : ~v = ~0 au contact du solide dans le référentiel du solide.
3. Utilisation du nombre de Reynolds
C) Nombre de Reynolds
méthode
D) Forces de traînée
méthode
Il s'agit de faire un raisonnement sur des ordres de grandeurs. Par exemple, avec le nombre de Reynolds
= V.L
Re = µ.V.L
η
ν il y a deux cas biens marqués : si Re 1 : la diusion est prédominante (le temps
de transport de la quantité de mouvement par diusion est beaucoup plus court que par convection) ;
si Re 1 : la convection est prédominante (le temps de transport de la quantité de mouvement par
diusion est beaucoup plus long que par convection).
On parlera d'écoulement laminaire si Re < 2000.
2
de trainée est de la forme : F~trainee = Cx µ.v2∞ .S ~ux . Suivant
la valeur du nombre de Reynolds, on
24
, si Re ∈ 103 ; 105 , Cx ≈ cst, autour de Re = 5.105 ,
trois comportements : si Re < 1, Cx = Re
La force
discerne
Cx chute brusquement.
III- Exercices
1. Forces de viscosité
1.1) Contrainte exercée par un ruissellement laminaire
Un liquide - assimilé à un uide visqueux, newtonien, incompressible, de masse volumique µ et de viscosité
dynamique η s'écoule sur un plan incliné d'un angle α sur l'horizontale sur une hauteur δ constante. On étudie
l'écoulement en régime stationnaire. On admet que le champ de vitesse est :
~v =
µ.g. sin α
(2.δ − z) .z.~ux
2.η
où ~uz est orthogonal à l'écoulement (et donc au plan incliné), orienté depuis le plan vers le liquide.
1) Quelle est la contrainte tangentielle σ exercée sur le plan incliné ?
1) La contrainte tangentielle σ exercée sur le plan incliné est σ = η
dv(z)
dz
=
dv(z)
dz
z=0
or
µ.g. sin α
(2.δ − 2.z)
2.η
soit
σ = µ.g. sin α.δ
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qui ne dépend pas de la viscosité du uide, mais uniquement de la pesanteur qui met en mouvement le uide.
1.2) Contrainte exercée par le déplacement d'une plaque dans un uide
Soient deux grandes plaques parallèles, l'espace entre les plaques étant rempli d'un uide donné. La plaque
inférieure (en y = 0) est xe, tandis que la plaque supérieure (en y = ∆y ) est entraînée par une force constante
~ = V.~ux .
F~0 = F0 .~ux , et on constate qu'elle est animée d'une vitesse constante V
Il s'exerce donc sur la plaque une force, dirigée parallèlement à la plaque et opposée à F~0 : c'est la force de
viscosité, notée F~ .
Le uide en contact avec la plaque supérieure va y adhérer et va donc être animé de la vitesse V~ = V.~ux ,
tandis que le uide en contact avec la plaque xe aura une vitesse nulle. La vitesse d'écoulement au sein du
uide est en tout point parallèle à l'axe Ox, mais son module dépend de la cote y : ~v = vx (y).~ux .
Si la distance y et la vitesse V ne sont pas trop grandes, on constate que le prol des vitesses est une droite.
x
1) Exprimer ∂v
∂y .
Les expériences ont d'autre part montré que la force F0 à exercer sur la plaque supérieure pour l'entraîner à
la vitesse constante V , varie proportionnellement avec la surface de la plaque, avec la vitesse V et inversement
avec ∆y .
2) Déterminer la force de viscosité exercée par la veine lente (pour y < y0 ) sur la surface S de cote y0 qui
la sépare de la veine rapide (pour y > y0 ).
1)
∂vx
V
=
∂y
∆y
2)
Fx = −η.S
V
∂vx
= −η.S
∂y
∆y
1.3) Contrainte exercée par un écoulement de Poiseuille cylindrique
On considère un écoulement de Poiseuille permanent dans un tube cylindrique d'axe Oz , de section circulaire
et de rayon R :
v(r) = −
R2 dp
4 η dz
1−
r2
R2
Déterminer la projection des forces de cisaillement.
La projection des forces de cisaillement est :
σ(r) =
r dp
2 dz
2. Champ de vitesse
2.4) Ecoulement entre deux cylindres
L'écoulement d'un uide entre deux cylindres concentriques, de rayons R1 et R2 , tournant autour de leur
axe commun (Oz) aux vitesses angulaires Ω1 et Ω2 peut être décrit par le champ des vitesses :
~v (~r, t) =
A.r +
B
r
.~uθ
1) Déterminer les constantes A et B en écrivant la continuité des vitesses du uide et des cylindres en R1
et R2 .
2) Que se passe-t-il dans le cas où Ω1 = Ω2 = Ω ?
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1)
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A.R1 +
B
R1
= Ω1 .R1 et A.R2 +
B
R2
= Ω2 .R2 entraînent :

2
2
 A = Ω2 .R22 −Ω12.R1
R2 −R1
2
2
 B = (Ω1 −Ω22 ).R22 .R1
R2 −R1
2) Si Ω1 = Ω2 = Ω, on trouve A = Ω et B = 0, soit :
~v (~r, t) = Ω.r.~uθ
Il y a donc rotation "en bloc" (comme un solide) du uide.
2.5) Ecoulement au dessus d'un plan oscillant
L'écoulement entre un plan oscillant (y = 0) et l'inni (y → +∞) est donné par le champ eulérien des
vitesses suivant :
~v (~r, t) = A.e−k.y . cos (ω.t − k.y) .~ux
Vérier que les conditions aux limites sont correctes.
On vérie que les conditions aux limites sont correctes :
~v (y = 0) = A. cos (ω.t) .~ux
~v (y → +∞) = ~0
2.6) Loi de Darcy
Une paroi poreuse est modélisée par une couche de matière d'épaisseur ` percée de N tubes cylindriques
horizontaux, de rayon a et de longueur ` (a `), par unité de surface. Il existe, au sein du liquide, une diérence
de pression ∆p entre les deux faces de la paroi poreuse. On ne tient pas compte du champ de pesanteur.
On admet que l'écoulement d'un uide visqueux newtonien, incompressible, à travers cette paroi est caractérisé par une loi de Poiseuille cylindrique dans chaque tube, avec un champ des vitesses ~v = v(r)~uz tel
que :
v(r) =
∆p
f (r)
4.η.`
où f (r) = r2 + B.r + C est une fonction polynomiale d'ordre deux de la distance r à l'axe du tube.
Déterminer v(r).
1) En r = a, la vitesse s'annulle sur la paroi du tube :
v(r = a) = 0
La vitesse est maximale sur l'axe du tube (en r = 0) :
dv(r)
dr
=
r=0
Donc
v(r) =
∆p
(−2.r) = 0
4.η.`
∆p
a2 − r2
4.η.`
2.7) Ecoulement de Poiseuille plan
Un liquide - assimilé à un uide visqueux, newtonien, incompressible, de masse volumique µ et de viscosité
dynamique η s'écoule entre deux plans parallèles éloignés de δ suivant l'axe Oz . On étudie l'écoulement en
régime stationnaire. On admet que le champ de vitesse est de la forme :
~v = v (z) .~ux
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où ~ux est parallèle aux plans, orienté dans le sens de l'écoulement. On négligera l'eet de la pesanteur devant
celui des forces de pression.
Déterminer v (z).
NB : L'écoulement est incompressible, donc div~v = 0 =
L'équation de Navier Stokes est
∂vx
∂x ,
donc v (z) uniquement.
−−→
−−→
µ ~v .grad ~v = −gradP + η.∆~v
soit
∂ 2 v(z)
∂
−−→
~ux
v(z)~ux = 0 = −gradP + η.
µ v(z).
∂x
∂z 2
qui donne suivant ~uz
0=−
∂P (x, z)
∂z
Cette dernière équation donne
P (x, z) = f (x)
L'équation de Navier Stokes projetée suivant ~ux donne
0=−
soit
∂P (x)
∂ 2 v(z)
+ η.
∂x
∂z 2
∂ 2 v(z)
1 ∆P
=
∂z 2
η ∆x
qu'on intègre une fois :
1 ∆P
∂v(z)
=
.z + A
∂z
η ∆x
et une seconde fois :
v(z) =
1 ∆P 2
z + A.z + B
η ∆x
Les conditions aux limites donnent : v(z = 0) = 0 = B et v(z = δ) = 0 =
~v =
1 ∆P 2
η ∆x δ
+ A.δ . On trouve donc
1 ∆P
(δ − z) .z.~ux
η ∆x
2.8) Ecoulement de Poiseuille cylindrique
On considère l'écoulement permanent d'un uide de viscosité η (écoulement de Poiseuille) dans un tube
cylindrique d'axe Oz , de section circulaire et de rayon R.
On admet que la vitesse est ~v (r, z, θ) = vz (r)~uz ; que la pression ne dépend que de z et que et la variation
de la pression est constante le long de l'axe z . On négligera la pesanteur.
Déterminer la vitesse du uide.
On applique la loi de Navier-stokes :
−−→
−
∂→
v
grad(P )
−−→ v 2
−→ →
−
→
−
+ grad
+ rot ( v ) ∧ v = ~g −
+ ν.∆~v
∂t
2
µ
→
−
−−→ 2
−→ −
−→ −
−
z
z
z
or ∂∂tv = ~0 (stationnaire), grad v2 = vz ∂v
ur , rot (→
v ) = − ∂v
uθ , donc rot (→
v )∧→
v = −vz ∂v
ur . Donc le
∂r ~
∂r ~
∂r ~
membre de gauche est nul.
−−→
Enn, ~g négligé, grad(P ) =
dP
dz
∂
z
~uz et ∆vz = 1r ∂r
r ∂v
. Donc l'équation de Navier-Stokes devient :
∂r
1 ∂
∂vz
1 dP
r
=
r ∂r
∂r
η dz
qu'on intègre une fois :
r
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∂vz
r2 dP
=
+A
∂r
2.η dz
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qu'on intègre encore une fois :
r2 dP
+ A. ln
vz =
4.η dz
r
r0
+B
En r = 0, la vitesse ne serait pas dénie si A était non nulle. Compte tenu de la condition de non-glissement
(v(R) = 0), on trouve :
v(r) = −
R2 dp
4 η dz
1−
r2
R2
La vitesse est plus importante au centre du conduit :
vmax =
R2 dp
4 η dz
malgré le signe négatif, étant donné que la vitesse est orientée à l'encontre du gradient de pression. Écoulement
dans le sens positif pour un gradient négatif...
2.9) Champ des vitesses dans un ruissellement laminaire
Un liquide - assimilé à un uide visqueux, newtonien, incompressible, de masse volumique µ et de viscosité
dynamique η s'écoule sur un plan incliné d'un angle α sur l'horizontale sur une hauteur δ constante. On étudie
l'écoulement en régime stationnaire. On admet que le champ de vitesse est de la forme :
~v = v (x, z) .~ux
où ~ux est parallèle au plan incliné, orienté dans le sens de l'écoulement et ~uz est orthogonal à l'écoulement (et
donc au plan incliné), orienté depuis le plan vers le liquide.
1) Montrer qu'alors v (z) uniquement.
2) Déterminer le champ de pression P (x, z) dans le uide.
3) Déterminer v (z).
1) L'écoulement est incompressible, donc div~v = 0 =
2) L'équation de Navier Stokes est
∂vx
∂x ,
donc v (z) uniquement.
−−→
−−→
µ ~v .grad ~v = −gradP + µ.~g + η.∆~v
soit
∂
∂ 2 v(z)
−−→
µ v(z).
~ux
v(z)~ux = 0 = −gradP + µ.~g + η.
∂x
∂z 2
qui donne suivant ~uz
0=−
∂P (x, z)
− µ.g. cos α
∂z
Cette dernière équation donne
P (x, z) = −µ.g. cos α.z + f (x)
Or P (x, z = δ) = Patm à la surface du uide, donc :
P (x, z) = −µ.g. cos α. (z − δ) + Patm
qui ne dépend que de z .
3) L'équation de Navier Stokes projetée suivant ~ux donne
0=−
soit
qu'on intègre une fois :
∂ 2 v(z)
∂P (x, z)
+ µ.g. sin α + η.
∂x
∂z 2
µ.g. sin α
∂ 2 v(z)
=−
2
∂z
η
∂v(z)
µ.g. sin α
=−
.z + A
∂z
η
et une seconde fois :
v(z) = −
spé PC
µ.g. sin α 2
z + A.z + B
2.η
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Les conditions aux limites
: v(z = 0) = 0 = B et la continuité de la contraine tangentielle (nulle à
donnent
la surface avec l'air) : dv(z)
=
0 or dv(z)
= − µ.g.ηsin α z + A, donc A = µ.g.ηsin α δ . On trouve donc
dz
dz
z=δ
~v =
µ.g. sin α
(2.δ − z) .z.~ux
2.η
2.10) Champ des vitesses dans un amortisseur hydraulique
On schématise un amortisseur hydraulique par un cylindre de rayon R, dans lequel peut se déplacer un
piston de longueur ` et de rayon R0 = R − a (où a R). Le cylindre contient une huile incompressible, de
masse volumique µ et de viscosité dynamique η , qui peut s'écouler entre le piston et la paroi du cylindre. On
néglige les eets de la pesanteur. Le champ de vitesse vz (r) du uide entre le piston et la paroi est assimilable
à un champ vz (x) puisque a R.
1) Exprimer l'équation diérentielle suivie par vz (x).
2) Trouver vz (x) dans le référentiel du cylindre (le piston se déplace avec la vitesse vp ).
−→
1) Equation de Navier Stokes : ~0 = −−
gradp + η∆~v . La pression ne dépend que de z , aussi,
η
d 2 vz
dp
∆p
−F
=
=
=
2
dx
dz
`
`.π.R2
si l'opérateur appuie de bas en haut (la vitesse du piston sera alors vz = +vp ).
2) On intègre une fois :
dvz
−F
=
.x + A
dx
η.`.π.R2
et une deuxième fois :
vz =
−F
.x2 + A.x + B
2η.`.π.R2
Les conditions aux limites sont : vz (x = 0) = 0 (le long de la paroi du cylindre) et vz (x = a) = vp (le long
−F
2
de la paroi du piston). Donc : B = 0 et 2η.`.π.R
2 .a + A.a = vp , ainsi
vz =
−F
vp
(x − a) .x − x
2
2η.`.π.R
a
3. Utilisation du nombre de Reynolds
3.11) Nombre de Reynolds associé à une voiture
On s'intéresse à une voiture qui se déplace dans l'air de viscosité η = 18.10−6 P l avec la vitesse v = 100km/h.
Calculer le nombre de Reynolds. Qualier l'écoulement.
Re =
µ.L.v
1, 3.1.100
=
= 2.106
η
3, 6X18.10−6
L'écoulement est turbulent.
3.12) Nombre de Reynolds associé à l'écoulement d'eau d'un robinet
On s'intéresse à un tuyau d'eau de diamètre intérieur d = 12mm.
Justier le fait que pour un débit volumique D1 = 0, 2L/min, l'écoulement est laminaire et pour un débit
D2 = 10L/min, l'écoulement est turbulent.
La vitesse d'écoulement est telle que D = v. π.d
4 , donc
2
Re =
spé PC
µ.d.4.D
4.µ.D
=
η.π.d2
η.π.d
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Pour D1 , Re1 = 3.102 < 2000, l'écoulement est laminaire et pour D2 , Re2 = 2.105 > 2000, l'écoulement
est turbulent.
3.13) Nombre de Reynolds associé à l'écoulement d'huile sur un plan incliné
On s'intéresse à une mince couche d'huile (de viscosité η = 1, 0P l, masse volumique µ = 1, 0.103 kg/m3 )
d'épaisseur e = 1mm, qui coule le long d'un plan zOx incliné d'un angle α = 30◦ . Son champ des vitesse est de
la forme
~v =
µ.g. sin α
y. (2.e − y) .~ux
2η
L'écoulement est-il laminaire ?
On prendra V =
µ.g. sin α
e. (2.e
2η
µ.g. sin α 2
e .
2η
− e) =
Re =
= 2.10−2 donc l'écoulement est laminaire.
µ.V.L
η
3.14) Nombre de Rossby dans l'atmosphère
1) Ecrire l'équation d'Euler dans le référentiel terrestre non galiléen.
On note U un ordre de grandeur caractéristique des vitesses de l'écoulement, L une dimension horizontale
caractéristique de celui-ci. On appelle nombre de Rossby (noté Ro ) d'un écoulement le rapport sans dimension
entre le terme d'accélération et le terme lié à la force de Coriolis dans la précédente équation.
2) Évaluer Ro pour un écoulement atmosphérique typique pour lequel U = 10m.s−1 et L = 1000km .
Commenter le résultat obtenu.
3) Même chose pour un écoulement d'air dans une pièce : U = 1m.s−1 et L = 10m .
1) L'équation d'Euler dans le référentiel terrestre non galiléen est
D~
v
Dt
=
−
∂→
v
∂t
−−→ −
−
v .grad .→
v et puisque
+ →
−−→ −
−−→
−
~ ∧ ~v , ce qui donne en ordre de grandeur le
l'écoulement est stationnaire, ρ →
v .grad .→
v = −grad (p) − 2.ρ.Ω
nombre de Rossby :
2
Ro =
2)
ρ UL
U
=
2.ρ.Ω.U
2.L.Ω
= 0, 14 de sorte que dans les trois termes de l'équation dynamique, le terme d'accélération
est nettement plus petit que les deux autres, qui s'équilibrent donc à peu près :
Ro ≈
U
L.Ω
−−→
~ ∧ ~v
grad (p) ≈ −2.ρ.Ω
3)
Ro ≈
U
L.Ω
= 1375 : les forces de Coriolis sont négligeables.
3.15) Forces de viscosité dans un amortisseur hydraulique
On schématise un amortisseur hydraulique par un cylindre de rayon R, dans lequel peut se déplacer un
piston de longueur ` et de rayon R0 = R − a (où a R). Le cylindre contient une huile incompressible, de
masse volumique µ et de viscosité dynamique η , qui peut s'écouler entre le piston et la paroi du cylindre. On
néglige les eets de la pesanteur. Le champ de vitesse vz (r) du uide entre le piston et la paroi est assimilable
vp
−F
à un champ vz (x) puisque a R. On admet que vz = 2η.`.π.R
2 (x − a) .x − a x, où vp est la vitesse du piston
et F la force exercée par l'opérateur.
1) Exprimer le débit volumique Dv :
1.a) à partir du champ de vitesse vz (x)
1.b) grâce à une autre relation.
2) En déduire la relation qui lie la vitesse vp et F .
1) Débit volumique Dv :
1.a) à partir du champ de vitesse vz (x) :
Z
x=a
Dv = 2π.R.
vz (x).dx = π.R.a
x=0
spé PC
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F.a2
− vp
6η.`.π.R2
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1.b) grâce à une autre relation : on déplace un volume V
= vp .π.R2 .dt, donc
Dv = vp .π.R2
2) Conclusion :
vp =
a
F.a2
−
v
p
R 6η.`.π.R2
soit
F ≈ 6.π.η.`.vp
spé PC
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R3
a3
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Résolution
de
problème
vendredi 21 novembre 2014
Cet exercice sera fait en demi-groupe lors de la séance de travaux dirigés.
L'aérodynamisme du cycliste
Extraits de l'article "Méthodes d'évaluation de l'aérodynamisme en cyclisme" par P. Debraux
disponible sur le site "Sciences du Sport . com"
Comment rouler plus vite en vélo ?
En cyclisme, diérentes forces s'opposent à
l'avancement du cycliste et de sa bicyclette et limitent sa vitesse de déplacement. À vitesse élevée
(> 40 km · h−1 ), la traînée aérodynamique est la
plus importante de toutes ces forces. Pour se représenter son importance, il faut savoir que 90% de
la puissance produite par un cycliste sert à vaincre
cette résistance.
L'aérodynamisme est une problématique de
premier plan pour la recherche en cyclisme, l'objectif principal étant d'améliorer les performances.
Durant les courses cyclistes, et plus particulièrement lors des épreuves de "Contre-la-montre", les
diérences de temps entre les athlètes peuvent être
minimes. L'optimisation des paramètres aérodynamiques du cycliste et de sa bicyclette peuvent être
déterminants pour augmenter la vitesse de déplacement pour une même production de puissance. Or, pour minimiser la résistance aérodynamique, il est important de connaître ses paramètres déterminants, de savoir comment les évaluer et de pouvoir déterminer leur
évolution en fonction de la position du cycliste et de sa vitesse de déplacement.
La résistance aérodynamique est directement proportionnelle à l'aire frontale projetée du cycliste (le maître
couple) et de sa bicyclette (Ap , en m2 ), au coecient de traînée (CD , sans unité), à la masse volumique de l'air
(ρ, en kg · m−3 ) et au carré de la vitesse d'écoulement du uide sur le corps du cycliste (vf , en m · s−1 ) :
RA = 0, 5 × Ap × ρ × CD × vf2
Le coecient de traînée (CD , sans unité) (également appelé coecient de forme ou CX ) est utilisé pour modéliser
les facteurs complexes de forme, de position et les ux d'air agissant sur le corps du cycliste en déplacement.
Indurain lors de son record de l'heure (1994) présentait un CD = 0, 65.
L'aire frontale projetée représente la portion du corps qui peut être vue par un observateur placé exactement
en face de ce corps. L'aire frontale projetée est dépendante de la taille et de la masse corporelle du cycliste, de
la position du cycliste sur la bicyclette et de l'équipement utilisé (e.g., casque, forme du cadre, vêtements).
Enoncé
1) Déterminer l'ordre de grandeur du coecient de traînée d'un cycliste.
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Correction
Pour V = 36 km · h−1 = 10 m · s−1 , en prenant la taille caractéristique L = 1 m, Re = µ.V.L
= V.L
η
ν ≈
= 6 × 105 . On n'est pas à faible vitesse (nombre de Reynolds petit), où le coecient de traînée Cx
est inversement proportionnel à la vitesse.
La puissance développée par le cycliste pour contrarier les forces de frottements quadratiques est donc :
10×1
15×10−6
P = 0, 5 × Ap × ρ × CD × vf3
En assimilant le cycliste à une sphère de rayon R d'eau, 34 πR3 µeau = m = 80 kg, soit
R=
3m
4µeau
1/3
=
3 × 80
4 × 103
1/3
= 0, 4 m
Le maître couple est donc Ap = πR2 = 0, 5 m2 .
Sur le graphique, on lit pour vf = 40 km · h−1 = 11 m · s−1 , P ≈ 400 W soit
CD =
2P
2 × 400
≈
Ap ρvf3
0, 5 × 1, 3 × 113
on trouve donc CD ≈ 1 ce qui est cohérent avec la donnée relative à Indurain.
Travaux
pratiques
vendredi 21 novembre 2014
La moitié de la classe fait un TP de mécanique des uides sur les écoulements visqueux et la tension
supercielle.
spé PC
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Approche
documentaire
vendredi 21 novembre 2014
Le document est à lire, l'exercice est à rendre. Louis Fabre et Daphné Faujour feront un exposé.
Ecoulements visqueux dans le corps
Etienne Guyon
Matière et matériaux - Belin.
Comment fonctionnent le coude ou le genou ? Comment s'écoule le sang dans les
vaisseaux sanguins ? Ces questions simples mettent en jeu la viscosité des
écoulements uides.
Au repos et soumis à l'action de forces extérieures, un uide (liquide ou gaz) a un comportement comparable
à celui d'un solide. La compression et la dilatation d'un solide sous l'eet de forces ou de changements de température ont en eet leur équivalent pour un uide : la pression hydrostatique. Elle s'exerce perpendiculairement
aux parois du récipient contenant le uide, et correspond aux contraintes normales pour un solide.
Intéressons-nous aux propriétés d'un liquide en mouvement. Alors que plusieurs
grandeurs telles que rigidité et
dureté caractérisent la diversité des comportements mécaniques des matériaux solides, un seul coecient - la
viscosité- est susante pour
décrire les écoulements des
uides simples (dits newtoniens) en écoulement. Il faut
pour cela se limiter à des écoulements à des vitesses subsoniques, pour lesquels on peut
considérer que la masse volumique des uides ne dépend
pas de la vitesse (par opposition au cas des écoulements
supersoniques, où la compressibilité est responsable du
bang). S'il est d'usage courant de considérer que l'huile
est visqueuse et que l'eau ne
l'est pas, c'est inexact ! Même
l'air possède une viscosité, et
le préxe hydro s'applique
aussi aux écoulements gazeux.
Nous verrons quelques propriétés de ces écoulements visqueux.
L'expérience modèle de cisaillement à l'aide d'un liquide
placé entre deux plaques de
verre parallèles en mouvement l'une par rapport à l'autre permet précisément de dénir la notion de viscosité, comme nous le verrons ci-dessous. Alors que, dans un solide une contrainte de cisaillement donnée entraîne
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une certaine déformation xe, dans un liquide, elle donnera lieu à une vitesse (ou un taux) de déformation En
eet, dans le cas du cisaillement d'un liquide le glissement des couches les unes contre les autres se poursuit
indéniment dans le temps : tant que la force est appliquée, l'angle de cisaillement croît constamment et il y a
écoulement du liquide.
Le liquide peut lui aussi être soumis à une traction un let de miel qui coule (Fig. 1a) rappelle l métallique
que l'on étire, à ceci près que lorsqu'on applique une force xe, le l adopte une déformation constante, tandis
que le let s'allonge, s'allonge... et nit par rompre. Ce qui compte dans le cas du liquide, c'est en fait la vitesse
du uide, et non le déplacement lui-même.
La viscosité qui fait glisser
Dans un let de miel qui s'étire, la vitesse varie le long de l'axe du déplacement. La viscosité résiste aux
changements de la vitesse du let, qui accélère le long de son axe en tombant. En pâtisserie, le let de sucre
fondu peut -ainsi être caractérisé par sa viscosité, en le laissant se vider avec une petite cuillère. Le cuisinier aura
en outre une sensation directe de la viscosité en faisant glisser l'un sur l'autre un peu de ce sucre fondu entre le
pouce et l'index : la force qui résiste au cisaillement est proportionnelle à la viscosité. Une forme plus contrôlée
de cette expérience consiste à placer une goutte de liquide entre deux plaques de verre parallèles, distantes de
d, dont l'une est xe et l'autre en mouvement à la vitesse V (Fig. 1b). Le rapport V /d est le gradient de vitesse
qui mesure comment le liquide, xe au niveau de la plaque immobile, atteint la vitesse V au contact de la face
mobile. Dans cette situation de cisaillement, tout se passe comme si des couches liquides parallèles aux plaques
superposées glissaient les unes contre les autres, et que les forces moléculaires locales de viscosité résistaient au
glissement relatif.
La contrainte de cisaillement est le quotient de
la force F s'opposant au glissement par la surface
S de plaques couverte par le liquide. Elle est proportionnelle au gradient de vitesse et à la viscosité
η , caractéristique du liquide. Cette relation entre
gradient, contrainte et viscosité s'exprime simplement à l'aide de la formule :
F
ηV
=
S
d
Le tableau 2 montre la grande diversité des phénomènes où intervient la viscosité, ainsi que la vaste
gamme de valeurs rencontrées.
L'air est-il visqueux ?
Voici une expérience simple qui va vous
convaincre du caractère visqueux de l'air. Faites
glisser, en la lançant au- dessus d'une surface lisse,
une feuille de papier légère mais rigide. Elle se déplace sur une grande distance horizontale tout en restant pratiquement parallèle à la table. L'air mis en mouvement sous la feuille (du fait de sa viscosité) engendre des forces
de pression qui maintiennent la feuille légèrement surélevée. Si on recommence après avoir percé la feuille d'une
dizaine de petits trous, cette surpression intérieure disparait par suite du contact de l'air intérieur et externe.
Lancée dans les mêmes conditions, la feuille percée s'arrête très rapidement.
La lubrication
Une expérience simple, consistant à faire glisser une feuille de papier sur une surface, permet de comprendre
que la lubrication par un uide est due à l'écoulement uide induit par le déplacement d'une surface par
rapport à l'autre. Il existe de très nombreuses manifestations de la lubrication, en particulier en sciences du
vivant. Ainsi, les poumons sont entourés par les plèvres. Il s'agit d'une enveloppe double : la plèvre externe est
solidaire de la cage thoracique, tandis que la plèvre interne est solidaire du tissu pulmonaire. Lorsque le poumon
se gone (au moment de l'inspiration), il doit pouvoir bouger librement par rapport à la cage thoracique. Ce
n'est possible que grâce à une mince couche de liquide pleural qui permet aux. deux plèvres de glisser l'une sur
l'autre. En cas de pleurésie, l'inammation perturbe les qualités du liquide pleural et le mouvement du poumon
devient douloureux.
Il en va de même pour le péricarde, l'enveloppe double qui entoure le c÷ur. Le péricarde interne est solidaire
du c÷ur, le péricarde externe de la cage thoracique. Les battements du c÷ur sont facilités par le glissement l'un
sur l'autre des deux feuillets péricardiques, rendu possible par la présence d'un liquide péricardique lubriant.
Lors d'une péricardite, les battements cardiaques deviennent douloureux et le frottement des deux feuillets
l'un sur l'autre produit un bruit caractéristique, audible à l'auscultation, que les médecins décrivent comme le
crissement du cuir d'une chaussure neuve.
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Dans les articulations, un liquide lubriant, la synovie, ralentit l'usure des cartilages lorsqu'ils glissent les uns
sur les autres. C'est ce liquide qui, en sortant de ses enveloppes, provoque des spectaculaires ÷dèmes articulaires
lors de certaines entorses.
Dans un autre registre, sans le liquide lacrymal, les paupières ne pourraient pas bouger sur la cornée.
La lubrication intervient aussi dans les sports de glisse où une ne couche d'eau liquide limite le frottement
entre le sol (neige, eau, glace) et un support. Enn, dans les paliers de lubrication en mécanique, un cylindre
est en rotation par rapport à un autre cylindre xe. Un liquide visqueux (généralement de l'huile) placé entre
les deux se fait entraîner par la rotation. Les pressions créées par l'écoulement du liquide induisent des forces
qui s'exercent sur les cylindres et les maintiennent séparés.
Plomberie sanguine
Aujourd'hui, nous savons que la circulation
sanguine est un très subtil problème de plomberie
dans lequel un uide visqueux plutôt complexe - le
sang - circule, grâce à une pompe, dans des tuyaux
qui se divisent et risquent de se boucher. Les débits sanguins peuvent être mesurés par échographie, avec le même principe général d'eet Doppler
à l'÷uvre dans les radars d'autoroute : la diérence
de fréquence entre une onde acoustique incidente
sur le sang en mouvement et l'onde rééchie est en
eet proportionnelle à la composante de la vitesse
dans la direction de l'onde.
Que se passe-t-il lorsqu'un liquide s'écoule dans
un tube cylindrique ? Il est freiné par son frottement visqueux, à la fois à l'intérieur du volume et
contre les parois. La vitesse varie suivant la distance à l'axe du tube : elle est nulle au voisinage
des parois et maximale au centre du tube (Fig. 2).
Pour vaincre ce frottement dû au glissement relatif
des couches uides, il faut appliquer une diérence de pression entre l'entrée et la sortie, la perte de charge. Le château d'eau responsable de l'alimentation
en eau domestique doit ainsi se situer plus haut que les habitations, pour que la pression hydrostatique y soit
supérieure à celle au niveau du robinet. Dans le cas d'un vaisseau sanguin, la pompe cardiaque assure une
surpression (qu'on mesure à l'aide d'un tensiomètre médical) pour vaincre les eets de viscosité.
Le débit Q dans un tube cylindrique augmente proportionnellement à la perte de charge ∆P/L, qui pousse le
liquide suivant la foi de Poiseuille. Celle-ci rappelle la loi d'Ohm exprimant la relation entre l'intensité du courant
électrique dans un conducteur et la diérence de potentiel à ses bornes. En revanche, la loi de variation du débit
avec la section est très diérente de celle des conducteurs électriques. Cela tient à la variation parabolique de la
vitesse à l'intérieur du tube : pour un diamètre de tube deux fois plus petit, le débit est seize fois plus faible !
Cette variation peut surprendre mais, en l'absence de viscosité (uide parfait), la vitesse serait uniforme dans
toute la section du tube et le débit serait uniquement proportionnel à cette section, comme pour un conducteur
électrique.
De façon générale, la perte de charge est d'autant plus importante que le liquide est visqueux, le diamètre
du tube petit, et ses parois rugueuses. Ainsi, on uidie le sang (souvent avec de l'aspirine) pour éviter des
thromboses après un accident vasculaire. L'utilisation d'EPO (érythropoïétine), qui n'est autorisée que pour
certains traitements médicaux, entraîne une augmentation notable du nombre de globules rouges dans le sang
et une amélioration des performances sportives, mais se doper à l'EPO accroît notablement la viscosité du sang,
qui devient pâteux, avec des risques graves pour la santé (hypertension ou embolie).
Dans des tubes de petit diamètre, tels que les capillaires sanguins, la viscosité, à elle seule, permet de
caractériser l'écoulement une fois que la géométrie du tube (section, longueur) a été dénie. Si la loi de Poiseuille
s'applique bien pour la canalisation rigide d'un tuyau de plomberie, cela se complique pour nos vaisseaux dont
les parois sont élastiques. Cette élasticité permet cependant aux vaisseaux d'amortir les variations périodiques
du débit qu'impose la pompe cardiaque -du moins tant qu'ils sont en bon état. Grâce à cette déformabilité, le
sang circule dans des capillaires dont le diamètre est inférieur à celui d'un globule rouge.
Enoncé
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1) Ecoulement de Couette
1.a) En se plaçant dans la géométrie de la gure 1.a, où la vitesse est ~v = v(y)~ux , exprimer le gradient
−−→
grad v(y) en fonction de V et d.
1.b) En reprenant la relation donnant la contrainte de cisaillement du texte, donner dans la géométrie
unidimensionnelle l'expression de la force F~ s'opposant au glissement par la surface S de plaques couverte par
−−→
le liquide à l'aide de grad v(y).
1.c) En faisant enn un bilan des forces de viscosité pour un système qui est un parallélépipède rectangle
d'épaisseur dy suivant Oy et de surface S pour les plans de cote y0 et y0 + dy , montrer que la force de viscosité
par unité de volume peut s'écrire
d3 F~
= η.∆~v
d3 τ
2) Ecoulement de Poiseuille
On s'intéresse maintenant à un uide qui s'écoule (comme dans la gure 2 du document) dans un tube
cylindrique de rayon R d'axe Oz qui dénit un repère cylindrique. Le champ de vitesse est alors de la forme
~v = v(r)~uz .
On donne le laplacien scalaire en cylindrique :
∆f =
∂ µ2 .µ3 ∂f
∂ µ3 .µ1 ∂f
∂ µ1 .µ2 ∂f
1
.
+
.
+
.
µ1 .µ2 .µ3 ∂r
µ1 ∂r
∂θ
µ2 ∂θ
∂z
µ3 ∂z
où µ1 = 1, µ2 = r et µ3 = 1.
3
2.a) Que devient dans ce cas l'expression de la force de viscosité par unité de volume dd3Fτ~ ?
−−→
2.b) Exprimer grad P dans ce cas, en fonction de ∆P et L.
2.c) Appliquer l'équation de Navier-Stokes en régime stationnaire et en négligeant la vitesse. On calculera
la dérivé convective de la vitesse.
2.d) Déterminer l'expression de v(r) grâce aux conditions aux limites.
2.e) Exprimer le débit Q et vérier, comme le dit le texte, que "Q augmente proportionnellement à
la perte de charge ∆P/L" et que "pour un diamètre de tube deux fois plus petit, le débit est seize fois plus
faible".
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Correction
1) Ecoulement de Couette
−→
1.a) −
grad v(y) = Vd ~uy =
1.b) Le texte donne
∂v(y)
uy .
∂y ~
ηV
F
=
S
d
−−→
ux car la force s'oppose au glissement.
ce qui devient F~ = −η grad v(y) ~ux = −η ∂v(y)
∂y ~
1.c) Les forces de cisaillement qui s'exercent sur le système sont :
• sur le plan de cote y0 : F~ (y0 ) = −η.S ∂vx∂y(y0 ) ~ux
• et sur le plan de cote y0 + dy : F~ (y0 + dy) = +η.S ∂vx (y∂y0 +dy) ~ux
Globalement, la force de cisaillement est :
∂ 2 vx
∂vx (y0 + dy) ∂vx (y0 )
dy~ux = η.S.dy∆vx ~ux
−
.~ux = η.S
F~cis = η.S.
∂y
∂y
∂y 2
Donc
d3 F~
= η.∆~v
d3 τ
2) Ecoulement de Poiseuille
2.a) La force de viscosité par unité de volume est
d3 F~
= η.∆~v = η.∆v(r)~uz
d3 τ
Comme
∆v(r) =
on trouve
~
d3 F
d3 τ
=
η
r
h
∂
∂r
r. ∂v(r)
∂r
i
1 ∂
∂v(r)
r.
r ∂r
∂r
~uz .
−→
2.b) Il vient −
grad P = − ∆P
uz .
L ~
2.c) L'équation de Navier-Stokes :
−−→
−
∂→
v
grad(P )
−−→ −
−
+ →
v .grad .→
v = ~g −
+ ν.∆~v
∂t
µ
devient en régime stationnaire et en négligeant la pesanteur :
∆P
η ∂
∂v(r)
−−→ →
→
−
−
r.
~uz
µ v .grad . v =
~uz +
L
r ∂r
∂r
La dérivé convective de la vitesse, en coordonnées cartésiennes donne :
∂
∂
−−→ →
→
−
−
v .grad . v = v(r)~uz ~uz v(r)~uz = v(r)
v(r)~uz = ~0
∂z
∂z
Aussi, on trouve : − ∆P
L =
η
r
h
∂
∂r
r. ∂v(r)
∂r
i
.
2.d) On intègre pour f (r) = r. dv(r)
dr
df = −
qui donne
f (r) =
soit
spé PC
∆P 1
rdr
L η
dv(r)
∆P 1 2
r.
=−
r +A
dr
L 2η
dv(r)
∆P 1
A
=−
r+
dr
L 2η
r
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On intègre à nouveau :
v(r) = −
∆P 1 2
r + A ln r + B
L 4η
En prenant r = 0, on trouve A = 0. Et pour r = R, v(R) = 0 = − ∆P
L
v(r) =
∆P 1
L 4η
2
R −r
2
1
2
4η R
+ B . Aussi,
.
2.e) Le débit massique est
Z
r=R
Z
θ=2π
Q=
r=0
θ=0
On trouve donc Q =
∆P 1
µv(r)drrdθ = 2πµ
L 4η
4
∆P πµR
L
8η
r=R
2
R −r
r=0
2
∆P 1
rdr = 2πµ
L 4η
R4
R
−
2
4
2R
2
.
On vérie bien que Q est proportionnel à
spé PC
Z
∆P
L
et si R →
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R
2,
Q→
Q
16 .
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